我们先前聊过推荐系统中的经典问题，其中有一类就是评分预测。平心而论，评分预测问题只是很典型，其实并不大众。毕竟在实际的应用中，评分数据很难收集到；与之相对的另一类问题是行为预测，却处处可见。

缘起

评分预测问题之所以小众却十分重要，这一点得益于十几年前Netflix Prize的那一百万美元的悬赏效应。

悬榜：凡是能在他们现有的推荐系统基础上，把均方根误差下降10%的人，可以瓜分100万美元。Netflix放出的数据正是评分数据，推荐系统的问题模式也是评分预测，评价标准是均方根误差。在这一百万美元的加持下，催生了很多优秀的推荐算法。其中最为著名的当属矩阵分解模型，而最最著名的模型就是SVD以及其各种变体。

今天，我就和你细聊一下矩阵分解，SVD及其最有名的变种算法。

矩阵分解

为什么要矩阵分解

矩阵分解确实可以解决一些近邻模型无法解决的问题。
近邻模型的问题：
1、物品之间存在相关性，信息量并不随着向量味道增加而线性增加；
2、矩阵元素稀疏，计算结果不稳定，增减一个向量维度，导致近邻结果差异很大的情况存在。

上述两个问题，在矩阵分解中可以得到解决。矩阵分解，就是把原来的大矩阵，近似分解成两个小矩阵的乘积，在实际土建计算时，不再使用大矩阵，而是使用分解得到的两个小矩阵。

具体来说，假如用户物品的评分矩阵A是m乘以n维，即一共有m个用户，n个物品。我们选一个很小的数k,这个k比m和n都小很多，比如小两个数量级这样，通过 一套算法得到两个矩阵U和V，矩阵U的维度是m乘以k,矩阵V的维度是n乘以k;

$$A_{m\times n}\approx U_{m\times k}\ast V_{n\times k}^T$$

类似这样的矩阵分解，还有一个更常见的名字SVD;

1 基础的SVD算法

SVD全称奇异值分解，属于线性代数的知识，然而在推荐算法中实际使用的并不是正统的奇异值分解，而是一个伪奇异值分解；

今天我介绍的SVD是由Netflix Prize中取得骄人成绩的Yehuda Koren提出的矩阵分解推荐算法。

首先介绍基础的SVD算法，然后是考虑偏置信息，接着是超越评分矩阵增加多种输入，最后是增加时间因素。矩阵分解，就是把用户和物品都映射到一个k维空间中，这个k维空间不是我们直接看到的，也不一定具有非常好的可解释性，每一个维度也没有名字，所以常常叫做隐因子。

每一个物品都得到一个向量q,每一个用户也都得到一个向量p。对于物品，与它对应的向量q中的元素，有正有负，代表着这个物品背后隐藏一些用户关注的因素。
对于用户，与它相对应的向量p中的元素，有正有负，代表着这个用户在若干因素上的喜好。物品被关注的因素和用户偏好的因素，它们的数量和意义是一致的，就是
我们在矩阵分解之处人为指定的k。

举例，用户u的向量是pu,物品i的向量是qi，那么，要计算物品i推荐给用户u的推荐分数，只需计算点积即可。
$$\widehat{r_{ui}}=p_u\ast q_i^T$$

看上去很简单，难点在于如何得到每一个用户，每一个物品的k维向量。这是一个机器学习问题，按照机器学习的框架，一般需考虑两个核心要素；
1、损失函数
2、优化算法

SVD的损失函数是这样定义的：

这个损失函数由两部分构成，加号前一部分控制模型的偏差，加号后一部分控制模型的方差；
前一部分就是：用分解后的矩阵预测分数，要和实际的用户评分之间误差越小越好。
后一部分就是：得到的隐因子向量要越简单越好，以控制模型的方差。

整个SVD的学习过程是：
1、准备好用户物品的评分矩阵，每一条评分数据看做一条训练样本；
2、给分解后的U矩阵和V矩阵随机初始化元素值；
3、用U和V计算预测后的分数；
4、计算预测的分数和实际的分数误差；
5、按照梯度下降的方向更新U和V中的元素值；
6、重复步骤3到5，直到达到停止条件。

得到分解后的矩阵之后，实质上就是得到了每个用户和每个物品的隐因子向量，有了这个向量，再做推荐计算就简单多了；

2 增加偏置信息

你已经了解基础的SVD了。现在我们考虑一下实际情况，试想一下：有一些用户会给出偏高的评分，比如标准宽松的用户；有一些物品也会收到偏高的评分，比如 一些目标观众为铁粉的电影，最终导致的就是平台的全局评分就偏高。

所以，原来的SVD就有了第一个变种：把偏置信息抽出来的SVD。

一个用户给一个物品的评分会由四部分组成：
$$\widehat{r_{ui}}=u+b_i+b_u+p_u\ast q_i^T$$

从左至右分别代表：全局平均值、物品的评分偏置、用户的评分偏置、用户和物品之间的兴趣偏好。

举例：假如一个电影评分网站全局平均分是3分，《肖申克的救赎》的平均分比全局平均分要高1分，你是一个对电影比较严格的人，你一般打分比平均分都要低0.5分 ，所以前三项从左向右分别为：3,1,-0.5,如果简单就靠这三项，可以计算出你会给《肖申克的救赎》打的分值为3.5分。

增加了偏置信息的SVD模型目标函数稍有改变：

和基础的SVD相比，增加了两个参数：用户偏置和物品偏置。

3 增加历史行为

探讨完增加偏置信息的SVD后，接着再思考一个问题：有的用户评分比较少。事实上：相比沉默的大多数，主动点评电影或者美食的用户毕竟还是少数。

换句话说，显示反馈比隐式反馈少，那么能不能利用隐式反馈来弥补这一点呢？另外，再考虑多一点，对于用户的个人属性，比如性别等，能否也加入到模型中来弥补冷启动的不足呢？
以上考虑是可行的，在SVD中结合用户的隐式反馈行为和属性，这套模型叫做SVD++.
先说隐式反馈如何加入，方法是：除了假设评分矩阵中的物品有一个隐因子向量外，用户有过行为的物品集合也都有一个隐因子向量，维度是一样的。把用户操作过的物品
隐因子向量加起来，用来表达用户的兴趣偏好。

类似的，用户属性，对每一个特征也假设都存在一个同样维度的隐因子向量，一个用户的所有属性对应的隐因子向量相加，也代表了他的一些偏好。
综合两者，SVD++的目标函数中，只需要把推荐分数预测部分稍作修改，原来的用户向量增加了隐式反馈向量和用户属性向量：

其中$N_u$为用户u所产生行为的物品集合;$y_j$为隐藏的、对于商品j的个人偏好设置（相当于每种产生行为的商品都有一个偏好$y_j$）,是一个我们要学习的参数。并且$y_j$是一个向量，维度数等于隐因子维度数，每一个分量代表对该商品的某一因子成分的偏好程度，也就是说对$y_j$求和，实际上是将所有产生行为的商品对应的隐因子分量值进行分别求和，最后得到的求和后的向量，相当于是用户对这些隐因子的偏好程度。${\left|\begin{array}{c}{N}_u\end{array}\right|}^{(-\frac{1}{2})}$ 是一个规范化因子。

4 考虑时间因素

在时间长度上看，人是善变的，或美其名曰，人是进步的。因此，在SVD中考虑时间因素也变得顺理成章。

在SVD中考虑时间因素，有几种做法：
1、对评分按照时间加权，让久远的评分更趋近平均值；
2、对评分时间划分区间，不同的时间区间分别学习出隐因子向量，使用时按照区间使用对应的隐因子向量来计算；
3、对特殊的期间，如节日、周末等训练对应的隐因子向量。

总结

至此，我们介绍了在Netflix Prize比赛中最为出众的模型：SVD及其一些典型的改进。改进方案分别是：
1、考虑偏置信息；
2、考虑隐式反馈和用户属性
3、考虑时间因素