数据结构-图的存储结构-邻接矩阵

图的结构十分复杂，不仅各个结点的度不同，各个顶点之间的路径也不尽相同。但是图的主要组成部分比较清晰，分为顶点信息和边或者弧的信息。

邻接矩阵

邻接矩阵就是用一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组表示图中各个顶点之间的邻接关系的信息，而这个二维数据就是邻接矩阵。

假设图 $G=(V,E)$ 有 $n$ 个确定的顶点，即 $V=(v_{0},v_{1},v_{2},...,v_{n-1})$ ，则表示 $G$ 中个顶点相邻关系为一个 $n\times n$ 的矩阵，矩阵的元素为

$A[i][j]=\left\{\begin{matrix} 1 & \\ 0 & \end{matrix}\right.$

其中，顶点 $i$ 与 $j$ 之间有边或者弧时为1，顶点 $i$ 与 $j$ 之间没有边或者弧时为0

如果 $G$ 是带权图，则有定义

$A[i][j]=\left\{\begin{matrix} w_{ij} & \\ 0 & \\ \infty & \end{matrix}\right.$

其中，顶点 $i$ 与 $j$ 之间有边或者弧且权值为 $w_{ij}$ 时为 $w_{ij}$ ，对角线元素 $(i=j)$ 为0，顶点 $i$ 与 $j$ 之间没有边或者弧为 $\infty$ 。

无向图的邻接矩阵表示

邻接矩阵的特点

（1）无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵。因此再存储邻接矩阵时只需存储上或者下的三角矩阵的元素即可。有向图的邻接矩阵不一定时对称矩阵。

（2）无向图的邻接矩阵的第 $i$ 行（或第 $i$ 列）非零元素（或非 $\infty$ 元素）的个数正好是第 $i$ 个顶点的度 $D(v_{i})$

（3）有向图的邻接矩阵的第 $i$ 行（或第 $i$ 列）非零元素（或非 $\infty$ 元素）的个数正好是第 $i$ 个顶点的出度 $OD(v_{i})$ （或入度 $ID(v_{i})$ ）

（4）用邻接矩阵方法存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连。要确定图中的边的个数，必须按行、列对每个元素进行检测。

（5）邻接矩阵存储稀疏图会浪费时间和空间。所以邻接矩阵适合存储稠密图。

邻接矩阵的存储算法

邻接矩阵的表示

由上面的定义得知在邻接矩阵的结构体中，不仅需要表示邻接矩阵的二维数组，还需要一个一维数组存储顶点信息。

const int M = 500;
typedef struct{        
    char ver[M];            //顶点表
    int edg[M];            //边表，即邻接矩阵
    int vernum,edgnum;     //顶点数和边数
}MGraph;

邻接矩阵的创建

const int INF = 0x7f7f7f;

void CreatG(MGraph *G)
{
    int ver1,ver2,w;
    scanf("%d%d",&(G->vernum),&(G->edgnum));    //输入顶点数和边数
    for(int i = 0;i<G->vernum;i++)
        scanf("%c",&(G->ver[i]));               //输入顶点信息，建立顶点表
    /*创建无向图的邻接矩阵*/
    memset(G->edg,0,sizeof (G->edg));           //初始化邻接矩阵                 
    for(int i = 0;i<G->edgnum;i++)
    {
        scanf("%d%d",&ver1,&ver2);              //输入边，建立邻接矩阵
        G->edg[i][j] = 1;                       //无向图的邻接矩阵
    }
    /*创建带权图的邻接矩阵*/
    for(int i = 0;i<G->edgnum;i++)              //初始化邻接矩阵
        for(int j = 0;j<G->edgnum;j++)
        {
            if(i == j)
                G->edg[i][j] = 0;
            else
                G->edg[i][j] = INF;
        }
    for(int i = 0;i<G->edgnum;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&ver1,&ver2,&w);         //输入边和权值，建立邻接矩阵
        G->edg[i][j] = w;                       //有权值图的邻接矩阵
    }
}

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