考研计组chap2数据的表示和运算

3一、进位计数制

1.r进制

第i位表示r进制的权为i

2.进制转换

（1）r->10

对应位置数*权值

（2）2 -> 16 or 8

每三位2进制数可表示1位16进制

每四位2进制数可表示1位16进制

so 分开之后转为16进制即可

eg：11 1100 0010.01101转8、16

0011 1100 0010.0110 1000 => ( 3 C 2. 6 8)H

001 111 000 010.011 010 => (1 7 0 2 . 3 2)O

（3）10->2、16、18

way1：

整数部分:除r留余数

小数部分:乘r留整数

eg:123.6875->2进制

整数部分 123

123/2 = 61 ……1

61/2 = 30……1

30/2 = 15……0

15/2=7……1

7/2 =3……1

3/2=1……1

1/2=0……1

1101111

小数部分0.6875

0.6875*2=1.375

0.375*2=0.75

0.75*2=1.5

0.5*2=1

1011

so -> 110111.1011

way2：凑数

123=64+32+16+8+2+1 = 2^6+2^5+2^4+2^3+2^1+2^0=1111011

0.6875=0.5+0.125+0.0625 = 2^-1+2^-3+2^-4=.1011

so 123.6875 = 1111011.1011

3.真值和机器数

真值：人类习惯的

机器数：计算机里的样子 2 or 8 or 16进制

无符号数 or 有符号数

ATTn:计算机中数字是以补码形式存在，so运算时使用补码

二、码转制计算(binary)

1.原码

2.反码

符号位不变，数值位01互变

3.补码

反码+1

补码->原码 :way1:-1,数值位01互换

way2:数值位01互换+1

特殊:

x为定点整数，[x]补 = 1,0000000 -> x = -2^7

x为定点小数，[x]补 = 1.0000000 -> x = -1

[x]补->[-x]补 : 全01互换 +1

4.移码

补码符号位01互换，数值位不变

5.符号位+数值位

整体占机器字长n

三、加法替代减法

利用补码，-[x]补 = +[-x]补

四、0扩展、符号扩展 34

五、C语言强制类型转换 32

1.有符号数 <==> 无符号数

内容不变，直接按照规则看即可

    short x = -4321;//2B=16bit
    // [-4321]原 = 1001 0000 1110 0001
    // [-4321]补 = 1110 1111 0001 1111
    // [y]补 = 1110 1111 0001 1111 =>[y]原->真值61,215
    unsigned short y = (unsigned short)x;

2.长 ->短

长的部分直接截断

    int a = 165537;//4B=32bit
    // [a]原 = 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1010 0001 -> [a]补
//    -> Ox0002 86a1(直接从IDE内存视图中获取)
    short b = (short)a;//2B=16bit
//    ->0x86a1 -> -31071
    printf("b = %d\n",b);

3.短 ->长(符号扩展)

so 数值不变，仅是精度变大

（1）有符号数

符号位和数值位之间补符号数

    short c =-4321;
    //0xef1f ->0xffff ef1f
    int m = x;

（2）无符号数

符号位和数值位之间补0

ATTn：顶点整数在计算机中用补码存储

    unsigned short q = 61215;
    //0xef1f -> 0x0000 ef1f
    unsigned int p=(unsigned short ) q;

六、电路补充知识——门电路

逻辑门

1.与

(1)表达式

Y = A·B = AB

(2)图形符号（只表示国际画法）（常用）

2.或

(1)表达式

Y = A+ B

(2)图形符号

3.非

(1)表达式

(2)图形符号

4.或非

先或后非

(1)表达式

(2)图形符号

5.异或

判断是否有异

(1)表达式

(2)图形符号

6.同或

异或取反

(1)表达式

(2)图形符号

7.门变形画法

多个输入，else不变

8.三种基本逻辑运算的优先级

非 > 与 > 或

(用数学符号理解)

eg：(1) Y = AB + CD 先AB 、CD 后取或

（2）A(B+C)D 先B+C 再 A 、D

9.常见公式

（1）交换律

A(B+C) = AB+AC

（2）结合律

ABC=A(BC)

A+B+C = A+(B+C)

（3）反演律

七、加法器 (二进制)

此部分只需知道加法器(FA)的构成，标志位的名称和作用

1.一位加法器(FA)

（1）实现

一次只能计算1bit,Ai表示被加数本位，Bi表示加数本位，Ci-1表示来自低位的进位，Si表示本位和，整体利用逻辑运算进行实现

ATTn：只能进行无符号数加减

（2）Si

Si当有奇数个1时本位为1，有偶数个1时本位为0

（3）Ci

至少有两个1时才能进位

（4）图形

2.带标志位的加法器 40

（1）介绍

在FA的基础上加上四个标识器，从而可以进行有符号数加减

（2）标识

1）OF(Overflow Flag)

表示带符号数是否溢出， OF = 1溢出；OF = 0不溢出

2）ZF(Zero Flag)

表示结果是否为0 ZF = 1 0；ZF = 0，不为0

3）SF(Sign Flag)

表示结果为负or 正 SF = 1，为-，SF = 0，为+

4）CF(Carry Flag)

表示无符号数是否溢出， CF = 1溢出；CF = 0不溢出

（3）图形

1bit计算效率低，so产生两种方式：串行 or 并行

3.并行加法器(串行)

将多个FA串联

disa：后面需要等待前面运行的结果，效率也低

4.并行进位的并行加法器

（1）介绍

对并行加法器进行优化

根据数学推导，if将前面运行之后的结果一并送到后面，则效率会提高

但是if太多，则线路就会很麻烦，so一般规定4个FA并行

由此产生4位CLA加法器

（2）图形

八、电路知识补充——多路选择器 & 三态门

1.多路选择器

（1）作用

门卫，同时可以守多道门，只允许一个通过

（2）图形

ATTn：m >= log 2 n

2.三态门

（1）作用

门卫，同时只能守一道门，决定是否通过

（2）图形

OP = 1 通过 OP = 0 不通过

if 通过了，逐位取反之后通过

dis非门：三态门有控制信号

九、算数逻辑单元(ALU) 40

1.概念

ALU是运算器的核心，ALU的核心是（带标志的）加法器

1.功能

算数功能、逻辑功能、else

2.实现原理

加法器，四个标志，与或

3.看懂ALU图示

因为核心是加法器，so图示与加法器相似，多一个操作控制端(ALUop),选择进行什么操作，决定了ALU功能数

4.考点

（1）ifALU支持k种功能则控制信号位数m>= log2 k up

（2）ALU的运算数、运算结果位数与计算机的机器字长相同

（3）标志位的特性

（4）标志位信息送入PSW程序状态寄存器(标志寄存器FR)

十、定点数移位运算 41

1.算术移位

当作有符号数，右移补0，左移补符号位

2.逻辑移位

当作无符号位，左右移均补0

3.循环移位

（1）不带进位位

（2）带进位位

十一、定点数加减运算

1.原码 44

直接使用原码就是对应数位数值相加，可能会导致溢出

eg:1110 1111

+ 0001 0001

= 1 0000 0000 溢出了

2.补码 41

（1）计算

转为补码进行运算

x - y = x + [-y]补所有数在计算机中以补码形式存在

x ->-x 全取反 +1

eg : 15+24 15-24 P41

[x]原 = 0000 1111 = [x]补 [y]原 = 0001 1000 =[y]补

[x+y ]补= 0000 1111

+ 0001 1000

= 0010 0111 =[x+y]原 ->真值 = +39

[-y]补 = 1110 1000

[x-y]补= 0001 1111

+1110 1000

= 1111 0111 -> [x-y]原 = 1000 1001 ->真值 -9

（2）溢出判断

way1：+++ = - 上溢 -+- = + 下溢

way2：一位符号位（模2补码），加法器中，if 本位 As、Bs 、结果位 Ss 有异号，则说明溢出

V = 0无溢出；V = 1溢出

way3：双符号位（模4补码），S1S2 == 00 结果为+，无溢出；S1S2 == 01 上溢；S1S2 == 10下溢；S1S2 == 11 结果为-，无溢出

ATTN:只存储一位符号位，运算前复制一位之后进行运算

way4：符号位和数值位最高位

V = 0 不溢出 V =1 溢出

有符号数 vs 无符号数

操作相同，way1：手算，看结果是否在正常范围内

way2：机算(溢出了)：正数：最高位进1了；负数，最高位进0了

（3）补码加减的运算电路 42

十二、乘法运算

1.原码

正常小学算法中，0.1101*0.1011(二进制)

0.1101（被乘数）

*0.1011（乘数）

01101

011010

000000

01101000

= 0.10001111

看乘数的数位，为1，加被乘数；为0，不加，每次加完被乘数左移再写

（1）加法器中

ACC表示中间结果，起初全为0，MQ中存放乘数，X中存放被乘数。

eg：01101*0.1011

当乘数为1时，（ACC+01101）->（ACC）

每次加完之后ACC逻辑右移，相当于被乘数逻辑左移，so观察5次乘数尾数，右移4次后终止

（2）手算模拟

step1：先取x、y绝对值，因为是乘法，so先把符号位放着，最后确定符号位。

step2：双符号位运算

step3：符号异或（or常识）获得，数值位为ACC除了符号位+MQ中除了符号位

eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = -0.1101，y=+0.1011，求xy

step1：|x| = 00.1101 |y|= 00.1011 （原码）

step2：(如图)

step3：负数肯定符号位为1，key = 1.1000 1111

2.补码(Booth算法)

类比补码加法，使用补码进行运算，符号位参与运算，在乘数处运用辅助位(置于末尾)，辅助位-数值位最低位(此处只是好记，实际上最低位是辅助位)，根据正负对应+[+/-x]补，加完之后ACC算术右移，最后n次加完之后仍需判断进行+[+/-x]补，so一共n次右移，n+1次加减

（1）加法器中

（2）手算模拟

step1：转为补码

step2：符号位-最低位进行加减

step3：n次右移之后判断再+1次

step4：key为ACC+MQ除了原符号位

十三、除法运算

1.原码

小学方法：计算之后被除数-该位商*除数，之后补0再运算

由此可知，除法可理解为拼凑，商是找最接近被除数的除数的多少个整数倍，余数是被除数-该位商*除数的数，也就是接下来还需要拼凑的部分

（1）恢复余数法

因为二进制只会商0 or 1，so根据当时拼凑的数与除数的大小进行判断。但因为计算机设置，商默认为1，由此先减去，之后判断是否为+or-，if为-则说名商1不行，则改为0，同时因为拼凑部分-y了，需+回去，so名字为恢复余数法

eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = 0.1011，y=0.1101，求x/y

|x| = 0.1011 |y| = 0.1101 [|y|]补= 0、1101 [-|y|]补 = 1.0011

1）加法器中

在加法器中，ACC放置被除数，MQ放置商，X放置除数

2）手算模拟

step1：计算|x| = 0.1011 |y| = 0.1101 [|y|]补= 0.1101 [-|y|]补 = 1.0011

step2：商1，+[-|y|]补，检测是否正确，if拼接-除数 <0,则恢复0 且+[|y|]补

step3:计算完之后MQ、ACC左移（相当于除数右移），再取商，直到MQ位满

step4：最后检测商0是否正确，if不对还得修改

step5：最后结果商为（MQ），余数为(ACC)*2^(-n)，attn小数点的补充

3)逻辑图

（2）加减交替法（不恢复余数法）

思考：能否不那么麻烦，来回更改0/1，还需要逻辑左移； ->通过数学推导，省略中间过程

if 余数为-，则需要改为0····，这时直接(左移)2*余数+|除数|即可；商1，与之前相同(左移-|除数|)

1）手算模拟

eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = 0.1011，y=0.1101，采用加减交替法求x/y

|x| = 0.1011 |y| = 0.1101 [|y|]补= 0.1101 [-|y|]补 = 1.0011

被除数/余数商

0.1011

+[-|y|]补 1.0011

1.1110 0
左移 1.1100

+[|y|]补 0.1101

              0.1001          01
左移 1.0010

+[-|y|]补 1.0011

0.0101 011

左移 0.1010

+[-|y|]补 1.0011

1.0011 0110

左移 0.0110

+[|y|]补 0.1101

0.0111 01101

最后判断符号 so 商0.1101 余数 0.0111*2^(-4)

2)逻辑图

2.补码(加减除数法)

dis 原码：补码中符号参与运算，使用双符号位

（1）thought

符号参与运算，so运算数不需要取| |，使用数字之间的符号同异进行判断，除数和被除数符号确定加件除数，余数和除数判断商。

首先判断除数和被除数是否同号，同号-除数，异号+；±完之后与除数判断商即可，同号商1，异号商0，重复n次

（2）手算

eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = +0.1000，y=-0.1011，采用补码加减交替法求x/y

[x]补 = 00.1000 [y]补 = 11.0101 [-y]补 = 00.1011

                        被除数/余数(ACC)     MQ

00.1000 异号 00000

+[y]补 11.0101

                        11.1101 同号                        00001
左移 11.1010

+[-y]补 00.1011

00.0101 异号 00010

左移 00.1010

   +[y]补 11.0101

11.1111 同号 00101

左移 11.1110

+[-y]补 00.1011

00.1001 异号 01010

左移    01.0010

   +[y]补 11.0101

   00.0111 异号 10100 正常情况商0，但是为了减小误差恒1

十四、数据的存储和排列 61

1.大端存储 vs 小段存储

c short 类型2B = 16bit，->16进制4位，小端存储即倒着，so c = 0xef1f

3.字 vs 字节

32bit机器中，1字= 32bit

字节 1Byte = 8bit

4.边界对齐 vs 边界不对齐

一行1字，char(1B)占1/4字，short占半字，每半字为单位

十五、浮点数的表示与运算 55

类似科学计数法

1.浮点数的表示 55

（1）表示

1）阶码

表示次数

2）尾数

具体数值

3）真值

真正的数值

（2）规格化

1)左规

尾数算数左移，阶码-1

2)右规

尾数算数右移，阶码+1

3)原码

数值位最高位为1，具有符号位

正数:0.1xxx……x

负数:1.1xxx……x

4)补码

尾数最高数值位与符号位相反

正数:0.1xxx……x

负数:1.0xxx……x

（3）表示范围(已删除)

2.IEEE 754标准 56

（1）表示

阶码用移码表示，尾数用原码表示

移码 = 真值+偏置值

dist：在进行码之间转换时，规定偏置值为2^（n-1）

在IEEE 754中规定偏置值为2^(n-1) -1 则float 偏置值为127

（2）data类型(eg float)

考察:float、 double、long double

阶符ms 阶码E 尾数M(隐含1.) 机器字长

1 8 23 32

（3）格式

ms;E;M ->转为16进制

（4）真值 <==>规格数

1)真值 ->IEEE 754

step：

step1：根据符号定ms

step2：整数部分和小数部分转为2进制，化为类科学计数法

step3：根据次方定E，E用移码表示----E 移码 = 真值 + 偏置值 (way2)

step4：隐藏1定M

step5：补位、组合后化为16进制

eg:十进制-8.25 ->IEEE 754 float p58

step1:

ms = 1

step2：

8D = 1000B 0.25D = 0.01B

8.25D = 1000.01B = (1.00001B)*2^3

step3：

E = [3]移码 = 10000010

way1:[3]移码=10000011 -1 = 1000010 (普通 -1)

way2:3+127=130当作无符号数 = 1000010

step4：M = 00001

step5：float 1+8+23

ms = 1 E = 10000010 M = 0000100000……0(补0到23位)

so 1;100 0001 0 ; 000 0100 0000 0000 0000 0000 -> C104 0000H

2)IEEE 754 ->真值

step:

step1:16进制化为2进制，分成ms、E、M

step2：根据ms定正负，E转为真值，M+1.

step3:组装 ->化为10进制

eg:IEEE754 C640 0000H ->真值

step1: C640 0000H-> 1100 0001 0000 0100 16个0 B

ms = 1 E = 1000 0010 M = 100 16个0

step2:ms表示负数 E = 13D

M -> 1.1B ->1.5D

step3: - 1.5* 2^13

（4）特殊值（float）

1）原因

IEEE754的偏置值为127，so -127表示全0，-128表示全1，so用作了特殊用途

2）数值

符号位表正负

i)+0 vs -0

阶码全0 ，尾数全0

ii)+∞ vs -∞

阶码全1，尾数全0

iii)无规格化正数 vs 无规格化负数

阶码全0，尾数不全为0，表示极小的正负数

iV)NAN

阶码全1，尾数不全为0

3.浮点数的运算

（1）加减运算 59

steps:
step0:转换成二进制补码(阶码和数码)

step1:齐阶

用阶相减之后的正负表示大小，小->大靠拢

step2:尾数相加(减)

step3:规格化(符号位同号)

step4:舍入(末尾为0则不用舍入)

step5:判断溢出(阶次是否溢出)

step6:转为真值

eg:十进制 X = -5/256,Y = +59/1024,计算X-Y,结果用2进制表示，浮点数格式:阶符数2位，阶码位3位，数符2位，尾数9位

step0：

X = -5/256 = -101*2^(-101) Y = +59/1024 = 0.111011*2^(-100) 二进制

X : 11011,11.011000000 Y: 11100,00.111011000

step1:

11011 - 11100 = 11011 + 00100 = 11111 -> -1

X : 11011,11.011000000 -> 11100,11.1011000000

step3:

X - Y = X+ （-Y ） = 11.01100000+11.000101000 = 10.110001000

step4:

X - Y : 11100,10.110001000 右移 -> 11101,11.011000100

4.末尾为0，无舍入

5. 无溢出真值 2^(-3)*(-0.110001)2