C++面试宝典30题丨第一题：开灯

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题目描述

一条名叫Mango的街上有 N 站灯。起始时，所有的灯都是关的。每盏灯上都有着一个按钮，每按一次按钮灯将会进行一次相反操作，即开着变关着，关着变开着。这时，编号为 1 的人走过来，把是1的倍数的灯全部按一次按钮，编号为 2 的人把是 2 的倍数的灯全部按一次按钮，即编号为 k 的人把是 k 的倍数的灯都按一次按钮，直到第 N 个人为止。

问题：给定 N，求 N 轮之后，还有哪几盏是开着的，每两个答案之间用空格隔开。

保证：N≤30000000，时间限制：1s

初步思路

看到这一题是不是很想直接暴力枚举，即从1-N每个人都遍历一遍。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=30000000;
int n;
bool a[maxn+5];
int main()
{
	for(int i=1;i<=maxn;i++) a[i]=0;//初始化一下 
	cin>>n;
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		for(int j=k;j<=n;j+=k)
		{
			a[j]=!a[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=maxn;i++)
	{
		if(a[i]==1) cout<<i<<" ";
	}
	return 0;
}

可惜，当我们运行代码时，用了远远不止1s，严重超时了。

找规律

☆方法☆：像这种N轮后那些灯还亮着的问题，包括类似约瑟夫的问题，都应该从小数入手。

我们可以从N=3时入手（这里用1表示开，0表示关）：

轮数/灯的编号	1号	2号	3号
第一轮	1	1	1
第二轮	1	0	1
第三轮	1	0	0

当N=4时：

轮数/灯的编号	1号	2号	3号	4号
第一轮	1	1	1	1
第二轮	1	0	1	0
第三轮	1	0	0	0
第四轮	1	0	0	1

当你继续往后列举时，你会惊讶的发现，这些数都是平方数，好Amazing！

小Tip：如果你不想手动列举的话，你可以用暴力的那个程序，让程序去算。

AC代码

于是，代码就变得很短很短啦！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(sqrt(i)*sqrt(i)==i) cout<<i<<" ";
	}
	return 0;
}