CF297C Splitting the Uniqueness 题解

非常好构造题，使我的草稿纸旋转。

解法

我们记输入的数组为 $a$，需要输出的两个数组为 $b,c$（因为当时起变量名起的）。

考虑利用 $a_i$ 互不相同的性质。

先将 $a_i$ 升序排序。因为题中保证 $a_i$ 互不相同，所以相邻两数的差至少为 $1$，从而 $a_i\ge i-1$。

考虑到最多有 $\lceil \frac{n}{3}\rceil$ 个重复数字，即为需要至少有 $\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor$ 种不同数字。我们可以将整个数组等分为 $3$ 段，分别是 $[1,\lfloor \frac{n}{3}\rfloor ]$，$(\lfloor \frac{n}{3}\rfloor ,\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor ]$，$(\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor ,n]$。具体构造如下图。

为什么这么构造是对的？

显然对于 $c$ 数组，第二段和第三段的数互不相同，满足至少有 $\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor$ 种不同数字。考虑为什么 $b$ 数组至少有 $\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor$ 种不同数字。

观察第一段和第三段，因为 $a_i\ge i-1$，所以第三段的第一个 $a_i$ 满足 $a_i\ge \frac{2n}{3}$，而 $n-\lfloor \frac{2n}{3}\rfloor -1=\lceil \frac{n}{3}\rceil -1$，所以 $c_i$ 满足 $c_i\ge \frac{n}{3}$，而在第三段 $a$ 单调上升，$c$ 单调下降，所以 $b$ 单调上升，所以 $b$ 数组在第一段和第三段互不相同。

代码

#include<bits/stdc++.h>
namespace fast_IO
{
    /**
     * 没啥用的快读快写
    */
};
using namespace fast_IO;
int n,b[100010],c[100010],fir,sec;
struct node
{
    int val,ord;
    inline bool operator<(const node rhs) const
    {
        return val<rhs.val;
    }
};
node a[100010];
int main()
{
    in>>n,fir=n/3,sec=n*2/3;
    for(int i=1;i<=n;i++) in>>a[i].val,a[i].ord=i;
    std::sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=fir;i++) b[a[i].ord]=i-1,c[a[i].ord]=a[i].val-b[a[i].ord];
    for(int i=fir+1;i<=sec;i++) c[a[i].ord]=i-1,b[a[i].ord]=a[i].val-c[a[i].ord];
    for(int i=n;i>sec;i--) c[a[i].ord]=n-i,b[a[i].ord]=a[i].val-c[a[i].ord];
    out<<"YES\n";
    for(int i=1;i<=n;i++) out<<b[i]<<' ';
    out<<'\n';
    for(int i=1;i<=n;i++) out<<c[i]<<' ';
    fwrite(Ouf,1,p3-Ouf,stdout),fflush(stdout);
    return 0;
}