MPC控制算法简化版

模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）是一种先进的控制策略，广泛应用于人形机器人的运动控制。具体实现过程中，还需结合机器人的实际动力学模型和更多的物理约束条件。以下是一个人形机器人应用MPC算法的简要示例：

示例：使用MPC控制人形机器人行走

1. 系统建模

首先，需要建立人形机器人的动力学模型。这包括机器人的关节角度、角速度、关节力矩等状态变量，以及这些状态变量之间的动力学关系。

2. 定义控制目标

定义机器人的控制目标，例如在保持平衡的同时，让机器人以一定的速度向前行走。

3. 构建MPC优化问题

MPC的核心是解决一个优化问题，以预测未来一段时间内的系统行为，并计算出最优的控制输入。具体步骤如下：

• 1、预测模型：利用动力学模型预测未来时刻机器人的状态。
• 2、滚动优化：在每个控制周期内，解决以下优化问题：
  
  其中，x(k) 是第 k 时刻的状态向量，x𝑟𝑒𝑓(k) 是参考状态向量，u(k) 是控制输入，Q和R是权重矩阵，N 是预测时域长度。
• 3、约束条件：加入系统的物理约束，如关节角度、关节力矩的限制，以及避免与障碍物碰撞的约束。

4. 实时控制

在每个控制周期，进行以下步骤：

• 1、状态测量：测量当前机器人的状态 x(t)。
• 2、优化求解：利用当前状态作为初始条件，求解MPC优化问题，得到最优的控制输入序列 u∗(t),u∗(t+1),…,u∗(t+N)。
• 3、施加控制：施加第一个控制输入 u∗(t) 给机器人。
• 4、滚动窗口：更新状态并重复上述过程。

5. 仿真与验证

通过仿真验证MPC算法的有效性，确保机器人能够按照预定的轨迹行走，并能在面对外部扰动时保持稳定。

代码示例

以下是一个简化的MPC控制人形机器人步态的Python代码示例，使用常见的MPC库如CasADi进行实现：

import casadi as ca
import numpy as np

# 定义系统动力学模型
def robot_dynamics(x, u):
    # 简化的动力学模型
    x_next = x + u
    return x_next

# MPC参数
N = 10  # 预测时域
Q = np.eye(2)
R = np.eye(1)

# 初始状态
x0 = np.array([0, 0])

# 状态和控制变量
x = ca.SX.sym('x', 2)
u = ca.SX.sym('u', 1)

# 优化变量
X = ca.SX.sym('X', 2, N+1)
U = ca.SX.sym('U', 1, N)

# 初始状态约束
constr = [X[:, 0] == x0]

# 目标函数
obj = 0

for k in range(N):
    x_next = robot_dynamics(X[:, k], U[:, k])
    constr += [X[:, k+1] == x_next]
    obj += ca.mtimes([(X[:, k] - x0).T, Q, (X[:, k] - x0)]) + ca.mtimes([U[:, k].T, R, U[:, k]])

# 优化器
nlp = {'x': ca.vertcat(ca.reshape(X, -1, 1), ca.reshape(U, -1, 1)),
       'f': obj,
       'g': ca.vertcat(*constr)}
solver = ca.nlpsol('solver', 'ipopt', nlp)

# 初始猜测
x_guess = np.zeros((2, N+1))
u_guess = np.zeros((1, N))
sol = solver(x0=ca.vertcat(ca.reshape(x_guess, -1, 1), ca.reshape(u_guess, -1, 1)),
             lbg=0, ubg=0)

# 提取最优控制输入
optimal_u = np.array(sol['x'][-N:]).flatten()
print("Optimal control input: ", optimal_u)