如何理解与学习数学分析——第二部分——数学分析中的基本概念——第5章—

第2 部分：数学分析中的基本概念

(Concepts in Analysis)

5. 序列(Sequences)

本章介绍了序列属性，例如单调性、有界性和收敛性，使用图表和示例来解释这些属性，并演示如何在各种证明中使用它们的定义。讨论了趋于无穷大的序列出现的问题，并描述了该内容适合典型分析课程的方式。

译注：在日常英语用语中，单词“sequence”和“series”是同义词，用于表达按某种次序排列的连续不断的事物或事件。但是在数学中，这两个词具有特别的技术性意义。单词“sequence” 一词的常用用法是表达一组按顺序排列的事物的概念，而单词“series”意义稍有不同。我们将“sequence”译为“序列”， 序列是任何对象按特定顺序逐项排列构成的列表并遵循某种规则，因此顺序很重要。我们将“series”译为“级数”，一个级数为一个序列的各项之和，“级”在汉语中原本指“石阶”，这里指其像石阶一样一级一级地累上去构成更长的“阶梯”。

5.1 何谓序列？(What is a sequence?)

一个序列一个由无穷多个数组成的列表，像这样：

2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .

或者像以下序列之一：

$1 \:,\frac{1}{3} \:,\frac{1}{9} \: ,\frac{1}{27} \: ,\frac{1}{8} \:,\frac{1}{243} \:, ...$

1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .

数学分析涉及对各种序列属性及其之间关系的研究。灵活地理解这些关系，有助于了解表示序列的一些不同方式以及这些表示的一些优缺点。即使使用这个简单的列表表示，也有一些事项需要注意。

首先，该列表在每对序列项之间有一个逗号(a comma)，在最后一个项后面有一个明确的逗号。这只是符号约定，但如果你做对了，它就会看起来很专业。

第二，列表以省略号(an ellipsis)结尾——一组3个实心点(dots)(译注：英语中的省略号是3个实心点，汉语中的省略号是6个实心点)。这是一个专用的标点符号(punctuation mark)，在这里它的意思是“永远如此(and so on forever)”。包含省略号很重要，否则受过数学教育的读者会认为列表停在最后一个表述项处，这是不合适的，因为在数学分析中“序列(sequence)”一词总是指无穷序列。在日常生活中情况并非如此，“序列”一词可能指的是有限列表。与本科数学中的所有定义一样，您可以自由地认为您更喜欢日常解释，但您必须遵守学习中的惯例(注：请参阅本书的第 2 章，以及<<如何学习数学>>(How to Study for/as a Mathematics ，Degree/Major)的第 3 章，以了解更详细的讨论)。

第三，序列“仅在一个方向上”是无限的。例如，这不是一个序列：

. . . , –6 , –4 , –2 , 0 , 2 , 4 , 6 , . . .

另一种非正式的说法是序列必须有第一项。对此进行评论可能看起来很奇怪，但有些情况会诱使学生允许序列“在两个方向上”都是无限的。我将在第 5.9 节中指出这一点。

最后，上面的序列遵循明显的模式，但这不是必要的特征。随机生成的数字的无限列表将是一个完美的序列。当然，它很难使用，因此在实践中您通常会看到遵循某种模式的序列。但是关于序列的一般定理适用于满足其前提的所有序列(注：有关定理前提的讨论，请参见第 2.7 节和第 2.8 节)，而不仅仅是那些可以使用良好公式表达的序列。

5.2 序列记法(Representing sequences)

尽管有上面关于序列的评注，但公式对于表示序列通常很有用。例如，序列 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , ... ，可以通过记为以下形式来指定：

令 $(a_{n})$ 为一个由 $(a_{n})=2n$ (对 ∀n∈ℕ)定义的序列。

思考一下这样的规范与序列必须有第一项这一事实之间的联系。自然数集合 ℕ 是 {1，2，3，4 ，...} ，因此这个规范产生了 $a_{1}=2$ , $a_{2} = 4$ ，等等；不存在 $a_{0}$ 或 $a_{-1}$ 项，注意， $a_{n}$ 表示序列的第 n 项，而 $(a_{n})$ 表示整个序列。两者非常不同—— $a_{n}$ 是一个单一的数，而 $(a_{n})$ 无限个数构成的一个列表——因此，请确保你写对正确的格式。整序列的另一种记法是 $\{{a_{n}}\}_{n=1}^{\infty}$ 。我不喜欢那个记法，部分缘于它更长，部分缘于花括号(curly braces)也用于表示其中列出的项的顺序无关紧要的集合。但对于序列来说，顺序很重要。因此，我将坚持使用本书的圆括号版本，但您应该采用您的课程或教科书使用的版本(译注：或许这一点对于考试来说很重要，尤其是教条式的应该考试)。

为了进一步简化，我们可以在括号中写一个公式，就像这样的句子：

考虑序列(2n) 。

序列 $(\frac{1}{3^{n-1}})$ 随着 n 趋近于无穷大而趋近于 0 。

然而，为了清晰起见，较长的表述仍然有用，如果不同的项以不同的方式指定，我们可能仍然需要它。例如，序列 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... 可以这样指定：

令 $(x_{n})$ 为由

所定义的序列。

这只是一个序列，因此不要因为其记法方式而被诱使将其视为“两个序列”。该公式如常规一样，为 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 等给出单个值。

这是另外两个序列，使用公式和列表表示。哪个公式对应哪个列表？

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, . . . 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, . . .

公式很有用，因为它们给出了整个序列的缩写表达式。但我建议不要沉迷于它们。在表示之间进行转换是一项重要技能，但学生有时会花很长时间担心如何编写公式，而列表可以很好地表达他们的观点。

序列也可以用图形表示。一种标准的图形表示是数轴，对于某些序列，例如 $1 ,\frac{1}{2} ,\frac{1}{4} ,\frac{1}{8} , \frac{1}{16} ,...,$ 这用图形表现得很好：

但请注意，该图并未明确表示术语的顺序，因此要“读”它，我们必须强加一些额外的知识，了解哪个标签指的是第一项，哪个标签指的是第二项，依此类推。这使得数轴对于像 1, 0, 1, 0, 1, 0,...这样的序列几乎没有用处，尽管我们可以添加随附的标签来解释所发生的是什么：

另一种方法是使用额外的维度，绘制针对 n 的 $x_{n}$ 关系图：

对于序列图，使用点而不是曲线是合适的，因为每个序列仅针对自然数值进行定义；例如，没有 $a_{3/2}$ 。另请注意，这种图使用轴来显式表示 n 值以及 $(a_{n})$ 的值，因此它给出了序列的长期行为的感觉。这很方便，因为长期行为通常是我们感兴趣的。对于前面定义的序列 $(b_{n})$ 和 $(c_{n})$ ，图形会是什么样子？

图对于思考与函数概念的数学联系也很有用：从技术上讲，序列是从自然数到实数的函数。事实上，它可以在数学分析课程开始时就这样定义。与将序列视为无限列表相比，这听起来可能有点不自然，但是通过查看图表并考虑 ℕ = {1, 2, 3, 4 ，5，... } 的每个元素，您应该能够明白为什么它是合理的 , 有一个相应的序列项：数字 1 映射到 $a_{1}$ ，数字 2 映射到 $a_{2}$ ，等等。如果我们记为 a(1) 或 f (1) 而不是 $a_{1}$ ，那么与函数的联系可能会更清晰，但是，下标记法是序列的标准记法。不过，这种联系值得注意——了解数学领域之间的关系总是很有价值的，因为为一个概念开发的理论也可能适用于另一个概念。

5.3 序列属性：单调性(Sequences properties: monotonicity)

上面列出的各种序列的记法对于思考序列属性很有用。例如，一个序列可能是递增的，或递减的，或有界的或收敛的。你认为这些词是什么意思？你会如何向别人解释它们的含义？您将如何使用适当的符号制定相应的数学定义？把目光从书本上移开，现在就尝试一下。

如果你认真尝试一下，那么很明显，尽管你的直觉理解可能感觉很深刻，但用连贯的句子来体现它可能会充满挑战性。意识到这一点应该能让你以正确的心态认真研究数学家们制定的定义。

以下是递增和递降的定义。

定义：对于一个序列 $(a_{n})$ ，当且仅当对于 ∀n∈ℕ ，都有 $a_{n+1} \geq a_{n}$ ，则称这个序列是递增的。

定义：对于一个序列 $(a_{n})$ ，当且仅当对于 ∀n∈ℕ ，都有 $a_{n+1} \leq a_{n}$ ，则称这个序列是递降的。

这些定义听起来很简单，但理解它们是如何结合起来的却出人意料地困难。要明白我的意思，请考虑这些序列。你会说出每个序列都在递增、递递、或者两者兼具，还是不增不降吗？

1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . .

$1 ,\frac{1}{2} ,\frac{1}{3} ,\frac{1}{4} ,\frac{1}{5} ,\frac{1}{6} ,\frac{1}{7} ,\frac{1}{8} ,...,$

1, –1, 2, –2, 3, –3, . . .

3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, . . .

1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, . . .

6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, . . .

0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, . . .

$10\frac{1}{2} ,10\frac{3}{4} ,10\frac{7}{8},10\frac{15}{16},...$

–2, –4, –6, –8, –10, . . .

几乎每个人都会在其中某些项的判断上犯一些错误。因此，请再看一下，仔细检查定义。以下是正确答案：

1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . ——不增不降

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . . ——递增

$1 ,\frac{1}{2},\frac{1}{3} ,\frac{1}{4},\frac{1}{5} ,\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8} ,...$ ——递增

1, –1, 2, –2, 3, –3, . . . ——不增不降

3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, . . . ——既增又降

1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, . . . ——不增不降

6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, . . . ——递增

0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, . . . ——不增不降

$10\frac{1}{2} ,10\frac{3}{4} ,10\frac{7}{8},10\frac{15}{16},...$ ——递增

–2, –4, –6, –8, –10, . . . ——递降

你判断对了吗？ 即使被告知要小心，但许多数学分析专业的学生也至少犯了一个错误。例如，大多数人想要将 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... 归为既递增又递减，几乎每个人都想将 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,... 归类为既不增加也不减少。这并不奇怪，因为这些都是完全自然的解释。但它们是基于日常直觉，而不是基于数学定义。

要理解第一种情况，需要考虑局部属性与全局属性。当人们说序列 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...无论是递增还是递降时，他们通常都会考虑局部属性。他们认为序列是从 1 开始，然后减少，然后增加，然后减少，然后增加，等等。但他们应该考虑全局属性，因为递增的定义是一个通用的表述：它指的是，对于每一个 n∈ℕ ，都有 $a_{n+1} \geq a_{n}$ 。显然对这个序列不成立。事实上，偏离得太离谱。存在无穷多个n 值其 $a_{n+1}$ 不会大于等于 $a_{n}$ 。例如， $a_{2} < a_{1}$ 和 $a_{4} < a_{3}$ ，等等。所以这个数列不满足递增的定义。同样，它也不满足递减的定义。所以，从数学上来说，它既不增加也不减少。

要理解第二种情况，有必要注意不等式。为了满足递增的定义，每一项都必须大于或等于其前一项。如果每一项都等于它的前一项，那就足够了。这可能看起来很奇怪，但这个定义是合理的，因为它很简单，而且它意味着像 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9,... 之类的序列被归类为递增。它在数学分析理论中也很有效，因为它适合于简单的定理表述——许多通常适用于递增序列的定理尤其适用于常数序列。也就是说，数学家们也使用这些定义：

定义：对于一个序列 $(a_{n})$ ，当且仅当对于 ∀n∈ℕ ，都有 $a_{n+1} > a_{n}$ ，则称这个序列是严格递增的。

定义：对于一个序列 $(a_{n})$ ，当且仅当对于 ∀n∈ℕ ，都有 $a_{n+1} < a_{n}$ ，则称这个序列是严格递降的。

想想这些如何适用于所列出的序列的。

关于序列的递增和递降属性的最后一件事是，它们也与以下定义相关：

定义：对于一个序列 $(a_{n})$ ，当且仅当它是递增的或递降的时，则称这个序列是单调的(monotonic)(注：有时候，人们用“monotone”代替“monotonic”)(译注：所谓单调性，即只有“一种调”，只有一种变化趋势，没有两种即以上变化趋势)。

有时候，学生会因“or(或)”这个词而感到困惑。在日常英语中，“or”具有两种不同的含义(注：并非在所有英语语言(译注：指英语的其它形式语言，如口语，书面语，方言，或者数学用语等)中都如此，其些英语语言形式对兼或(inclusive or)和异或(exclusive or)使用不同的词)，我们善于利用语境(context)和重读(emphasis)来确定其意指。一种意义是可兼的(inclusive)，当我们指一件事物或者另一件事件或者二者兼具时使用它，例如：

希望在第三年学习应用统计学的学生应确保在第二年学习统计方法或数理统计概论。

另一种意义是排他的(exclusive),当我们指一件事物或另一件事物但不能二者兼具时使用它，例如：

您可以凭午餐券享用一份冰淇淋或一块蛋糕。

为了避免数学上的歧义，我们选择一种含义并坚持它，并且我们使用的解释是可兼的。因此，这个定义意味着如果一个序列是递增或递减或两者兼而有之时，则该序列是单调的，并且从列表中，这些序列被归类为单调：

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . .

$1 ,\frac{1}{2},\frac{1}{3} ,\frac{1}{4},\frac{1}{5} ,\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8} ,...$

3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, . . .

6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, . . .

$10\frac{1}{2} ,10\frac{3}{4} ,10\frac{7}{8},10\frac{15}{16},...$

–2, –4, –6, –8, –10, . . .

5.4 序列属性：有界性和收敛性(Sequences properties：boundedness and convergence)

一个序列的上界(bounded above)类似于一个集合的上界(在2.6节有讨论过)：

定义：对于集合 X , 当且仅当 ∃M∈ℝ ，使得对于 ∀x∈X ，都有 x ≤ X ，则称此集合存在上界。

定义：对于序列 $( a_{n})$ , 当且仅当 ∃M∈ℝ ，使得对于 ∀n∈ℕ ，都有 $a_{n} \leq M$ ，则称此序列存在上界。

唯一不同之处在于在序列的情况下使用“∀n∈ℕ”，因为我们总是使用自然数作为序列的索引。我喜欢用图形表示来思考有界性。观察这些图形并确保您能够了解它们与定义的关系：

你认为下界(bounded below)的定义是什么？你会如何用图像来表示下界的思想？数学家们还使用另一种相关的定义，我将用附图来简单地介绍它。

定义：对于序列 $(a_{n})$ , 当且仅当 ∃M > 0 ，使得对于 ∀n∈ℕ ，都有 $|a_{n}|\leq M$ ，则称此序列有界。

这个定义中是否有任何内容表明某些项必须等于或不能等于 M 或–M？为什么指定 M > 0 有意义？

由于图形表示对于理解序列属性很有用，因此它们对于理解相关定理也很有用。我现在想开始考虑定理，并且我想使用属性收敛(convergence)。但我暂时不会介绍收敛的定义——它在逻辑上很复杂，所以稍后我会专门用章节来介绍它。目前，这里是对其含义的非正式表述，并附上图表。

非正式表述：对于一个序列 $(a_{n})$ ，当且仅当，通过沿着序列走得足够远，我们可以让 $a_{n}$ 尽可能接近 a ，则我们称此序列收敛于一个极限值 a。

译注：

desired distance——预期距离

all terms beyond here within desired distance——此处以外的所有项均在预期距离内。

请注意，如果预期距离较小，我们可能必须沿着序列走得更远。这个描述可能非常符合您对收敛的直观想法，但它可能在几个方面有所不同。首先，“收敛”这个词的日常用法使用往往会让人们只考虑单调序列，并相信这些术语必须以一种相当简单的方式越来越接近极限 a，如下所示：

非正式的描述当然适用于这样的序列。但它也适用于第一个图中的序列，这是更通用的(注：请参阅第 2.5 节和第 2.9 节中有关图表的讨论)，因为有些项高于限制，有些低于限制，

有时这些项在再次接近限制之前会稍微偏离限制。在这些方面，非正式的描述忠实于概念的数学版本，所以你现在应该朝这个方向调整你的想法。

即使属性范围相当小，我们也可以考虑一系列可能的定理，其中一些如下所示。这些被称为通用表述(universal statements)，因为它们每一个都对满足某些属性的每个对象做出了声明。你认为哪些是真的，哪些是假的？

• 每个有界序列都是收敛的。

• 每个收敛序列都是有界的。

• 每个单调序列都是收敛的。

• 每个收敛序列都是单调的。

• 每个单调序列都是有界的。

• 每个有界序列都是单调的。

• 每个有界单调序列都是收敛的。

为了证明一个普遍的命题是错误的——为了反驳(refute)这个命题——数学家只需提供一个反例(counterexample)即可。例如，第一个语句的反例是不收敛的有界序列。一个反例就可以了：如果存在一个不满足普遍表述的例子，就足以表明该表述是错误的。对于那些你认为不正确的说法，你能举出具体的反例吗？

为了证明通用表述是正确的，我们必须证明结论对于满足前提的每个对象确实成立。 显然，这可能比找到一个反例需要更多的工作。此类表述的证明相当直接地建立在相关定义的基础上，因此我们将在本章后面考虑其中的一些定义。现在，对于那些你认为正确的观点，你能给出一个令人信服的直观论证来证明你是对的吗？

如果我们考虑子序列(subsequences)，我们可以制定更多定理。子序列正如它听起来应该的那样：源于原序列，我们只需选择其中一些项并忽略其他项。例如，序列

$( a_{n} ) = 1 ,\frac{1}{2} ,\frac{1}{3} ,\frac{1}{4} ,\frac{1}{5} ,...$ ，

具有包括但不限于如下形式的子序列

$( a_{2^{n}} ) = \frac{1}{2} , \frac{1}{4} , \frac{1}{8} , \frac{1}{16} , \frac{1}{32} , ...$ 和

$( a_{3n-1} ) = \frac{1}{2} , \frac{1}{5} , \frac{1}{8} , \frac{1}{11} , \frac{1}{14} , ...$ 。

确保您可以通过替换 n = 1、n = 2 等来了解如何使用符号。构造子序列时，不允许打乱项的顺序，否则与源序列的联系将会丢失。并且不允许停止——子序列本身必须是一个序列，因此它必须是无限的。此外，上面列出的子序列碰巧遵循代数可表达的模式，关于哪些项被选择，哪些不被选择，但这不是必需的——我们可以通过抛硬币来创建一个子序列来决定每个项是否被包含在内。

这里有一些更普遍的表述，可能是定理。你认为哪些是真的，哪些是假的？

• 每个收敛序列都有一个单调子序列。

• 每个序列都有一个单调子序列。

• 每个有界序列都有一个收敛子序列。

如果你发现这个问题很容易回答，那么说明你还没有认真思考。 如果你不相信这一点，你可能想知道，当我询问全班 200 名数学分析学生是否认为中间那个是正确的时，大约一半人说是，一半人说不是。这并不是因为他们给出了经过深思熟虑的答案——他们已经研究了定义，并且有时间讨论他们的想法。因此，无论你怎么想，大量聪明且消息灵通的人都会不同意。

考虑到这一点，再尝试一下，记住序列不必遵循可预测的模式(尽管您可能想从考虑第 5.3 节中列表中的序列开始)。如果你认为某个说法是错误的，你能提供一个具体的反例吗？或者你至少能描述一下反例是什么样的吗？如果你认为某个表述是正确的，你会如何说服别人？如果那个人相信一定有一个反例，你如何让他们相信他们错了？详细思考这些事情将帮助您理解本章后面和数学分析课程中将看到的论点。

5.5 收敛性：从直觉切入(Convergence：intuition first)

本节和下一节都讨论收敛的定义。这正式化了第 5.4 节中的非正式描述。接下来从定义开始，解释如何理解它。其中一种或另一种方法可能更适合您，因此您可能需要以相反的顺序阅读这些部分。特别是，如果您已经开始了数学分析课程，并且不太理解较长的定义，您可能会发现第 5.6 节很有用，因为它包含了有关如何使用此类语句的一般建议。

如果您还没有开始分析课程，您可能会想知道为什么我对此如此重视。有两个原因。一是这个定义在任何数学分析课程中都是绝对核心的。另一个是它是序列研究中出现的逻辑上最复杂的定义，因此理解它需要做一些工作。

这里再次是非正式的表述：

非正式表述：对于一个序列 $(a_{n})$ ，当且仅当，通过沿着序列走得足够远，我们可以让 $a_{n}$ 尽可能接近 a ，则我们称此序列收敛于一个极限值 a。

译注：

desired distance——预期距离

all terms beyond here within desired distance——此处以后的所有项均在预期距离内。

为了将这个非正式表述转化成一个正式的定义，我们必须基于这个“接近(close)”做代数处理。假设我们想考虑极限 a 的距离ε内的项(“ε”是希腊字母“epsilon[epˈsaɪ.lɒn]”)。换句话说，我们想考虑位于 a - ε和 a + ε之间的项，因此我们希望 $a - \epsilon < a_{n} < a +\epsilon$ 。

译注：

all terms beyond here within ε of a——此处以后距离a相差ε的范围内的所有项。

不等式 $a - \epsilon < a_{n} < a +\epsilon$ 可以进一步简化为 $|a_{n} - a | < \epsilon$ , 因为

$\begin{array}{rlc} |a_{n} - a | < \epsilon & \Leftrightarrow -\epsilon < a_{n} - a < \epsilon \\ \\ &\Leftrightarrow a -\epsilon < a_{n} < a+\epsilon \end{array}$ 。

在这个背景下，我总是将 $|a_{n} - a | < \epsilon$ 读作 “ $a_{n}$ 和 a 之间的距离小于ε ”。为了追溯其含义，我建议你也这样读(将 “ε” 读作 “epsilon[epˈsaɪ.lɒn]”而不是字母“e”)。

现在，整个表述指的是“……通过沿序列行进得足够远，我们可以使 $a_{n}$ 尽可能接近我们希望的 a 。” 数学家将这种“足够远”用数学语言体现为

∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|a_{n} - a | < \epsilon$ 。

别忘大声朗读符号组成的句子并思考每个部分与图表的关系。我是这样理解的：

∃N∈ℕ ——在序列中存在一点(译注：即 $a_{N}$ ) ，

such that——使得，

∀ n > N —— 对于这个点之后的任意点，

$|a_{n} - a | < \epsilon$ — 距离a相差ε的范围内的所有项。

然而，这仅针对ε的一个值。设想一下体现 $a_{n}$ 接近 a的这种概念的极小ε 。但它并没有体现使其“尽可能接近我们所愿”的这种思想。我们希望能够使得这些项在距离 a 的距离为 $\epsilon = \frac{1}{2} ,\epsilon = \frac{1}{4}$ ，等等的范围内，也许是进一步沿着序列行进到 ε 的更小的值：

因此，事实上我们想说的是，对于任意ε > 0 ，沿着序列行进得足够远以确保所有后面的项都在 a 的 ε距离之内是可能的。这就引出了完整定义：

对 ∀ε > 0 ，∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|a_{n} - a | < \epsilon$ 。

如果你发现继续非正式的罗嗦思考有帮助，你可以这样理解：

定义：∀ε > 0 ∃N∈ℕ such that ∀n > N ， $|a_{n} - a | < \epsilon$

∀ε > 0 —— 无论ε 多小,

∃N∈ℕ —— 在序列中存在这么一点,

such that —— 使得,

∀n > N —— 在这一点之后,

$|a_{n} - a | < \epsilon$ —— 所有的项都在距离 a的ε 的范围内。

不过，不要试图只写下一个模糊的、非正式的版本。数学家可能会凭直觉思考，但他们会使用正确的定义输出最终的书面成果。

5.6 收敛性：从定义切入(Convergence：definition first)

本节从收敛到极限 a 的定义开始。它解释了在讨论处理类似表述方法的过程中如何理解这个定义。我的目的是，使你学会像这样观察一个定义，并通过与其它表述联系起来，能够想出其定义的意指。因此，我们将在前一节终结的地方终结本节——我们只是经由的路径不一样。自始至终，你都应该旨在理解为什么这是收敛的合理定义。

以下是定义：

定义：对于一个序列 $(a_{n})$ ，当且仅当对 ∀ε > 0 ，∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|a_{n} - a | < \epsilon$ 。

首先要尝试的是大声朗读此内容(“ε”是希腊字母“epsilon[epˈsaɪ.lɒn]”，如果您已阅读第 1 部分，您可能会记住其余部分——否则，请查看开头“符号”部分中的符号列表，本书第 xiii 页)。不过，大声朗读不太可能给你一种立即理解的感觉，因为日常句子从来没有这么复杂，早期数学中的句子也不是这么复杂。具体来说，这个定义有三个嵌套量词(nested quantifiers)——三个量词“∀”和“∃”堆积(piled up)在一个句子中。要理解具有嵌套结构的量化句子，通常从末尾开始比从开头开始更容易，所以我们会这样做。

定义的最后一点称 “ $|a_{n} - a | < \epsilon$ ” 。为了理解其含义，做一些代数运算是有帮助的。记住(例如)，

|x| < 2 ⟺ –2 < x < 2 。

通过类比，在此我们有

$\begin{array}{rlc} |a_{n} - a | < \epsilon & \Leftrightarrow -\epsilon < a_{n} - a < \epsilon \\ \\ &\Leftrightarrow a -\epsilon < a_{n} < a+\epsilon \end{array}$ 。

因此， $|a_{n} - a |$ 意味着 $a_{n}$ 介于 a – ε 和 a + ε 之间。或者，若你乐意，也可理解成指的是 $a_{n}$ 与极限 a 之间的距离小于 ε 。因为这涉及到比较 $a_{n}$ 和 a ，我们可以表示 $a_{n}$ 对 n 的图的垂直轴轴上的合适的值：

通过定义向后推，接下来我们就来到语句 “使得对于 ∀n > N ，都有 $|a_{n} - a | < \epsilon$ ”。换句话说，对于大于 N 的 n 值，距离不等式成立。请注意，我们对 $a_{N}$ 之外的项一无所知，除了它们在 a 的ε范围内。我们对 $a_{N}$ 之前的项也一无所知，所以我现在不会图中的那个位置放任何内容。

继续倒推，我们来到“ ∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|a_{n} - a | < \epsilon$ ”。从某种意义上说，这已经在图上表示出来了，因为 N 必须存在才能让我绘制它。但我们现在可能想考虑一下 $a_{N}$ 之前的项。啰嗦地说，存在一个 N，超过该 N，某件事仍然成立，这会让数学家认为在 N 之前，它可能不成立——在这种情况下，一些前面的项可能离 a 更远。因此，通用图可能如下所示：

最后还剩下什么没考虑呢？

对 ∀ε > 0 ，∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|a_{n} - a | < \epsilon$ 。

这指的是“对于任意大于 0 的ε ”，我们已经观察到的这个“特征(stuff)”仍然成立。现在，指定ε > 0 是有意义的，因为 ε是距离。当然，上图中的ε大于 0。但此时的图仅显示了ε的一个值及其对应的 N 。为了理解“对于任意大于 0 的ε ”指的是什么意思，我们可以想象让 ε 变化,考虑让ε 取一个更小的值，那么我们可能需要一个更大的N ：

总的来说，我喜欢通过思考定义、图表和这种非正式的解释来体现非正式和正式思想之间的关系：

定义：∀ε > 0 ∃N∈ℕ such that ∀n > N ， $|a_{n} - a | < \epsilon$ 。

∀ε > 0 —— 无论ε 多小,

∃N∈ℕ —— 在序列中存在这么一点,

such that —— 使得,

∀n > N —— 在这一点之后,

$|a_{n} - a | < \epsilon$ —— 所有的项都在距离 a 的ε 的范围内。

我希望您现在相信这个定义灵敏地体现了收敛到极限 a 的概念。我也希望您觉得这个解释有帮助。如果你理解了，我很高兴。然而，有用的解释存在一个问题：如果你正在阅读或听一个解释，很容易点头思考“是啊，是啊，是啊 …… 是的，我明白了，好吧…… 但这种体验可能是短暂的——当时感觉自己理解良好，却并不等于以后能够快速回忆起并应用这种理解。如果您想更严格地测试您是否理解本节，请将定义写在一张白纸上，将书放在一边，然后自己重新构建解释。

5.7 关于收敛的注意事项(Things to remember about convergence)

以下部分说明了数学分析中使用收敛定义建立结果的方式。不过，在此之前，我想指出定义与常见直观想法之间的一些关系。

首先，前两节的解释并没有“证明”这个定义。我们不证明定义，因为它们只是约定：每个人都同意采用的精确含义表述。我已经通过将其与图表和非正式表达式联系起来解释了为什么该定义是合理的，但这与证明它不同(有关定义及其如何融入数学理论的信息，请参阅第 2.3 和 3.2 节)。

第二，定义没有说明“无穷远”会发生什么。这很好，因为尽管它很诱人，但谈论“无穷远”发生的事情并没有真正意义——序列没有 “ $a_{\infty}$ ” 或 “最后一项”，因为 ∞ (无穷大)不是一个自然数。

第三，该定义不需要运动或时间意义。许多人认为收敛就是沿着序列移动并观察项越来越接近极限 a 。但是，当数学家处理序列时，他们不会想象在一个需要时间的过程中写下新项。相反，他们将整个序列视为“已经存在”。此外，随着项越来越接近 a 而移动并观察的图像有点简单化，因为定义没有指定每个项必须比其前一个项更接近极限。正如第 5.4 节所述，情况可能是这样，但也可能不是。

第四，许多人认为n 控制 $a_{n}$ ，从而控制 $a_{n}$ 和a之间的距离。这很好，但是在处理定义时，我们不会说“对于这个 N，这就是距离 ε ”。相反，我们说“对于这个距离ε，这是合适的 N ”。回顾一下以确保您可以看到这一点，因为这对于理解如何应用定义非常重要。

第五，在谈论收敛时使用了几种不同的符号和短语，人们倾向于根据特定句子中听起来更自然的方式在它们之间进行切换。大声朗读一些常见的内容，如下所示：

$(a_{n}) \rightarrow a$ —— “ $a_{n}$ 收敛于a 或 $(a_{n})$ 趋近于 a ”，

$(a_{n}) \rightarrow a$ as n ⟶ ∞ —— “ $a_{n }$ 随着 n 趋近于无穷大而趋近于 a ”，

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=a$ “当 n 趋近于无穷大时 $a_{n }$ 的极限是 a ”。

在日常英语中，这些知识可能指的是稍微不同的事。但在数学中，它们均指完全相同的事： $(a_{n})$ 满足收敛的定义。

最后，我并不是凭空提出符号“ε”——每个人都在与极限相关的定义中使用它。符号“ε”就像一个从后到前的小“3”，与集合包含符号“∈”不同，它更像是“c”的中间加了一横。最好在笔迹中区分“ε”和“∈”，因为它们经常出现在同一个句子中。您可能还想知道“ε”和更熟悉的符号“3”之间的相似之处，这意味着学生时不时地通过写“∀3 > 0”来开始收敛的定义。这总是让我发笑，但最好避免它。

5.8 序列收敛的证明(Proving that a sequence converges)

在介绍了收敛的定义之后，数学老师通常会证明某些序列收敛。在许多情况下，您将能够观察一个序列并立即确定其极限。因此，在这种情况下，我们证明结果的目的不是为了确定其真实性，而是为了了解一切是否符合基于定义的理论。在此，我们考虑由 $a_{n} = 3 - \frac{4}{n}$ (∀n∈ℕ)给出的序列 $(a_{n})$ ，写出其前几项

$( 3 -\frac{4}{n} ) = 3 - 4 ,3 - 2 ,3 -\frac{4}{3} ,3 - 1,3-\frac{4}{5},3 -\frac{4}{6} , 3 -\frac{4}{7} ,3 -\frac{4}{8} ,...$ 。

这个级数收敛到何值？当 n 趋近于无穷大时 $\frac{4}{n}$ 确定变得非常小，因此 $a_{n}$ 收敛到 3 。

为了证明这一点，我们需要证明该序列满足收敛到3的定义；代入 $a_{n}$ 和 a 的适当值，这意味着我们需要证明

对 ∀ε > 0 ，∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|( 3 - \frac{4}{n} ) - 3 | < \epsilon$ 。

人们对此采取不同的方法，您或您的数学老师可能更喜欢纯粹从逻辑和代数的角度来思考它。然而，如您所知，我喜欢用图表，因此我倾向于从绘制草图开始。以下是显示序列 $(a_{n})$ 和任意观察距离 ε 的图。

对于一个已知的ε 值，什么样的 N 值将承担这个角色？若你不能立刻回答，那么自问一句，若ε 取 1,又该取什么 N 值呢？若 $\epsilon=\frac{1}{2}$ 呢，等等？显然，N 是持续依赖 ε 的：ε越小要求的N 值越大。通常，我们希望 $\frac{4}{n} < \epsilon$ ，这相当于 $\frac{4}{ \epsilon} <n$ 。因此，任意自然数 $N>\frac{4}{ \epsilon}$ 均可。为了给一个具体的值，数学家们有时候记为 $N = \left \lceil \frac{4}{\epsilon} \right \rceil$ , 其中， $\left \lceil x \right \rceil$ 称为 x 的 “上限(ceiling)”，指的是大于 x 的最小整数。已经建立起这种定义模式之后，我们就可以使用这个定义作为书写证明的指南了。在此，我们再次准确地说明需要证明的内容：

对 ∀ε > 0 ，∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|( 3 - \frac{4}{n} ) - 3 | < \epsilon$ 。

我们想证明，对于 ∀ε > 0 ，某事实成立。因此，取任意 ε > 0 并证明该语句的其余部分对于该值成立是有意义的，如此开始：

断言(claim): $( 3 - \frac{4}{n} ) \rightarrow 3$

证明(proof)：令ε > 0 为任意值。

对于这个ε ，我们想证明，存在 N∈ℕ 使得某事实成立。证明某物存在的最简单方法是指定它应该是什么，我们可以根据上述推理来做到这一点：

断言(claim): $( 3 - \frac{4}{n} ) \rightarrow 3$

证明(proof)：令ε > 0 为任意值。

设 $N = \left \lceil \frac{4}{\epsilon} \right \rceil$ 。

然后，我们需要证明，对于 ∀n > N ， $|( 3 - \frac{4}{n} ) - 3 | < \epsilon$ 。这很简单，但要确保你能明白为什么每一个相等和不等都是有效的。

断言(claim): $( 3 - \frac{4}{n} ) \rightarrow 3$

证明(proof)：令ε > 0 为任意值。

设 $N = \left \lceil \frac{4}{\epsilon} \right \rceil$ 。

则 $n > N, \Rightarrow |( 3 - \frac{4}{n} ) - 3 | = |\frac{4}{n}| = \frac{4}{n} < \epsilon$ 。

此时证明在技术上已经完成，因为它确定满足定义。不过，写个结论还是有礼貌的。简单地写成“因此， $( 3 - \frac{4}{n} ) \rightarrow 3$ ”是可以的，但你可能还想添加一行额外的内容来总结论点，特别是如果你认为这会提醒你这一切是如何组合在一起的：

断言(claim): $( 3 - \frac{4}{n} ) \rightarrow 3$

证明(proof)：令ε > 0 为任意值。

设 $N = \left \lceil \frac{4}{\epsilon} \right \rceil$ 。

则 $n > N, \Rightarrow |( 3 - \frac{4}{n} ) - 3 | = |\frac{4}{n}| = \frac{4}{n} < \epsilon$ 。

因此，我们已经证明

对 ∀ε > 0 ，∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|( 3 - \frac{4}{n} ) - 3 | < \epsilon$ 。

因此， $( 3 - \frac{4}{n} ) \rightarrow 3$ 是所求。

在研究这样的证明时，最好超越具体细节进行思考，询问如何在不损害主要论点的情况下对其进行改变，或者如何对其进行修改以处理不同的情况。例如，我们用 $N = \left \lceil \frac{4}{\epsilon} \right \rceil$ ，但我们必需用这个值吗？用 $N = \left \lceil \frac{4}{\epsilon} \right \rceil+100$ 代替不可以吗？您能够通过将其与代数和图表关联起来进行解释吗？你会怎样修改这个证明来处理由 $(a_n) = 3 + \frac{5}{n}$ 所给出的数列？您又怎样修改这个证明来处理由 $(a_n) = c + \frac{d}{n}$ (其中，c 和 d 是常量 )所给出的级数？如果可以，那么您的修改对于 c和 d 取正负值的情况都有效吗？对于 c和 d 等于0的情况呢？对于 c和 d 不是整数的情况呢？

这样做是个好主意，因为分析课程将包括工作示例，但可能不多。例如，老师可能会：证明 $\frac{1}{n}$ 收敛于0 , 然后直接进入另一个理论讨论。如果您习惯了数学，在数学中，您被教授一个过程，然后被要求多次应用它，这可能看起来很奇怪(如果是这样，你可能想阅读或重新阅读第 1 部分)。但是，如果您使用此类问题来思考概括(generalizations.)，您应该会觉得不需要看大量示例或进行大量练习。

5.9 收敛和其它属性(Convergence and other properties)

上一节表明特定序列满足收敛的定义。本节将重点证明收敛性和其他性质之间的关系。还记得 5.4 节中的这些可能的定理吗？

• 每个有界序列都是收敛的。

• 每个收敛序列都是有界的。

你怎么认为？每个有界序列都收敛吗？不会。大多数人都同意这一点，因为他们可以很容易地想到一些有界但不收敛的序列。例如，这是一个：

您能再给一个吗？可以再给十五个吗？当然，我是在开玩笑——但你应该说服自己，你可以轻松地想到另外十五个，至少有一些有趣的变化。

那另一个表述呢？每个收敛序列都是有界的吗？是的。但很少有人对此表示同意，原因如下。还记得我说过，在某些时候您会忍不住让一个序列“在两个方向上”都是无限的吗？这就是诱惑产生的地方。人们习惯于思考从实数到实数的函数，而不是序列——从自然数到实数的函数。因此，他们倾向于在精神上或身体上用曲线替换适合序列图的点，并想象出这样的图像：

这使他们认为收敛序列可能是“向左”无界的。但是一个序列是一个无穷项 $a_{1},a_{2},a_{3},...$ 的列表，数 $a_{1}$ 是第一项，不存在朝向 “ $a_{1}$ ”的左边的项。这就是为什么我鼓励学生只用点来绘制序列图——这有助于规避这种诱惑。

因此，每个收敛序列都是有界的，这可以表述为定理。就是这样，附有证明和附图。在阅读本文之前，您可能需要查看第 3.5 节中的自我解释培训。当您阅读它时，请详细思考证明和图表上的标签之间的联系。

定理：每一个收敛序列都是有界的。

证明：

假设 $(a_{n}) \rightarrow a$ 。

则根据定义，∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|a_{n}-a|<1$ ，即，∀n > N ， $a - 1 < a_{n} < a + 1$ 。

注意，N 是有限的。

令 $M = \max \{ |a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{N}| ,| a - 1| ,| a + 1| \}$ 。

则 ∀n∈ℕ ， $|a_{n}|<M$ 。

因此， $(a_{n})$ 有界。

译注：

all other terms within 1 of a——a 的 1 的范围内的所有后续的项。

finitely many terms here——此范围内的有限多项。

M 在此图上的什么位置？您能否以不同的方式绘制或标记图表？

这里需要注意的第一件事是，如果上一节中的证明得出结论满足收敛的定义，则该证明首先假设它满足。这适合于命题和定理的结构——确保你能明白如何做到。这里，使用收敛假设推导出：

∃N∈ℕ ，使得对于 ∀n > N ，都有 $|a_{n}-a|<1$ ，接下来只需将定义中的ε替换为特定数 1 即可(该定义适用于所有ε > 0，因此它当然也适用于ε = 1)。

要注意的第二件事是，这个正确的定理有一个错误的逆命题(注：有关逆命题(converse)技术含义的讨论，请参见第 2.10 节)。您可能会这样思考这些信息：

收敛 ⟹ 有界

有界 ⇏ 收敛(译注：Unicode: 021CF，LaTex语法：\nRightarrow)

我不会在任何官方场合写这种东西，因为它非常不正式，但我发现它对我自己的笔记非常有用。

在我们继续学习前，再看看原文的其余表述列表。您现在对其他一些表述是否也有了更好的了解？

• 每个单调序列都是收敛的。

• 每个收敛序列都是单调的。

• 每个单调序列都是有界的。

• 每个有界序列都是单调的。

• 每个有界单调序列都是收敛的。

5.10 收敛数列的组合(Combining convergent sequences)

在第 3.2 节中，我指出，一旦引入定义，早期定理通常会涉及这样的断言：如果两个对象都满足该定义，那么它们的某些组合也满足该定义。在本节中，我们将考虑这种情况。

假设 $(a_{n}) \rightarrow a$ 和 $(b_{n}) \rightarrow b$ 。关于序列 $(a_{n} + b_{n})$ 我们可以推断出什么？这不是一个技巧问题。我们可以推断出 $(a_{n} + b_{n}) \rightarrow a+b$ ，这个结果(通常称为求和法则(sum rule))是显然易见的，因此，再一次地，研究证明的重点是了解如何在规范理论中证明它。该证明引用了另一个称为三角不等式的定理(我将在这里陈述这一点，但您应该思考为什么这样做是合理的并寻找证明)。

定理(收敛序列的求和法则)：

假设 $(a_{n}) \rightarrow a$ 和 $(b_{n}) \rightarrow b$ 。则 $(a_{n} + b_{n}) \rightarrow a+b$ 。

证明：

令 $(a_{n}) \rightarrow a$ 和 $(b_{n}) \rightarrow b$ 。

令ε > 0 为任意值。

则， $\exists N_{1} \in \mathbb{N}$ ，使得对 $\forall n > N_{1}$ ，都有 $|a_{n} - a | < \frac{\epsilon}{2}$ ，以及 $\exists N_{2} \in \mathbb{N}$ ，使得对 $\forall n > N_{2}$ ，都有 $|b_{n} - b | < \frac{\epsilon}{2}$ 。

令 $N = \max(N_{1},N_{2})$ 。

则对于 ∀n > N ，有

$\begin{array}{rlc}| (a_{n} + b_{n})-( a + b)| &= | (a_{n} - a) + (b_{n} - b)| \\ \\ &\leq | a_n - a| +| b_n - b| \\ \\ &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{array}$ (第二步根据三角不等式)。

因此，任意给一个 ε > 0 ，∃ N∈ℕ ，使得对 ∀n > N ，都有 $| (a_{n} + b_{n})-( a + b)| < \epsilon$ 。因此 $(a_{n} + b_{n}) \rightarrow a + b$ 为所求。

您明白证明中的所有内容了吗？您是否对任何未完全理解的事情有疑问？您不想不必要地依赖我，所以，在您继续阅读之前，想象您正在向另一个人解释这个定理和证明。如果有的话，您会在哪里陷入困境？

以下是常见学生问题及其答案的列表。

$\bullet$ 为什么从设置 ε > 0 是任意的开始？

因为倒数第二行的结论表明，对于所有 ε > 0 来说，某件事都是正确的。从任意 ε > 0 开始意味着整个证明对于任何 ε > 0 都成立。

$\bullet$ 为什么称 $|a_{n} - a | < \frac{\epsilon}{2}$ 而不是 $|a_{n} - a | <\epsilon$ ？

答案在于向前看并做代数验证。向前看，注意到我们想以 $| (a_{n} + b_{n})-( a + b)| < \epsilon$ 结束证明。做代数验证，这一步是通过将 $|a_{n} - a |$ 和 $|b_{n} - b |$ 相加实现的。因此我们希望这两个表达式每一个都小于ε/2 。

$\bullet$ 但为什么说 $\exists N_{1} \in \mathbb{N}$ ，使得对 $\forall n > N_{1}$ ，都有 $|a_{n} - a | < \frac{\epsilon}{2}$ 是正确的呢？因为ε 是大于0 的任意数，则ε /2 只不过是另外一个任意的数。我们假设 $(a_{n}) \rightarrow a$ ，因此根据定义一定存在一个 N∈ℕ ，使得对 ∀n > N ，都有 $|a_{n} - a | < \frac{\epsilon}{2}$ ，这个证明使用了 $N_{1 }$ 作为这个整数的名称。

$\bullet$ 什么是称为 $N_{1}$ 和 $N_{2}$ 的 N 值？

因为它们可能是不同的；满足 $|a_{n} - a | < \frac{\epsilon}{2}$ 之后的N值和满足 $|b_{n} - b | < \frac{\epsilon}{2}$ 之后的 N 值可能不是一样的。分别称这两个数为 $N_{1}$ 和 $N_{2}$ 只不过是表明它们不必相同的一种标准方式。

$\bullet$ 为什么取 $N_{1}$ 和 $N_{2}$ 两者之最大值？

若我们取 $N = \max(N_{1},N_{2})$ ，则对每一个 n > N 将能满足 $n > N_{1}$ 和 $n > N_{2}$ 两种情况。因此对于每一个 n > N ，我们有 $|a_{n} - a | < \frac{\epsilon}{2}$ 和 $|b_{n} - b | < \frac{\epsilon}{2}$ 两种情况，这正是我们想要的。

这个问题和答案列表包含了分析课程中反复出现的大量推理。您将看到大量涉及明智选择ε值或使用三角不等式分解表达式的证明。因为本书只提供了一些定理的详细信息，所以这里可能看不到。但要小心这些技巧——参加我最近的数学分析课程的学生告诉我，一旦他们开始看到这种重复，事情就变得容易多了。

特别要注意其他定理和组合序列证明中出现的类似想法。例如，乘积法则指出，若 $(a_{n}) \rightarrow a$ 和 $(b_{n}) \rightarrow b$ , 则 $(a_{n} + b_{n}) \rightarrow a+b$ 。这是否敲响了警钟？我在第一章中用作说明的定理正是这个结果。它的证明又变得更加复杂，并且涉及两个新技巧：相加和减去相同的内容以便更容易拆分表达式，以及在分数底部添加 1 以确保我们不会被零除。考虑到这些事情，您现在应该准备好返回第一章并尝试阅读它。

5.11 趋近于无穷大的序列(Sequences that tend to infinity)

除了对收敛至有限极限的序列进行大量研究之外，数学分析还涉及对趋于无穷大的序列的研究。您认为数列趋于无穷意味着什么？以下是定义，以及一些附带的非正式词汇和图表。正确阅读所有内容，并思考如何向其他人解释这个思想，也许可以使用第 5.5 节和第 5.6 节来获取灵感。

定义(注：人们写这个定义的方式有些不同，这完全没有问题，例如，以“∀C∈ℝ”开始，但有些人(包括我)用“∀C > 0”开始，因为它使得证明的某些部分更为整洁(tidier),你可能想思考我们所使用的为什么没有问题)：对于序列 $(a_{n})$ ，当且仅当对于 ∀C > 0 ，都存在一个 N∈ℕ ，使得对 ∀n > N ，都有 $a_{n}>c$ 。

译注：

imagine bigger values of C ——想象更大的C值。

all terms beyond here greater t than C ——此后大于C的所有项。

与收敛的情况一样，关于这个概念，句中有几个不同的短语：

$(a_{n}) \rightarrow \infty$ —— “ $(a_{n})$ 趋近于无穷大”，

$(a_{n}) \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$ —— “ (a_{n}) 随着n趋近于无穷大而趋近于无穷大”，

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = \infty$ —— “随着 n 趋近于无穷大 $a_{n}$ 的极限是无穷大”。

在这种情况下，最后一种情况不太常见。有些人认为我们根本不应该使用它，因为 ∞ 不是一个数字，所以说某个东西等于它是没有意义的。然而，以这种方式书写极限通常在符号上很方便。请警惕这个问题，以防你的数学老师对此类事情很坚持。

这里值得停下来澄清趋于无穷的思想与几种不同表示之间的关系。例如，这里有两个趋于无穷大的序列：

$(2^{n}) = 2, 4, 8, 16, 32, . . . ------ (3n - 1) = 2, 5, 8, 11, 14, . . .$

没有人会相信这一点——显然这两个序列都可以变得如你所愿。不过，您可能想考虑如何证明这一点。对于任的 C 值，必须应该是什么样的 N 才能确保对于 ∀n > N ，都有 $a_{n}>C$ ？你会怎么构造一个证明？下面是一个不趋于无穷大的序列：

$(\frac{1}{n}) = 1 ,\frac{1}{2} ,\frac{1}{3} ,\frac{1}{4},\frac{1}{5} ,...$

没有人会相信这一点，至少在以列表形式查看序列时是这样——显然它趋向于零。然而，人们在观察如下图时有时会感到困惑。他们观察这些项并想象将图无限向右延伸，接下来他们自己发现认为 $(\frac{1}{n})$ 趋近于无穷大。

这一定是无稽之谈，因为如果不是的话，那么所有序列都将趋于无穷大(它们都无限地向右延伸)。为了避免陷入这个陷阱，请考虑在哪个轴上表示什么。我们讨论的是 $a_{n}$ 是否趋于无穷大， $a_{n}$ 是在垂直轴上表示的。

组合趋于无穷大的序列会产生一些有趣的问题。例如，这些序列都趋于无穷大：

$(n^{2}) = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . ---------(2^{n}) = 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , . . .$

下面这个呢？

$(\frac{n^{2}}{2^{n}}) = \frac{1}{2} ,\frac{1}{4} ,\frac{9}{8} ,\frac{16}{16} ,\frac{25}{32} ,...$ 。

在这个序列中，分子趋于无穷大，分母也趋于无穷大。他们中的一个会“获胜”，支配另一个并迫使序列趋向于零或无穷大吗？或者它们是否会“平衡”以使序列收敛至 1，或者也许是2？只列出前几个项使得这些结果中的任何一个看起来都是合理的，但如果你已经阅读了第 2.9 节并且你对数学思想之间的联系保持警惕，你可能会立即意识到必须发生什么。如果没有，请观察该部分并尝试写出更多项。

在一些类似的情况下，我们可以通过思考分子和分母的结构来获得更好的理解。例如，考虑序列

$(\frac{6^{n}}{n!}) = \frac{6}{1},\frac{36}{2},\frac{216}{6},\frac{1296}{24},\frac{7776}{120},...$ 。

这种情况下的分子涉及一些相当大的数字，但实际上序列趋于零。通过考虑较大的 n 值同时保持结构可见，可以明白为什么：

$\frac{6 \times 6 ...\times 6 }{1 \times 2 ...\times n }$ 。

若 n 是(比如说)1000 ，那么底部的大多数相乘数字都比顶部相应的六大得多。这是一种直观思考的有用方法；在数学分析读程中，你将可能学习到比率检测(ratio test)，它提供了一种规范的方法来证明像这样的事情。以下是比率检测的表述：

定理(比率检测)：

假设 $(a_{n})$ 是一个使得 $(a_{n+1}/a_{n}) \rightarrow l$ 。则

(1) 若 -1 < l < 1 ，则 $(a_{n}) \rightarrow 0$ 。

(2) 若 l > 1 且 $a_{n}>0$ ，∀n∈ℕ ，则 $(a_{n}) \rightarrow \infty$ 。

(3) 若 l > 1 且 $a_{n}<0$ ，∀n∈ℕ ，则 $(a_{n}) \rightarrow -\infty$ 。

(4) 若 l < -1 ，则序列既不收敛也不趋近于±∞。

(5) 若 l = 1 ，则我们无法获取有效信息。

为什么这被称为比率检测？你能弄清楚如何应用它来证明这两个序列

$(\frac{n^{2}}{2^{n}})$ 和 $(\frac{6^{n}}{n!})$

趋近于 0 吗(提示：在每一种情况下 $(a_{n+1}/a_{n})$ 是多少)？

为什么比率检测如此规整地适用于这样的序列？你能想出产生其他比率极限的序列，从而得出其他结论吗？为什么定理的每个部分都是正确的？我不会在这里证明比率检测(尽管请参阅第 6.6 节有关级数的类似结果)。但典型的证明依赖于其他几个定理，因此构成了理论构建的一个很好的例子——在你的课程中留意它。

作为本节的最终思想，请考虑以下定理：

定理：若 $(a_{n}) \rightarrow \infty$ 则 $(\frac{1}{a_{n}}) \rightarrow 0$ 。

这也可能会在您的课程中得到证明。它的反面成立吗？

这是另一个让我班 200 人分成两派的问题：即使在经过一些讨论并有机会重新思考他们的答案之后，大约一半人说是，一半人说不。因此，请考虑一下您是否可能错过了某些内容，然后继续阅读。

反之亦然。对于某些趋于零的序列，倒数确实趋于无穷大。例如：

$(\frac{1}{n}) \rightarrow 0$ 和 $(\frac{1}{\frac{1}{n}})=(n) \rightarrow \infty$ 。

但是对于所有这样的序列并非如此。例如：

$(\frac{-1}{n}) \rightarrow 0$ 但 $(\frac{1}{\frac{-1}{n}})=(-n) \rightarrow -\infty$ 。

也有更糟糕的情况：

$\displaystyle \left (\frac{(-1)^{n}}{n}\right ) \rightarrow 0$ 但 $\displaystyle \left (\frac{1}{\frac{(-1)^{n}}{n}} \right ) =\left ((-1)^{n}n \right ) = -1 ,2 ,-3, 4,-5 , 6 , ...$ ，

其并不趋于任何类型的极限。

如果您弄错了，请不要担心。人们通常只考虑正数，而忘记负数可能会发生不同的事情(尽管您应该从中吸取教训并对类似问题更加警惕)。事实上，如果你有一个相当有创造力的数学分析老师，那么你会遇到很多犯错的机会——分析包含许多带有看似合理但错误的对话的定理，这些提出了很好的真/假问题，让人们在讲座和问题课上思考。一般来说，犯错的机会应该被接受。我对我的班级说的是，我不在乎谁对谁错，我只关心每个人都在思考并且愿意在有充分理由的情况下改变主意。

5.10 前瞻(Looking ahead)

前面的部分只是您将在涵盖序列的数学分析课程中学习的材料的一个尝试。例如，我们还没有研究第 5.4 节中所有可能的定理，典型的课程将涉及所有真实定理的证明。它将步及标准序列的大量工作，例如， $x^{n}$ , $x^{\frac{1}{n}}$ 和 $n^{\alpha}$ ，随着 n 趋于无穷大，他们有极限吗？对于不同的 x 和 α 值，答案是否不同？对于像 $\left ( \left (3^{n}+7^{n} \right )^{\frac{1}{n}} \right )$ 这样的序列又会是什么样呢？