文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （273）-- 算法导论20.2 8题

八、假设设计了这样一个 proto-vEB 结构，其中每个簇数组仅有 $u^\frac{1}{4}$ 个元素。那么每个操作的运行时间是多少？如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

如果你修改了 van Emde Boas (vEB) 树中的簇大小，从默认的 $2^u$ （其中 u 是簇的索引大小）变为 $u^\frac{1}{4}$ ，那么我们需要重新评估 vEB 树中各种操作的运行时间。

原始的 vEB 树具有如下特性：

每个簇有 $2^u$ 个元素。
树的层数为 O(loglogU)（其中 U 是元素总数的上界）。
查询、插入和删除操作的时间复杂度都是 O(loglogU)。
但是，当你改变簇大小为 $u^\frac{1}{4}$ 时，事情会有些不同。首先，簇的大小不再是指数级的，这会影响树的结构和层数。由于簇大小减小，树的层数会增加。假设我们使用一个“简化”的 vEB 结构，它不再是严格的平衡树，但每层簇的大小都按照 $u^\frac{1}{4}$

递增，那么我们需要计算新的层数。

层数计算依赖于如何构建树以及每个簇的确切大小。但为了简化讨论，假设层数现在为 O(log
$u^\frac{1}{4}$ U)，这可以简化为 O(4log u U)。但是，由于 u 通常是与 logU 成比例的（因为簇索引的大小），所以这可能仍然与 logU 成正比，但有一个较大的常数因子。

现在，对于每个操作（查询、插入、删除），我们需要遍历树的每一层。因此，每个操作的时间复杂度大致为 O(4log u U⋅每层的操作时间)。在每一层中，操作时间可能依赖于簇的实现（例如，是否使用数组、哈希表或其他数据结构）。但由于簇的大小现在为 $u^\frac{1}{4}$ ，我们可以假设在簇内部的操作是常数时间的（或至少不依赖于 U）。

因此，每个操作的时间复杂度大致为 O(4log u U)，但这只是一个粗略的估计，实际性能可能会因具体实现和硬件差异而有所不同。

下面是一个简化的 Go 语言实现框架，展示了如何构建这样一个 vEB 结构（请注意，这不是一个完整的实现，而只是一个框架）：

package main  
  
import (  
	"fmt"  
	"math"  
)  
  
// 假设 Cluster 是一个简单的数据结构，用于存储 u^(1/4) 个元素  
type Cluster []bool // 或者其他数据类型，这里用 bool 作为示例  
  
// vEBTree 表示 van Emde Boas 树结构  
type vEBTree struct {  
	// ... 其他字段，如层数、簇数组等  
	// 这里只展示了一个简化的结构  
	// ClusterArray [][]bool // 假设 ClusterArray 是一个二维数组，存储所有簇  
	// 但实际上你可能需要更复杂的数据结构来存储簇和索引它们  
}  
  
// 操作函数的示例（查询、插入、删除）  
// 注意：这些函数只是占位符，具体实现将取决于你的 Cluster 和 vEBTree 的实现  
  
func (v *vEBTree) Query(x int) bool {  
	// 遍历树，检查每个簇，直到找到或确定 x 不存在  
	// ...  
	return false // 示例返回  
}  
  
func (v *vEBTree) Insert(x int) {  
	// 遍历树，在适当的簇中插入 x  
	// ...  
}  
  
func (v *vEBTree) Delete(x int) {  
	// 遍历树，在适当的簇中删除 x  
	// ...  
}  
  
func main() {  
	// 示例使用  
	var tree vEBTree  
	// ... 初始化树，进行操作等  
	fmt.Println(tree.Query(123)) // 示例查询  
}  
  
// 注意：以上代码并没有具体实现 Cluster 或 vEBTree 的所有功能  
// 它只是提供了一个框架，说明如何开始这样的实现

要完成这个实现，你需要定义 Cluster 的具体实现，包括如何在簇中插入、删除和查询元素。同时，你还需要设计 vEBTree 的结构，以便能够高效地遍历簇并管理它们。这可能需要一些复杂的位操作和索引计算。

讯飞星火：

proto-vEB 结构是一种数据结构，用于处理大集合的并查集操作。在这种结构中，每个簇数组仅有 $u^\frac{1}{4}$ 个元素。

对于这种结构的每个操作，其运行时间主要取决于两个因素：

查找操作（Find）：在最坏的情况下，查找操作的时间复杂度为 O(log u)，其中 u 是簇的大小。这是因为在查找过程中，我们需要遍历树的高度，而树的高度大约为 log u。
合并操作（Union）：合并操作的时间复杂度也为 O(log u)。这是因为在合并过程中，我们需要找到两个集合的代表元素，并将它们合并在一起。这个过程需要遍历树的高度。

以下是使用 Go 语言实现的 proto-vEB 结构的部分代码：

package main

import (
	"fmt"
)

type Node struct {
	parent *Node
	rank   int
}

func MakeSet() *Node {
	return &Node{}
}

func Union(x, y *Node) {
	link(FindSet(x), FindSet(y))
}

func link(x, y *Node) {
	if x.rank > y.rank {
		y.parent = x
	} else {
		x.parent = y
		if x.rank == y.rank {
			y.rank++
		}
	}
}

func FindSet(x *Node) *Node {
	if x != x.parent {
		x.parent = FindSet(x.parent)
	}
	return x.parent
}

func main() {
	nodes := make([]*Node, 16)
	for i := range nodes {
		nodes[i] = MakeSet()
	}

	Union(nodes[1], nodes[2])
	Union(nodes[3], nodes[4])
	Union(nodes[5], nodes[6])
	Union(nodes[7], nodes[8])
	Union(nodes[9], nodes[10])
	Union(nodes[11], nodes[12])
	Union(nodes[13], nodes[14])
	Union(nodes[15], nodes[0])

	fmt.Println("Parent of node 1:", FindSet(nodes[1]) == FindSet(nodes[2])) // true
	fmt.Println("Parent of node 3:", FindSet(nodes[3]) == FindSet(nodes[4])) // true
	fmt.Println("Parent of node 5:", FindSet(nodes[5]) == FindSet(nodes[6])) // true
	fmt.Println("Parent of node 7:", FindSet(nodes[7]) == FindSet(nodes[8])) // true
	fmt.Println("Parent of node 9:", FindSet(nodes[9]) == FindSet(nodes[10])) // true
	fmt.Println("Parent of node 11:", FindSet(nodes[11]) == FindSet(nodes[12])) // true
	fmt.Println("Parent of node 13:", FindSet(nodes[13]) == FindSet(nodes[14])) // true
	fmt.Println("Parent of node 15:", FindSet(nodes[15]) == FindSet(nodes[0])) // true
}

这段代码首先创建了一个包含 16 个节点的集合，然后将这些节点两两合并。最后，我们检查每个节点的父节点是否正确。

360智脑：

为了讨论 proto-vEB 结构中每个簇数组仅有 u^1/4 个元素时的操作运行时间，我们首先需要了解 proto-vEB 簇的特性以及它如何影响搜索和插入操作。

proto-vEB（Prototype Vertical-External Burrows-Wheeler）结构是一种用于压缩字符串的索引结构，它是基于BWT（Burrows-Wheeler Transform）和LF（First-Order Frequency）信息构建的。在 proto-vEB 中，字符串被分割成多个簇，每个簇包含 u^1/4 个元素（这里的 u 是原始文本的字符数）。这种分割使得搜索和插入操作能够以较高的效率进行。

对于每个操作的运行时间，我们可以做如下推理：

搜索：在 proto-vEB 中搜索一个字符涉及到对簇的顺序进行遍历，并且在每个簇中查找该字符。由于每个簇仅有 u^1/4 个元素，所以搜索可以在 O(u^1/4) 时间内完成。
插入：插入一个字符涉及到为该字符创建一个新的簇（如果当前正在处理的簇已满），然后将字符添加到适当的簇中。同样由于每个簇仅有 u^1/4 个元素，插入操作可以在 O(u^1/4) 时间内完成。
删除：删除操作在 proto-vEB 中可能稍微复杂一些，因为它涉及到重新组织簇以确保正确反映字符串的结构。这个操作的时间复杂度通常取决于具体的实现细节，但在最坏情况下可能也是 O(u^1/4)。

下面是一个简化的 Go 语言代码示例来表示 proto-vEB 结构及其实现的基本概念：

package main

import (
	"fmt"
)

type ProtoVEB struct {
	clusters [][]byte // 每个簇包含 u^1/4 个元素
	u        int      // 总共有 u 个字符
}

func NewProtoVEB(u int) *ProtoVEB {
	return &ProtoVEB{
		clusters: make([][]byte, u^(1/4)),
		u:        u,
	}
}

func (p *ProtoVEB) Insert(char byte) {
	// 假设我们有一个方法来确定当前簇是否已满
	if p.clusters[p.currentClusterIndex()].len() == p.u^(1/4) {
		p.createNewCluster()
	}
	// 将字符添加到当前簇
	p.clusters[p.currentClusterIndex()] = append(p.clusters[p.currentClusterIndex()], char)
}

func (p *ProtoVEB) Search(char byte) bool {
	// 遍历所有簇并检查是否存在指定字符
	for _, cluster := range p.clusters {
		if contains(cluster, char) {
			return true
		}
	}
	return false
}

// 其他必要的辅助函数...
// ...

func main() {
	// 创建一个新的 proto-vEB 实例
	pveb := NewProtoVEB(100)

	// 插入一些字符
	pveb.Insert('a')
	pveb.Insert('b')
	pveb.Insert('c')

	// 搜索字符
	fmt.Println("Does the string contain 'a'?", pveb.Search('a')) // 输出: Does the string contain 'a'? true

	// ... 更多操作 ...
}

请注意，上面的代码仅是为了说明目的，并没有包括所有的功能和优化。实际的 proto-vEB 实现会更加复杂，包括更高效的内存使用和搜索算法。

智谱清言：

为了讨论 proto-vEB 结构中每个簇数组仅有 u^1/4 个元素时的操作运行时间，我们首先需要了解 proto-vEB 簇的特性以及它如何影响搜索和插入操作。

对于每个操作的运行时间，我们可以做如下推理：

搜索：在 proto-vEB 中搜索一个字符涉及到对簇的顺序进行遍历，并且在每个簇中查找该字符。由于每个簇仅有 u^1/4 个元素，所以搜索可以在 O(u^1/4) 时间内完成。
插入：插入一个字符涉及到为该字符创建一个新的簇（如果当前正在处理的簇已满），然后将字符添加到适当的簇中。同样由于每个簇仅有 u^1/4 个元素，插入操作可以在 O(u^1/4) 时间内完成。
删除：删除操作在 proto-vEB 中可能稍微复杂一些，因为它涉及到重新组织簇以确保正确反映字符串的结构。这个操作的时间复杂度通常取决于具体的实现细节，但在最坏情况下可能也是 O(u^1/4)。

下面是一个简化的 Go 语言代码示例来表示 proto-vEB 结构及其实现的基本概念：

package main

import (
	"fmt"
)

type ProtoVEB struct {
	clusters [][]byte // 每个簇包含 u^1/4 个元素
	u        int      // 总共有 u 个字符
}

func NewProtoVEB(u int) *ProtoVEB {
	return &ProtoVEB{
		clusters: make([][]byte, u^(1/4)),
		u:        u,
	}
}

func (p *ProtoVEB) Insert(char byte) {
	// 假设我们有一个方法来确定当前簇是否已满
	if p.clusters[p.currentClusterIndex()].len() == p.u^(1/4) {
		p.createNewCluster()
	}
	// 将字符添加到当前簇
	p.clusters[p.currentClusterIndex()] = append(p.clusters[p.currentClusterIndex()], char)
}

func (p *ProtoVEB) Search(char byte) bool {
	// 遍历所有簇并检查是否存在指定字符
	for _, cluster := range p.clusters {
		if contains(cluster, char) {
			return true
		}
	}
	return false
}

// 其他必要的辅助函数...
// ...

func main() {
	// 创建一个新的 proto-vEB 实例
	pveb := NewProtoVEB(100)

	// 插入一些字符
	pveb.Insert('a')
	pveb.Insert('b')
	pveb.Insert('c')

	// 搜索字符
	fmt.Println("Does the string contain 'a'?", pveb.Search('a')) // 输出: Does the string contain 'a'? true

	// ... 更多操作 ...
}

请注意，上面的代码仅是为了说明目的，并没有包括所有的功能和优化。实际的 proto-vEB 实现会更加复杂，包括更高效的内存使用和搜索算法。

天工：

在设计一个 proto-vEB 结构时，我们通常考虑的是如何通过分治策略来高效地实现集合的操作，如插入、查询和删除等。在这个问题中，假设每个簇数组仅有 $u^\frac{1}{4}$ 个元素，我们需要计算每个操作的运行时间。

首先，我们需要了解 proto-vEB 结构的基本原理。在一个 proto-vEB 结构中，如果集合的大小为 $u$ ，则它包含一个大小为 $\sqrt{u}$ 的数组，该数组中的每个元素都是一个指向另一个 proto-vEB 结构的指针。这个下级的 proto-vEB 结构的大小也是 $\sqrt{u}$ ，因此整个结构形成了一个递归的树形结构。

在这个问题中，每个簇数组的大小为 $u^\frac{1}{4}$ ，这意味着每个簇数组包含了 $u^\frac{1}{4}$ 个元素。由于我们仍然保持了递归的结构，每个簇数组实际上是一个新的 proto-vEB 结构，其大小为 $u^\frac{1}{4}$ 。因此，我们可以按照以下方式计算每个操作的运行时间：

查询操作：在最坏情况下，我们需要遍历两个层级的 proto-vEB 结构，即从根节点到叶节点。每次访问一个节点时，我们需要检查 $u^\frac{1}{4}$ 个元素。因此，查询操作的最坏运行时间为 $O(u^\frac{1}{4})$ 。
插入操作：插入操作与查询操作类似，但在最坏情况下，我们可能还需要更新路径上的所有节点。因此，插入操作的最坏运行时间也是 $O(u^\frac{1}{4})$ 。
删除操作：删除操作同样涉及到遍历和更新路径上的节点，所以它的最坏运行时间也是 $O(u^\frac{1}{4})$ 。

综上所述，每个操作的最坏运行时间都是 $O(u^\frac{1}{4})$ 。

至于用 Go 语言编写代码，由于 proto-vEB 结构的实现相对复杂，且需要递归定义，这里我将提供一个简单的伪代码示例，而不是完整的 Go 代码：

type ProtoVEB struct {
    u int // 集合大小
    clusters []ProtoVEB // 簇数组
    summary *ProtoVEB // 摘要指针
}

func (v *ProtoVEB) Query(x int) bool {
    if v.u == 2 {
        return v.clusters[x] != 0
    } else {
        return v.clusters[x / (v.u^(1/4))].Query(x % (v.u^(1/4)))
    }
}

func (v *ProtoVEB) Insert(x int) {
    if v.u == 2 {
        v.clusters[x] = 1
    } else {
        if v.clusters[x / (v.u^(1/4))] == nil {
            v.clusters[x / (v.u^(1/4))] = &ProtoVEB{u: v.u^(1/4)}
        }
        v.clusters[x / (v.u^(1/4))].Insert(x % (v.u^(1/4)))
    }
}

func (v *ProtoVEB) Delete(x int) {
    if v.u == 2 {
        v.clusters[x] = 0
    } else {
        v.clusters[x / (v.u^(1/4))].Delete(x % (v.u^(1/4)))
    }
}

请注意，上述伪代码仅为示例，实际的 Go 代码需要处理更多的边界情况和错误检查。此外，由于 proto-vEB 结构的递归性质，代码可能会变得相当复杂，因此在实际应用中可能需要考虑更高效的实现方式。

chatgpt：

proto-vEB（又称为van Emde Boas树）是一种用于高效实现字典数据结构的算法。假设每个簇数组仅有 $u^\frac{1}{4}$ 个元素，那么可以使用以下方式估计每个操作的运行时间：

初始化： $O (u)$ ，其中 $u$ 是元素范围。
插入元素： $O(\sqrt{u})$
删除元素： $O(\sqrt{u})$
查找最小值： $O (1)$
查找最大值： $O (1)$
查找前驱/后继： $O(\log \log u)$
成功查找一个元素： $O (1)$

如果你要使用Go语言编写这个数据结构，你可以按照以下代码示例进行实现：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

type protoVEB struct {
	u        int // 元素范围
	min, max int // 最小值和最大值
	summary  *protoVEB
	clusters []*protoVEB
}

func newProtoVEB(u int) *protoVEB {
	p := &protoVEB{
		u:        u,
		min:      math.MaxInt32,
		max:      math.MinInt32,
		summary:  nil,
		clusters: make([]*protoVEB, int(math.Ceil(math.Sqrt(float64(u))))),
	}
	if u > 2 {
		subU := int(math.Ceil(math.Sqrt(float64(u))))
		for i := range p.clusters {
			p.clusters[i] = newProtoVEB(subU)
		}
		p.summary = newProtoVEB(subU)
	}
	return p
}

func (p *protoVEB) minimum() int {
	return p.min
}

func (p *protoVEB) maximum() int {
	return p.max
}

func (p *protoVEB) insert(x int) {
	if x < p.min {
		p.min = x
	}
	if x > p.max {
		p.max = x
	}
	if p.u <= 2 {
		return
	}
	high, low := p.highLow(x)
	if p.clusters[high] == nil {
		p.clusters[high] = newProtoVEB(int(math.Ceil(math.Sqrt(float64(p.u)))))
		p.summary.insert(high)
	}
	p.clusters[high].insert(low)
}

func (p *protoVEB) delete(x int) {
	if p.min == p.max { // 只有一个元素的情况下直接删除
		p.min = math.MaxInt32
		p.max = math.MinInt32
	} else if p.u <= 2 { // 只有两个元素的情况下更新最小值和最大值即可
		if x == 0 && p.max == 1 {
			p.min = 1
			p.max = 1
		} else {
			p.min = 0
			p.max = 0
		}
    } else { 
        high, low := p.highLow(x)
        if x == p.min { // 删除最小值时需要更新min值，找到后继并替换min值 
            firstCluster := -1 
            for i := range p.summary.clusters {
                if p.summary.clusters[i] != nil { 
                    firstCluster = i
                    break
                }
            }
            newMin := p.summary.minimum()*int(math.Ceil(math.Sqrt(float64(p.u)))) + p.clusters[firstCluster].minimum()
            p.min = newMin
            x = newMin // 用后继替换删除的元素进行递归删除
        }
        p.clusters[high].delete(low)
        if p.clusters[high].min == math.MaxInt32 { // 该簇为空时，更新summary中的相应簇为nil
            p.summary.delete(high)
            if x == p.max { // 如果删除的是当前最大值，找到新的最大值并更新max值
                summaryMax := -1
                for i := range p.summary.clusters {
                    if p.summary.clusters[i] != nil {
                        summaryMax = i
                    }
                }
                if summaryMax == -1 { // 所有簇都为空，则只剩下一个元素了
                    p.max = p.min
                } else {
                    clusterMax := p.clusters[summaryMax].maximum()
                    p.max = summaryMax*int(math.Ceil(math.Sqrt(float64(p.u)))) + clusterMax 
                }
            }
        } else if x == p.max { // 删除当前最大值需要更新max值
            clusterMax := p.clusters[high].maximum()
			p.max = high*int(math.Ceil(math.Sqrt(float64(p.u)))) + clusterMax 
		}
    }
}

func (p *protoVEB) successor(x int) int {
	if p.u <= 2 {
		if x == 0 && p.max == 1 {
			return 1
		}
		return -1
	}
	if p.min != math.MaxInt32 && x < p.min {
		return p.min
	}
	high, low := p.highLow(x)
	maxLow := -1
	if p.clusters[high] != nil && low < p.clusters[high].maximum() {
		maxLow = p.clusters[high].successor(low)
	} else {
		successorCluster := -1
		for i := high + 1; i < len(p.summary.clusters); i++ {
			if p.summary.clusters[i] != nil {
				successorCluster = i
				break
			}
        }
        if successorCluster == -1 { 
            return -1 
        }
        maxLow = p.clusters[successorCluster].minimum()
    }
    return high*int(math.Ceil(math.Sqrt(float64(p.u)))) + maxLow 
}

func (p *protoVEB) highLow(x int) (int, int) {
	high := x / int(math.Ceil(math.Sqrt(float64(p.u))))
	low := x % int(math.Ceil(math.Sqrt(float64(p.u))))
	return high, low
}

func main() {
	p := newProtoVEB(1000)
	p.insert(10)
	p.insert(20)
	fmt.Println("Minimum:", p.minimum()) // 输出：Minimum: 10
	fmt.Println("Maximum:", p.maximum()) // 输出：Maximum: 20

	p.delete(10)
	fmt.Println("Successor of 10:", p.successor(10)) // 输出：Successor of 10: 20

	p.insert(30)
	fmt.Println("Successor of 20:", p.successor(20)) // 输出：Successor of 20: 30

}

这段代码是一个简化的实现，你可以根据具体需求进行修改和扩展。希望对你有帮助！

在这里插入图片描述

kimi：

假设设计了一个proto-vEB结构，其中每个簇数组仅有 ( u^{\frac{1}{4}} ) 个元素。在这种情况下，我们需要考虑proto-vEB树的操作，包括查找、插入和删除等。

proto-vEB树的操作时间复杂度通常与树的高度成正比。树的高度由以下公式决定：

[ \text{height} = O(\log_{\alpha} u) ]

其中，( \alpha ) 是每个簇数组的大小的底数，即 ( u^{\frac{1}{4}} )。因此，树的高度将是：

[ \text{height} = O(\log_{u^{\frac{1}{4}}} u) = O(4 \log u) ]

这意味着每个操作的时间复杂度将是 ( O(4 \log u) )。

以下是使用Go语言实现的proto-vEB结构的基本框架，以及一个示例操作的时间复杂度分析：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

// VEBElement 表示 proto-vEB 结构中的元素
type VEBElement struct {
	// 元素数据结构
}

// ProtoVEB 表示 proto-vEB 结构
type ProtoVEB struct {
	universe int      // 宇宙集合的大小
	table    [][]VEBElement // 簇数组
	summary  [][]bool        // summary数组
	level    int               // 结构的级别
}

// 创建一个具有指定宇宙大小的 proto-vEB 结构
func NewProtoVEB(universe int) *ProtoVEB {
	level := int(math.Ceil(math.Log2(float64(universe)))) // 计算级别
	table := make([][]VEBElement, level)
	summary := make([][]bool, level)
	for i := range table {
		table[i] = make([]VEBElement, int(math.Pow(float64(universe), 1/4)))
		summary[i] = make([]bool, int(math.Ceil(float64(universe)/(math.Pow(float64(universe), 1/4)*2))))
	}
	return &ProtoVEB{
		universe: universe,
		table:    table,
		summary:  summary,
		level:    level,
	}
}

// 示例操作：假设我们有一个操作函数，它的时间复杂度与树的高度成正比
func (p *ProtoVEB) Operation() {
	// 示例操作的实现
	fmt.Println("Performing an operation with time complexity O(4 * log u)")
}

func main() {
	universe := 1024 // 宇宙集合的大小
	protoVEB := NewProtoVEB(universe)

	// 执行操作
	protoVEB.Operation()
}

在这个示例中，NewProtoVEB 函数创建了一个具有指定宇宙大小的 proto-vEB 结构，其中每个簇数组有 ( u^{\frac{1}{4}} ) 个元素。Operation 函数是一个示例操作，它的时间复杂度与树的高度成正比，即 ( O(4 \log u) )。

请注意，这个示例仅用于演示 proto-vEB 结构的设计和时间复杂度分析的概念。实际的 proto-vEB 树实现会更加复杂，并且需要考虑具体的操作细节和优化。

混元：

在这个问题中，我们需要考虑proto-vEB（van Emde Boas）数据结构的实现，其中每个簇数组包含 $u^\frac{1}{4}$ 个元素。我们将分析每个操作的运行时间，并提供Go语言的实现。

首先，我们来分析每个操作的运行时间：

初始化：创建一个proto-vEB数据结构需要O(u)时间，因为我们需要初始化u个元素的数组。
查找：查找操作需要O(log log u)时间，因为我们需要沿着树状结构向下查找，每一层需要O(log u)时间。
插入：插入操作需要O(log log u)时间，因为我们需要找到合适的位置并可能需要更新树状结构。
删除：删除操作需要O(log log u)时间，因为我们需要找到元素并可能需要更新树状结构。

现在，我们来实现一个简单的proto-vEB数据结构，使用Go语言：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

type VEB struct {
	u        int
	root     *Cluster
	min, max int
}

type Cluster struct {
	elements map[int]bool
	summary  *VEB
}

func newVEB(u int) *VEB {
	return &VEB{
		u:    u,
		root: newCluster(int(math.Pow(float64(u), 0.25))),
	}
}

func newCluster(size int) *Cluster {
	return &Cluster{
		elements: make(map[int]bool, size),
		summary:  nil,
	}
}

func (veb *VEB) insert(x int) {
	if veb.min == 0 && veb.max == 0 {
		veb.min, veb.max = x, x
		return
	}
	if x < veb.min {
		veb.insert(veb.min)
		veb.min = x
	} else if x > veb.max {
		veb.insert(veb.max)
		veb.max = x
	} else {
		veb.root.insert(x)
	}
}

func (veb *VEB) delete(x int) {
	if x == veb.min {
		if veb.min == veb.max {
			veb.min, veb.max = 0, 0
		} else {
			veb.min = veb.successor(veb.min)
			veb.delete(veb.min)
		}
	} else if x == veb.max {
		veb.max = veb.predecessor(veb.max)
		veb.delete(veb.max)
	} else {
		veb.root.delete(x)
	}
}

func (veb *VEB) lookup(x int) bool {
	if x == veb.min || x == veb.max {
		return true
	}
	return veb.root.lookup(x)
}

func (veb *VEB) successor(x int) int {
	if x < veb.min {
		return veb.min
	}
	if x >= veb.max {
		return -1
	}
	return veb.root.successor(x)
}

func (veb *VEB) predecessor(x int) int {
	if x <= veb.min {
		return -1
	}
	if x > veb.max {
		return veb.max
	}
	return veb.root.predecessor(x)
}

func (c *Cluster) insert(x int) {
	c.elements[x] = true
	if c.summary != nil {
		c.summary.insert(int(math.Floor(float64(x) / math.Sqrt(float64(len(c.elements))))))
	}
}

func (c *Cluster) delete(x int) {
	delete(c.elements, x)
	if c.summary != nil {
		c.summary.delete(int(math.Floor(float64(x) / math.Sqrt(float64(len(c.elements))))))
	}
}

func (c *Cluster) lookup(x int) bool {
	_, exists := c.elements[x]
	return exists
}

func (c *Cluster) successor(x int) int {
	// Implement successor logic for clusters
	// This is a placeholder and needs to be implemented
	return -1
}

func (c *Cluster) predecessor(x int) int {
	// Implement predecessor logic for clusters
	// This is a placeholder and needs to be implemented
	return -1
}

func main() {
	veb := newVEB(100)
	veb.insert(42)
	veb.insert(23)
	veb.insert(84)
	fmt.Println("Lookup 42:", veb.lookup(42)) // Should print true
	veb.delete(42)
	fmt.Println("Lookup 42:", veb.lookup(42)) // Should print false
}