【动态规划】| 路径问题之不同路径力扣62

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1. 题目解析

题目链接: https://leetcode.cn/problems/unique-paths/description/
题目解析
通常动态规划的题目有五个大步骤进行解析, 接下来一一来进行分析.

1. 状态表示
动态规划的重点是在状态表示这里的, 我们通过状态表示才可以写出正确的状态转移方程, 状态表示我们通常都是根据 经验+题目 要求来进行定义的.
比如本道题是一个二维的矩阵, 那么我们可以定义我们的状态表示为

dp[i][j]: 表示走到 (i, j) 这个位置时, 一共有多少条不同的路径

合适的状态表示才能很顺利正确的推导出状态转移方程, 所以要积累经验定义出合适的状态表示.

2. 状态转移方程
根据题目要求, 假如我们走到了 (i,j) 位置时, 我们可以从上面往下走或者是从左面往右走, 即是从 (i-1, j) 或者 (i, j-1) 往 (i, j) 的位置走.
根据状态表示, dp[i][j] 的大小可以由两部分组成, 既然问的是不同路径, 那么共有两条不同的路径: 从左往右走或者从上往下走, 二者之间应该是和的关系. 从 (0, 0) 走到 (i-1, j) 共有多少种方式, 那么从 (0, 0) 走到 (i, j) 也有多少种方式, 正好所对应的就是 dp[i - 1][j] 所表示的含义. 同理 dp[i][j - 1] 也是. 那么状态转移方程应如下表示:

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

在这里插入图片描述

3. 初始化
细节问题: 观察状态转移方程可知, 有可能会有越界的风险, 此处我们采取一种多加一行一列的方式来进行初始化.
多加一行一列要保证两点:

虚拟节点的值要保证后面的dp 表里的值是正确的
要注意下标的映射关系. 因为我们是多加了一行一列, 所以对应到原始数组就应该行列要减一

原本的dp[0][0] 只有一种路径方式, 也就是 dp[0][0] = 1. 因为我们多加了一行一列, 所以变成了 dp[1][1] = 1. 那么我们只需保证现在的dp[0][1] = 1 或者 dp[1][0] = 1即可保证后续dp 表中的值都是正确的.
在这里插入图片描述

4. 填表顺序
观察可知, 填 (i, j) 的值的时候需要用到上一行和左边的值. 所以填表顺序是从上往下, 从左往右.

5. 返回值
根据题目的要求, 要到达(m, n) 共有多少不同的路径, 正好对应 dp[m][n] 的表示. 所以返回 dp[m][n] 即可.

2. 代码

动态规划的代码编写一般都是分为 4 个步骤进行:

创建 dp 表
初始化
填表
返回值

// 这道题即可以使用记忆化搜索, 也可以使用动态规划
    // 时间复杂度都是 O(M*N)
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // 1.创建 dp表
        // 2.初始化
        // 3.填表
        // 4.返回值
        // 动态规划 这里的是二维, 所以时空都是O(M*N)

        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        dp[0][1] = 1; // 初始化
        // 填表, 从上往下, 从左往右
        // 注意多加了一行一列, 所以都是从 (1, 1) 开始遍历填写
        // 注意下标的映射关系, 此题不涉及到原数组, 所以没有影响
        for(int i = 1; i <= m; i++) { // 从上往下每一行
            for(int j = 1; j <= n; j++) { // 从左往右每一列
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }