动态规划数字三角形模型——AcWing 1015. 摘花生

动态规划数字三角形模型

定义

动态规划数字三角形模型是在一个三角形的数阵中，通过一定规则找到从顶部到底部的最优路径或最优值。

运用情况

通常用于解决具有递推关系、需要在不同路径中做出选择以达到最优结果的问题。比如计算最短路径、最大和等

注意事项

正确定义状态表示，确保能涵盖所有可能情况且无冗余。
注意边界条件的处理。
确保递推关系的正确性和完整性。

解题思路

确定状态：一般是用一个二维数组来表示在某个位置时的最优值。
建立递推关系：根据问题的具体要求，找到从上层到下层每个位置的最优值与之前位置的关系。
从顶部开始逐步计算，根据递推关系更新状态，最终得到底部的最优解。

例如，在一个数字三角形中，要求从顶部到底部路径上数字之和最大。则状态可以定义为 dp[i][j]表示到达第 i 行第 j 列位置时的最大和，递推关系可能是 dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]。通过从顶部向下依次计算状态，最终得到底部的最大和。

AcWing 1015. 摘花生

题目描述

1015. 摘花生 - AcWing题库

运行代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int dp[101][101];
int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int R, C;
        cin >> R >> C;
        for (int i = 1; i <= R; i++) {
            for (int j = 1; j <= C; j++) {
                cin >> dp[i][j];
            }
        }
        for (int i = 1; i <= R; i++) {
            for (int j = 1; j <= C; j++) {
                dp[i][j] += max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        cout << dp[R][C] << endl;
    }
    return 0;
}

代码思路

定义一个二维数组 dp[101][101] 来存储在每个位置能获得的最大花生数。
对于输入的每组数据，先读取花生苗的行数 R 和列数 C，以及每行每列花生苗上的花生数量并存储到数组中。
然后通过两个嵌套的循环遍历整个花生地。在每个位置 (i, j) ，通过比较从上方 (i - 1, j) 位置过来的最大花生数和从左方 (i, j - 1) 位置过来的最大花生数，取较大值加上当前位置的花生数，更新该位置的 dp[i][j] ，这就体现了动态规划的思想，即每个位置的最优值是基于之前已计算位置的最优值得到的。
当遍历完整个花生地后，最后一行最后一列的 dp[R][C] 就是从西北角到东南角能摘到的最多花生数，输出即可。

改进思路

空间优化：可以观察到在计算过程中，实际上只需要当前行和上一行的信息，所以可以通过滚动数组的方式来减少空间复杂度，只使用两行的空间来进行计算。
输入优化：可以考虑对输入数据的读取进行一些优化，比如使用更快的输入流或采用更高效的输入处理方式。
异常处理：可以添加一些对输入数据合法性的检查和异常处理机制，以应对可能出现的不合法输入情况。

其它代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
void run()
{
    int a[110][110], f[110][110];
    memset(a, 0, sizeof a);
    memset(f, 0, sizeof f);
    int r, c;
    cin >> r >> c;
    for(int i = 1; i <= r; i ++)
        for(int j = 1; j <= c; j ++)
            cin >> a[i][j];
    for(int i = 1; i <= r; i ++)
        for(int j = 1; j <= c; j ++)
            f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i - 1][j]) + a[i][j];
    cout << f[r][c] << endl;
}
int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) run();
    return 0;
}

代码思路

run 函数中：
- 定义了两个二维数组 a 用于存储花生地中每个位置的花生数量，f 用于存储到达每个位置的最大花生数。
- 通过 memset 对两个数组进行初始化清零。
- 读取花生地的行数 r 和列数 c，并输入每个位置的花生数量到 a 中。
- 然后通过两层循环，在每个位置 (i, j) ，通过比较从左边 (i, j - 1) 和上边 (i - 1, j) 过来的最大花生数，取较大值加上当前位置的花生数，更新 f[i][j]，这体现了动态规划的递推过程。最后输出右下角 f[r][c] 的值，即从西北角到东南角能获取的最大花生数。
在 main 函数中，读取测试用例的数量 t，然后逐个调用 run 函数进行处理。