插入排序，如一位细心的整理者，
她从序列的左端开始，
挨个将元素归位。

每当她遇到一个无序的元素，
便将它插入已经有序的部分，
直至所有元素有序排列。

她不张扬，却有效率，
用自己的方式，
为序列找到了平衡与秩序。

一、插入排序

插入排序是一种简单直观的排序算法。插入排序的思想类似于我们打扑克牌时的排序过程：每次从未排序的牌堆中取出一张牌，并插入到已排序的牌堆中的正确位置。

具体来说，插入排序的过程如下：

1. 将数组分成已排序区间和未排序区间，初始时已排序区间只包含第一个元素。
2. 从未排序区间取出一个元素，依次与已排序区间的元素比较，找到合适的位置插入。
3. 将该元素插入到已排序区间的正确位置。
4. 重复步骤 $2$ 和 $3$，直到未排序区间为空，整个数组都有序为止。

二、发展历史

插入排序作为最简单直观的排序算法之一，其历史可以追溯到古代。然而，现代计算机科学中对插入排序的形式化描述和分析是在 $20$ 世纪中叶开始的。

1. 古代： 插入排序的概念可能可以追溯到古代，人们在整理和排序物品时可能会采用类似的方法。例如，根据字母顺序整理书籍或文件。
2. $1950$ 年代： 插入排序首次在计算机科学中被正式描述。在早期计算机系统中，人们需要开发简单而有效的排序算法来处理数据。插入排序由此应生，因为它的实现相对简单，适用于早期计算机的硬件和软件限制。
3. $1960$ 年代： 插入排序及其变体开始被广泛研究和应用，特别是在早期的编程教育和计算机科学课程中。
4. $1970$ 年代至今： 随着计算机硬件和算法研究的发展，插入排序作为一种基本排序算法仍然被广泛使用。虽然它的时间复杂度较高（平均情况下为 $O(n^2)$），但对于小规模数据或部分有序的数据，插入排序仍然是一种简单而有效的选择。

三、处理流程

场景假设：我们需要将下面的无序序列使用插入排序按从小到大进行排序。

1. 第 $1$ 轮插入：默认第 $1$ 个元素处于已排序区间，取未排序区间中第 $1$ 个元素（即：$2$）为基准，将元素 $2$ 插入到已排序区间正确位置

2. 第 $2$ 轮插入：取未排序区间中第 $1$ 个元素（即：$1$）为基准，将元素 $1$ 插入到已排序区间正确位置

3. 第 $3$ 轮插入：取未排序区间中第 $1$ 个元素（即：$5$）为基准，将元素 $5$ 插入到已排序区间正确位置

4. 第 $4$ 轮插入：取未排序区间中第 $1$ 个元素（即：$3$）为基准，将元素 $3$ 插入到已排序区间正确位置

四、算法实现

void insertionSort(int[] arr) {
    int n = arr.length; // 获取数组长度
    
    // 从第二个元素开始，依次将元素插入到已排序序列中
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int key = arr[i]; // 当前待插入的元素
        int j = i - 1; // 已排序序列的最后一个元素的索引

        // 从已排序序列的最后一个元素开始，向前遍历
        // 如果已排序序列中的元素大于当前待插入的元素，则将该元素向右移动
        // 直到找到合适的插入位置
        while (j >= 0 && arr[j] > key) {
            arr[j + 1] = arr[j]; // 将 arr[j] 向右移动一位
            j--; // 继续向前遍历
        }
        arr[j + 1] = key; // 将当前待插入的元素插入到合适的位置
    }
}

算法时间复杂度分析：

情况	时间复杂度	计算公式	公式解释
最好情况	$O(n)$	$T(n)=n=O(n)$	当输入的数据已经是有序的（升序或降序），插入排序只需要遍历一次数组，因此最优时间复杂度是 $O(n)$
平均情况	$O(n^2)$	$T(n)={\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}=O(n^2)$	在平均情况下，插入排序需要比较 $\frac{n(n+1)}{2}$ 次，因此平均时间复杂度是 $O(n^2)$
最坏情况	$O(n^2)$	$T(n)={\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}=O(n^2)$	当输入的数据是完全逆序的，插入排序需要比较 $\frac{n(n+1)}{2}$ 次，因此最坏时间复杂度是 $O(n^2)$

五、插入排序的特性

插入排序具有以下特性：

1. 稳定性： 插入排序是一种稳定的排序算法，即相等元素的相对位置在排序前后保持不变。
2. 原地性： 插入排序是一种原地排序算法，它只需要常数级别的额外空间来存储少量的辅助变量，而不需要额外的数组空间。
3. 适用性： 对于小规模数组或部分有序的数组，插入排序是一个简单且高效的排序算法。但在处理大规模数据集时，插入排序的性能通常不如快速排序、归并排序等高级排序算法。

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