1.定义

        所谓BRDF（Bidirectional Reflectance Distribution Function，双向反射分布函数），指的是从辐射度量学的角度去理解光线的反射，如下图所示。

       所谓反射就是一个点从ωi方向发出的Radiance转化为dA接收到的功率E，然后功率E将转换为其他任何方向ωr发出的Radiance。 也就是一个点(微分面积元)在接受到一定方向上的亮度dE(ωi)之后，再向不同方向把能量辐射出去dLr(ωr)。

        因此所谓BRDF就是描述这样一个光线从不同方向入射之后，反射光线的分布情况的函数。数学定义如下。

        上图中下方的式子即为BRDF，它接收两个参数，入射光方向ωi，反射光方向ωr，函数值为反射光的radiance与入射光的iiradiance的比值(从某个方向接受到的光能有多少反射到另外一个方向)。

        从直观的理解来说，不同材质的表面自然会把一定方向上的入射光线反射到不同方向上，如理想光滑表面会把入射光线完全反射到镜面反射方向，其它方向则完全没有。而理想粗糙表面会把入射光线均匀的反射到所有方向。

2.性质

        1.BRDF是非负的（Non-negativity），表示了能量的分布。

        2.BRDF是线性的（Linearity），可以拆分和叠加。

        3.BRDF是可逆的（Reciprocity principle），调换入射方向和出射方向依然成立。

        4.BRDF满足能量守恒（Energy conservation），入射能量等于反射能量（存在能量吸收的情况时，入射能量大于反射能量）。

3.反射方程

        借助BRDF，可以定义出反射方程如下。

        因为BRDF表示从某一个方向考虑入射，然后往某一个方向反射出去会是什么样的结果。假如以某一个反射方向ωr出去的点，从相机方向看到的这个着色点可以接收来至四面八方的不同的光照。那就考虑对于每一个入射方向ωi，都会对应入射方向着色点和出射方向这样的BRDF。BRDF会告诉我们从某一个方向进来的光反射到出射方向有多强，那就将每个方向的入射光线的强度(Radiance)乘以BRDF，再乘以(之前的定义)，然后把每一个方向上对出射光线的贡献相加，这样就得到了这个点在所有可能得入射光下反射到ωr上的情况。

        如上可知，所谓的反射方程定义了任何一个着色点在各个不同的光照环境下，考虑任何一个光照入射方向对观察方向(出射方向)的一个贡献，将所有入射方向的贡献相加，相加就是求一个积分，得到最终的着色效果。

        在进入到渲染方程之前，再仔细观察一下反射方程。

        假如从某个方向观察某个着色点，要考虑所有能够到达这个着色点的所有光线，但是能够达到的可不止是光源发出的光线，还有可能有其他物体上着色点反射的光线，即间接光照。也就是说考虑的入射radiance不止来至光源，也可能来至其他物体反射出去的radiance，这是一个递归的过程。即任何出射的radiance都可能是其他入射的radiance，这就是为什么光线在场景中不止弹射一次的原因，这是一个很难计算的问题。

4.渲染方程

4.1 定义

        渲染方程只是在反射方程的基础之上添加了一个自发光项(Emission term)，用来模拟物体自发光(物体有自发光和反射光)，从而使得反射方程更加的通用，适用于所有物体表面上的光线传播问题。如下公式。

        其中Le(p,ω0)为自发光项，反射方程中的 cosθ 用 n·ωi 代替 (一样)。注意：所有光线方向均以从平面向外为正方向。

4.2 理解渲染方程

        1.一个点光源和单个物体的场景

        点光源对一个点来说自然只有一个方向有入射光，所以这里没有了积分(相加)。

        2.多个点光源一个物体的场景

        将所有的点光源的贡献全部求和即可。

        3.那么如果有一个是面光源呢？

        其实面光源就相当于无穷多个点光源的集合，由于多个点光源贡献可以相加，那么对面光源任意一点的贡献积分(相加)道理是一样，所以对这个面占据的立体角范围进行积分，然后考虑所有的方向Radiance经过BRDF反射出去的样子。

        4.在场景当中加入其它物体，使得物体之间发生光线交互之后是什么情况呢？

        可以把其它物体同样考虑成面光源，对其所占立体角进行积分即可，只不过对其它物体的立体角积分不像是面光源所有入射方向都有radiance，物体的立体角可能只有个别几个方向有入射的radiance(即多次物体间光线反射之后恰好照射到着色点x)，其它方向没有，但本质上都可以视作是面光源。

        图中的渲染方程除了两个radiance，其它所有项都是知道的，可以将上式进一步写成如下图下方所示的简单式子。

        其中各项与原渲染方程中一一对应，(这里其实是有数学严格推导的，不过我们只是为了接下来构建直观的物理解释，对于这些推导不必在意，默认成立即可)，再接着，可以把该式子离散化写为线性代数的形式。

        经过两步我们不是很清楚但其实是正确的数学推导之后，得到了这样一个递归式。

        其中L其实就是想要求得的反射光，E是自发光其实就是光源的发光项，K可以理解为对光线进行反射的一种算子操作(因为它由BRDF转化来的)。

        那么利用线性代数的知识很容易就可以推导出L的结果如下。

        其中 I 为单位矩阵，再接着使用广义二项式定理得到。

        仔细观察这个式子，注意E是光源所发出的光，K为反射算子，这样一个式子的物理含义如下图所示。

        E为光源发出的光，KE则代表对光源反射一次的结果，即直接光照，那么前两项之和就是光栅化当中着色所考虑的结果。对于全局光照(所有光线弹射次数加起来)来说，还考虑了第三项，即一次弹射的间接照明，就是两次弹射的间接照明，依次类推。

        这样来看整个结果就很清晰了，就是光源发光加上直接光照与多次间接光照的结果！而这一切都是从渲染方程推导而来的，因此这也正是渲染方程的物理意义！

        不同弹射次数下同一场景的渲染效果如下。

        显然弹射次数越多越接近真实图片效果，但提升幅度逐渐递减。

        注意：图片顶部中间有块玻璃，当进行第4次弹射时才从黑色变亮。这是因为光从相机出来到玻璃球里至少弹射2次才能出来，如果玻璃是双层的2次弹射只能进去，再经过2次弹射才能出来。