1、因果系统的定义
  若系统当前输出仅由系统当前或过去的输入决定，则称该系统为因果系统。由于因果系统是物理课实现的，且具有稳定性和可预测性，所以得到广泛应用。设系统输入、输出分别为$x(t)$，$y(t)$，系统冲激响应为$h(t)$。则
$$y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{\tau }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$$
 如果系统满足因果性，则$y(t)$由$x(t-\tau )$决定，这意味着，系统冲激响应需满足:
$$h(t)=0,t<0$$
 下图给出了不同系统冲激响应示意图，显然只有红色曲线对应的冲激响应才满足因果系统条件。

2、因果系统频响需满足的条件
  从上面的分析可知，因果系统的冲激响应满足$h(t)=0,t<0$，它可以进一步表示为：
$$h(t)=h(t)sign(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$
  其中,$sign(t)=\{\begin{array}{c}1,t\ge 0\\ 0,t<0\end{array}$为符号函数。对$h(t)$进行傅里叶变换，得到系统频响，此时有：
$$H(\omega )=\mathcal{F}(h(t)sign(t))=\frac{1}{2\pi }\mathcal{F}(h(t))\ast \mathcal{F}(sign(t))=\frac{1}{2\pi }H(\omega )\ast \frac{2}{j\omega }=\frac{1}{j\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{H({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime }\text{\hspace{1em}(2)}$$
  令$H(\omega )=U(\omega )+jV(\omega )$，将其带入(2)中，可得:
$$\begin{gathered} H(\omega )=U(\omega )+jV(\omega )=\frac{1}{j\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{U({\omega }^{\prime })+jV({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime } \\ =\frac{1}{j\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{U({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime }+\frac{1}{j\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{jV({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime } \\ =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{V({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime }-j\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{U({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime } \end{gathered}$$
  从上式可得：
$$\begin{gathered} U(\omega )=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{V({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime } \\ V(\omega )=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{U({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime } \end{gathered}$$
 从上面的式子可知，因果系统频响的实部和虚部并不是相互独立的，由实部可以推出虚部，同样由虚部也可以推出实部。这称为Kramers-Kroningt条件。

3、时延因果系统
  上面讨论的均是无时延的因果系统，实际系统一般都是有时延的。设系统时延为$\tau$，若该系统具备因果性，则需满足：
$$h(t)=0,t<\tau$$
  若$H(\omega )$为对应$h(t)$的频响，则$h(t-\tau )\to H(\omega )e^{-j\omega \tau }$。此时其对应的Kramers-Kroningt条件为
$$\begin{gathered} Re(H(\omega )e^{-j\omega \tau })=U(\omega )cos(\omega \tau )+V(\omega )sin(\omega \tau )=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{Im(H({\omega }^{\prime })e^{-j{\omega }^{\prime }\tau })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime } \\ Im(H(\omega )e^{-j\omega \tau })=V(\omega )cos(\omega \tau )-U(\omega )sin(\omega \tau )=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{Re(H({\omega }^{\prime })e^{-j{\omega }^{\prime }\tau })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime } \end{gathered}$$
  上面的表达式相对比较复杂，在实际计算中由于各种非理想因素或计算误差的影响，可能导致一个因果系统的也无法完全满足上面的条件。为此，需要对系统的因果性进行评估，必要时需要对系统响应进行处理，保证足够的因果性。

4、因果性大小的计算
  如下图所示，因果性通常用系统时延$\tau$以前的冲激响应围成的面积和总面积的比值来衡量，具体地：
$$NonCausality(h)=\frac{\sqrt{{\int }_{-\infty }^{\tau }{h}^2(t)dt}}{\sqrt{{\int }_{-\infty }^{\infty }{h}^2(t)dt}}$$

  考虑到除了冲激响应外，阶跃响应、脉冲响应等不同类型的响应也经常用到，类似地可以定义这些类型的响应的因果性衡量指标，具体地：
$$NonCausality(r)=\frac{\sqrt{{\int }_{-\infty }^{\tau }{r}^2(t)dt}}{\sqrt{{\int }_{-\infty }^{\infty }{r}^2(t)dt}}$$
  其中，$r(t)=h(t)\ast v(t)$，$v(t)$表示阶跃信号或脉冲信号。
  用不同响应来计算因果性程度可能会得到明显不同的结果，如下图所示，红色表示系统的冲激响应，蓝色表示系统的脉冲响应。根据冲激响应计算得到的非因果度是11%，而根据脉冲响应计算得到的非因果度是0.01%。这说明有大约11%的非因果性是来源于系统的高频响应的(高于信号波特率)，所以当要求系统工作在低频时，可以大致认为系统是因果的。

5、强制因果操作
  我们期望系统满足因果性，因为这样的系统是物理可实现的，具有稳定性且可预测。但是实际处理时，由于各种非理想因素的影响，导致系统无法完全满足因果性，此时往往需要通过一些处理手段，强制系统满足因果性。下面介绍常用的时域和频域方法。
5.1、频域方法
  频域方法的基本思路是基于Kramers-Kroningt条件构造满足要求的系统频响的实部和虚部。具体地，包含以下步骤：
（1）估计和补偿系统时延$\tau$，即
$$H_1(\omega )=H(\omega )e^{-j\omega \tau }=U(\omega )+jV(\omega )$$
(2) 求系统频响的实部，并根据Kramers-Kroningt条件$V(\omega )=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{U({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }}d{\omega }^{\prime }$利用系统实部构造系统虚部，该表达式本质上就是对实部进行希尔伯特变换。
(3) 将变换后的实部/虚部重新组合成完成频响，则该频响即满足因果性。

5.2、时域方法

未完待续…
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