数据与结构—

红黑树的概念

性质

结点的定义

插入

验证

查找

删除

红黑树与AVL树的比较

红黑树的概念

红黑树是一种自平衡二叉搜索树（Binary Search Tree, BST），其每个节点带有颜色属性，可以是红色或黑色。红黑树通过约束节点颜色和树的结构来确保树的高度在最坏情况下是O(log n)，从而保证了基本的动态集合操作（如插入、删除和查找）在最坏情况下的时间复杂度都是O(log n)。

红黑树通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因此红黑树是近似平衡的。

性质

红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉搜索树，颜色为红色或黑色。在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求：

节点是红色或黑色。
根是黑色。
所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）。
每个红色节点必须有两个黑色的子节点。（或者说从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点。）（或者说不存在两个相邻的红色节点，相邻指两个节点是父子关系。）（或者说红色节点的父节点和子节点均是黑色的。）
从任一节点到其每个叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。

下面是一个具体的红黑树的图例：

这些约束确保了红黑树的关键特性：从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例，这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉搜索树。

要知道为什么这些性质确保了这个结果，注意到性质4导致了路径不能有两个毗连的红色节点就足够了。最短的可能路径都是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。因为根据性质5所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

在很多树数据结构的表示中，一个节点有可能只有一个子节点，而叶子节点包含数据。用这种范例表示红黑树是可能的，但是这会改变一些性质并使算法复杂。为此，本文中我们使用“nil叶子”，如上图所示，它不包含数据而只充当树在此结束的指示。这些节点在绘图中经常被省略，导致了这些树好像同上述原则相矛盾，而实际上不是这样。与此有关的结论是所有节点都有两个子节点，尽管其中的一个或两个可能是空叶子。

在红黑树中，NIL节点的作用

结束标志：在树的遍历过程中，NIL节点表示子树的结束位置。
保持树的性质：通过使用NIL节点，可以确保所有叶子节点是黑色的，从而保持红黑树的性质。
简化操作：在插入、删除和旋转操作中，NIL节点的存在简化了对边界情况的处理，使得代码更加简洁和一致。

红黑树如何确保从根到叶子的最长可能路径不会超过最短可能路径的两倍？

根据红黑树的性质4可以得出，红黑树当中不会出现连续的红色节点，而根据性质4又可以得出，从某一结点到其后代叶子节点的所有路径上包含的黑色节点的数目是相同的。

我们假设在红黑树中，从根到叶子的所有路径上包含的黑色结点的个数都是N个，那么最短路径就是全部由黑色节点构成的路径，即长度为N。

而最长可能路径就是由一黑一红结点构成的路径，该路径当中黑色结点与红色结点的数目相同，即长度为2N。

因此，红黑树从根到叶子的最长可能路径不会超过最短可能路径的两倍。

结点的定义

我们这里直接实现KV模型的红黑树，为了方便后序的旋转操作，将红黑树的结点定义为三叉链结构，除此之外还新加入了一个成员变量，用于表示结点的颜色。

enum Color { RED, BLACK };

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
    // 三叉链
    RBTreeNode<K, V>* _left;
    RBTreeNode<K, V>* _right;
    RBTreeNode<K, V>* _parent;

    // 存储的键值对
    std::pair<K, V> _kv;

    // 结点的颜色
    Color _col;

    // 构造函数
    RBTreeNode(const std::pair<K, V>& kv)
        : _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        , _parent(nullptr)
        , _kv(kv)
        , _col(RED)
    {}
};

枚举类型 Color：定义了枚举类型来表示节点的颜色，红色为RED，黑色为BLACK。
模板结构体 RBTreeNode：定义了一个模板类，用于表示红黑树的节点。
- 成员变量：
  - _left：指向左孩子节点。
  - _right：指向右孩子节点。
  - _parent：指向父节点。
  - _kv：存储键值对，类型为std::pair<K, V>。
  - _col：节点的颜色，类型为Color。
- 构造函数：接受一个键值对，并初始化节点的指针和颜色。初始颜色设置为红色RED。

为什么构造结点时，默认将节点的颜色设置为红色？

当我们向红黑树插入节点时，若我们插入的是黑色节点，那么插入路径上黑色节点的数目就比其他路径上黑色节点的数目多了一个，即破坏了红黑树的性质5，此时我们就需要对红黑树进行调整。

若我们插入红黑树的节点是红色的，此时如果其父节点也是红色的，那么表明出现了连续的红色节点，即破坏了红黑树的性质4，此时我们需要对红黑树进行调整；但如果其父节点是黑色的，那我们就无需对红黑树进行调整，插入后仍满足红黑树的要求。

总结一下：

插入黑色节点，一定破坏红黑树的性质5，必须对红黑树进行调整。
插入红色节点，可能破坏红黑树的性质4，可能对红黑树进行调整。
权衡利弊后，我们在构造节点进行插入时，默认将节点的颜色设置为红色。

插入

红黑树插入结点的逻辑分为三步：

按二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置。
将待插入节点插入到树中。
若插入节点的父结点是红色的，则需要对红黑树进行调整。

其中前两步与二叉搜索树插入结点时的逻辑相同，红黑树的关键在于第三步对红黑树的调整。

在下面的示意图中，将要插入的节点标为N，N的父节点标为P，N的祖父节点标为G，N的叔父节点标为U。在图中展示的任何颜色要么是由它所处情形这些所作的假定，要么是假定所暗含的。

情形1:新节点N位于树的根上，没有父节点。在这种情形下，我们把它重绘为黑色以满足性质2。因为它在每个路径上对黑节点数目增加一，性质5符合。

情形2:新节点的父节点P是黑色，所以性质4没有失效（新节点是红色的）。在这种情形下，树仍是有效的。性质5也未受到威胁，尽管新节点N有两个黑色叶子子节点；但由于新节点N是红色，通过它的每个子节点的路径就都有同通过它所取代的黑色的叶子的路径同样数目的黑色节点，所以依然满足这个性质。

注意：在下列情形下我们假定新节点的父节点为红色，所以它有祖父节点；因为如果父节点是根节点，那父节点就应当是黑色。所以新节点总有一个叔父节点，尽管在情形4和5下它可能是叶子节点。

情形3:如果父节点P和叔父节点U二者都是红色，（此时新插入节点N做为P的左子节点或右子节点都属于情形3，这里右图仅显示N做为P左子的情形）则我们可以将它们两个重绘为黑色并重绘祖父节点G为红色（用来保持性质5）。现在我们的新节点N有了一个黑色的父节点P。因为通过父节点P或叔父节点U的任何路径都必定通过祖父节点G，在这些路径上的黑节点数目没有改变。但是，红色的祖父节点G可能是根节点，这就违反了性质2，也有可能祖父节点G的父节点是红色的，这就违反了性质4。为了解决这个问题，我们在祖父节点G上递归地进行情形1的整个过程。（把G当成是新加入的节点进行各种情形的检查）

注意：在余下的情形下，我们假定父节点P是其祖父G的左子节点。如果它是右子节点，情形4和情形5中的左和右应当对调。

情形4:父节点P是红色而叔父节点U是黑色或缺少，并且新节点N是其父节点P的右子节点而父节点P又是其父节点的左子节点。在这种情形下，我们进行一次左旋转调换新节点和其父节点的角色;接着，我们按情形5处理以前的父节点P以解决仍然失效的性质4。注意这个改变会导致某些路径通过它们以前不通过的新节点N（比如图中1号叶子节点）或不通过节点P（比如图中3号叶子节点），但由于这两个节点都是红色的，所以性质5仍有效。

情形5：父节点P是红色而叔父节点U是黑色或缺少，新节点N是其父节点的左子节点，而父节点P又是其父节点G的左子节点。在这种情形下，我们进行针对祖父节点G的一次右旋转；在旋转产生的树中，以前的父节点P现在是新节点N和以前的祖父节点G的父节点。我们知道以前的祖父节点G是黑色，否则父节点P就不可能是红色（如果P和G都是红色就违反了性质4，所以G必须是黑色）。我们切换以前的父节点P和祖父节点G的颜色，结果的树满足性质4。性质5也仍然保持满足，因为通过这三个节点中任何一个的所有路径以前都通过祖父节点G，现在它们都通过以前的父节点P。在各自的情形下，这都是三个节点中唯一的黑色节点。

代码如下:

//插入函数
pair<Node*, bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr) //若红黑树为空树，则插入结点直接作为根结点
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK; //根结点必须是黑色
		return make_pair(_root, true); //插入成功
	}
	//1、按二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (kv.first < cur->_kv.first) //待插入结点的key值小于当前结点的key值
		{
			//往该结点的左子树走
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (kv.first > cur->_kv.first) //待插入结点的key值大于当前结点的key值
		{
			//往该结点的右子树走
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else //待插入结点的key值等于当前结点的key值
		{
			return make_pair(cur, false); //插入失败
		}
	}

	//2、将待插入结点插入到树中
	cur = new Node(kv); //根据所给值构造一个结点
	Node* newnode = cur; //记录新插入的结点（便于后序返回）
	if (kv.first < parent->_kv.first) //新结点的key值小于parent的key值
	{
		//插入到parent的左边
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else //新结点的key值大于parent的key值
	{
		//插入到parent的右边
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

	//3、若插入结点的父结点是红色的，则需要对红黑树进行调整
	while (parent&&parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent; //parent是红色，则其父结点一定存在
		if (parent == grandfather->_left) //parent是grandfather的左孩子
		{
			Node* uncle = grandfather->_right; //uncle是grandfather的右孩子
			if (uncle&&uncle->_col == RED) //情况1：uncle存在且为红
			{
				//颜色调整
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				//继续往上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else //情况2+情况3：uncle不存在 + uncle存在且为黑
			{
				if (cur == parent->_left)
				{
					RotateR(grandfather); //右单旋

					//颜色调整
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				else //cur == parent->_right
				{
					RotateLR(grandfather); //左右双旋

					//颜色调整
					grandfather->_col = RED;
					cur->_col = BLACK;
				}
				break; //子树旋转后，该子树的根变成了黑色，无需继续往上进行处理
			}
		}
		else //parent是grandfather的右孩子
		{
			Node* uncle = grandfather->_left; //uncle是grandfather的左孩子
			if (uncle&&uncle->_col == RED) //情况1：uncle存在且为红
			{
				//颜色调整
				uncle->_col = parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				//继续往上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else //情况2+情况3：uncle不存在 + uncle存在且为黑
			{
				if (cur == parent->_left)
				{
					RotateRL(grandfather); //右左双旋

					//颜色调整
					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				else //cur == parent->_right
				{
					RotateL(grandfather); //左单旋

					//颜色调整
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				break; //子树旋转后，该子树的根变成了黑色，无需继续往上进行处理
			}
		}
	}
	_root->_col = BLACK; //根结点的颜色为黑色（可能被情况一变成了红色，需要变回黑色）
	return make_pair(newnode, true); //插入成功
}

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	Node* parentParent = parent->_parent;

	//建立subRL与parent之间的联系
	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	//建立parent与subR之间的联系
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	//建立subR与parentParent之间的联系
	if (parentParent == nullptr)
	{
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = parentParent;
	}
}

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	Node* parentParent = parent->_parent;

	//建立subLR与parent之间的联系
	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	//建立parent与subL之间的联系
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	//建立subL与parentParent之间的联系
	if (parentParent == nullptr)
	{
		_root = subL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subL;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = parentParent;
	}
}

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);
}

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);
}

验证

红黑树也是一种特殊的二叉搜索树，因此我们可以先获取二叉树的中序遍历序列，来判断该二叉树是否满足二叉搜索树的性质。

代码如下：

//中序遍历
void Inorder()
{
	_Inorder(_root);
}
//中序遍历子函数
void _Inorder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return;
	_Inorder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << " ";
	_Inorder(root->_right);
}

但中序有序只能证明是二叉搜索树，要证明二叉树是红黑树还需验证该二叉树是否满足红黑树的性质。

代码如下：

//判断是否为红黑树
bool ISRBTree()
{
	if (_root == nullptr) //空树是红黑树
	{
		return true;
	}
	if (_root->_col == RED)
	{
		cout << "error：根结点为红色" << endl;
		return false;
	}
	
	//找最左路径作为黑色结点数目的参考值
	Node* cur = _root;
	int BlackCount = 0;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
			BlackCount++;
		cur = cur->_left;
	}

	int count = 0;
	return _ISRBTree(_root, count, BlackCount);
}
//判断是否为红黑树的子函数
bool _ISRBTree(Node* root, int count, int BlackCount)
{
	if (root == nullptr) //该路径已经走完了
	{
		if (count != BlackCount)
		{
			cout << "error：黑色结点的数目不相等" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}

	if (root->_col == RED&&root->_parent->_col == RED)
	{
		cout << "error：存在连续的红色结点" << endl;
		return false;
	}
	if (root->_col == BLACK)
	{
		count++;
	}
	return _ISRBTree(root->_left, count, BlackCount) && _ISRBTree(root->_right, count, BlackCount);
}

查找

红黑树的查找函数与二叉搜索树的查找方式一模一样，逻辑如下：

1.若树为空树，则查找失败，返回nullptr。
2.若key值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
3.若key值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
4.若key值等于当前结点的值，则查找成功，返回对应结点。
代码如下：

//查找函数
Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (key < cur->_kv.first) //key值小于该结点的值
		{
			cur = cur->_left; //在该结点的左子树当中查找
		}
		else if (key > cur->_kv.first) //key值大于该结点的值
		{
			cur = cur->_right; //在该结点的右子树当中查找
		}
		else //找到了目标结点
		{
			return cur; //返回该结点
		}
	}
	return nullptr; //查找失败
}

删除

如果需要删除的节点有两个儿子，那么问题可以被转化成删除另一个只有一个儿子的节点的问题（为了表述方便，这里所指的儿子，为非叶子节点的儿子）。对于二叉查找树，在删除带有两个非叶子儿子的节点的时候，我们要么找到它左子树中的最大元素、要么找到它右子树中的最小元素，并把它的值转移到要删除的节点中。我们接着删除我们从中复制出值的那个节点，它必定有少于两个非叶子的儿子。因为只是复制了一个值（没有复制颜色），不违反任何性质，这就把问题简化为如何删除最多有一个儿子的节点的问题。它不关心这个节点是最初要删除的节点还是我们从中复制出值的那个节点。

在余下的部分中，我们只需要讨论删除只有一个儿子的节点（如果它两个儿子都为空，即均为叶子，我们任意将其中一个看作它的儿子）。如果我们删除一个红色节点（此时该节点的儿子将都为叶子节点），它的父亲和儿子一定是黑色的。所以我们可以简单的用它的黑色儿子替换它，并不会破坏性质3和性质4。通过被删除节点的所有路径只是少了一个红色节点，这样可以继续保证性质5。另一种简单情况是在被删除节点是黑色而它的儿子是红色的时候。如果只是去除这个黑色节点，用它的红色儿子顶替上来的话，会破坏性质5，但是如果我们重绘它的儿子为黑色，则曾经通过它的所有路径将通过它的黑色儿子，这样可以继续保持性质5。

需要进一步讨论的是在要删除的节点和它的儿子二者都是黑色的时候，这是一种复杂的情况（这种情况下该节点的两个儿子都是叶子节点，否则若其中一个儿子是黑色非叶子节点，另一个儿子是叶子节点，那么从该节点通过非叶子节点儿子的路径上的黑色节点数最小为2，而从该节点到另一个叶子节点儿子的路径上的黑色节点数为1，违反了性质5）。我们首先把要删除的节点替换为它的儿子。出于方便，称呼这个儿子为N（在新的位置上），称呼它的兄弟（它父亲的另一个儿子）为S。在下面的示意图中，我们还是使用P称呼N的父亲，SL称呼S的左儿子，SR称呼S的右儿子。

如果N和它初始的父亲是黑色，则删除它的父亲导致通过N的路径都比不通过它的路径少了一个黑色节点。因为这违反了性质5，树需要被重新平衡。有几种情形需要考虑：

情形1: N是新的根。在这种情形下，我们就做完了。我们从所有路径去除了一个黑色节点，而新根是黑色的，所以性质都保持着。

情形2： S是红色。在这种情形下我们在N的父亲上做左旋转，把红色兄弟转换成N的祖父，我们接着对调N的父亲和祖父的颜色。完成这两个操作后，尽管所有路径上黑色节点的数目没有改变，但现在N有了一个黑色的兄弟和一个红色的父亲（它的新兄弟是黑色因为它是红色S的一个儿子），所以我们可以接下去按情形4、情形5或情形6来处理。

情形3： N的父亲、S和S的儿子都是黑色的。在这种情形下，我们简单的重绘S为红色。结果是通过S的所有路径，它们就是以前不通过N的那些路径，都少了一个黑色节点。因为删除N的初始的父亲使通过N的所有路径少了一个黑色节点，这使事情都平衡了起来。但是，通过P的所有路径现在比不通过P的路径少了一个黑色节点，所以仍然违反性质5。要修正这个问题，我们要从情形1开始，在P上做重新平衡处理。

情形4： S和S的儿子都是黑色，但是N的父亲是红色。在这种情形下，我们简单的交换N的兄弟和父亲的颜色。这不影响不通过N的路径的黑色节点的数目，但是它在通过N的路径上对黑色节点数目增加了一，添补了在这些路径上删除的黑色节点。

情形5： S是黑色，S的左儿子是红色，S的右儿子是黑色，而N是它父亲的左儿子。在这种情形下我们在S上做右旋转，这样S的左儿子成为S的父亲和N的新兄弟。我们接着交换S和它的新父亲的颜色。所有路径仍有同样数目的黑色节点，但是现在N有了一个黑色兄弟，他的右儿子是红色的，所以我们进入了情形6。N和它的父亲都不受这个变换的影响。

情形6： S是黑色，S的右儿子是红色，而N是它父亲的左儿子。在这种情形下我们在N的父亲上做左旋转，这样S成为N的父亲（P）和S的右儿子的父亲。我们接着交换N的父亲和S的颜色，并使S的右儿子为黑色。子树在它的根上的仍是同样的颜色，所以性质3没有被违反。但是，N现在增加了一个黑色祖先：要么N的父亲变成黑色，要么它是黑色而S被增加为一个黑色祖父。所以，通过N的路径都增加了一个黑色节点。

此时，如果一个路径不通过N，则有两种可能性：

它通过N的新兄弟。那么它以前和现在都必定通过S和N的父亲，而它们只是交换了颜色。所以路径保持了同样数目的黑色节点。
它通过N的新叔父，S的右儿子。那么它以前通过S、S的父亲和S的右儿子，但是现在只通过S，它被假定为它以前的父亲的颜色，和S的右儿子，它被从红色改变为黑色。合成效果是这个路径通过了同样数目的黑色节点。

在任何情况下，在这些路径上的黑色节点数目都没有改变。所以我们恢复了性质4。在示意图中的白色节点可以是红色或黑色，但是在变换前后都必须指定相同的颜色。

代码如下：

//删除函数
bool Erase(const K& key)
{
	//用于遍历二叉树
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	//用于标记实际的待删除结点及其父结点
	Node* delParentPos = nullptr;
	Node* delPos = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (key < cur->_kv.first) //所给key值小于当前结点的key值
		{
			//往该结点的左子树走
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (key > cur->_kv.first) //所给key值大于当前结点的key值
		{
			//往该结点的右子树走
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else //找到了待删除结点
		{
			if (cur->_left == nullptr) //待删除结点的左子树为空
			{
				if (cur == _root) //待删除结点是根结点
				{
					_root = _root->_right; //让根结点的右子树作为新的根结点
					if (_root)
					{
						_root->_parent = nullptr;
						_root->_col = BLACK; //根结点为黑色
					}
					delete cur; //删除原根结点
					return true;
				}
				else
				{
					delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
					delPos = cur; //标记实际删除的结点
				}
				break; //进行红黑树的调整以及结点的实际删除
			}
			else if (cur->_right == nullptr) //待删除结点的右子树为空
			{
				if (cur == _root) //待删除结点是根结点
				{
					_root = _root->_left; //让根结点的左子树作为新的根结点
					if (_root)
					{
						_root->_parent = nullptr;
						_root->_col = BLACK; //根结点为黑色
					}
					delete cur; //删除原根结点
					return true;
				}
				else
				{
					delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
					delPos = cur; //标记实际删除的结点
				}
				break; //进行红黑树的调整以及结点的实际删除
			}
			else //待删除结点的左右子树均不为空
			{
				//替换法删除
				//寻找待删除结点右子树当中key值最小的结点作为实际删除结点
				Node* minParent = cur;
				Node* minRight = cur->_right;
				while (minRight->_left)
				{
					minParent = minRight;
					minRight = minRight->_left;
				}
				cur->_kv.first = minRight->_kv.first; //将待删除结点的key改为minRight的key
				cur->_kv.second = minRight->_kv.second; //将待删除结点的value改为minRight的value
				delParentPos = minParent; //标记实际删除结点的父结点
				delPos = minRight; //标记实际删除的结点
				break; //进行红黑树的调整以及结点的实际删除
			}
		}
	}
	if (delPos == nullptr) //delPos没有被修改过，说明没有找到待删除结点
	{
		return false;
	}

	//记录待删除结点及其父结点（用于后续实际删除）
	Node* del = delPos;
	Node* delP = delParentPos;

	//调整红黑树
	if (delPos->_col == BLACK) //删除的是黑色结点
	{
		if (delPos->_left) //待删除结点有一个红色的左孩子（不可能是黑色）
		{
			delPos->_left->_col = BLACK; //将这个红色的左孩子变黑即可
		}
		else if (delPos->_right) //待删除结点有一个红色的右孩子（不可能是黑色）
		{
			delPos->_right->_col = BLACK; //将这个红色的右孩子变黑即可
		}
		else //待删除结点的左右均为空
		{
			while (delPos != _root) //可能一直调整到根结点
			{
				if (delPos == delParentPos->_left) //待删除结点是其父结点的左孩子
				{
					Node* brother = delParentPos->_right; //兄弟结点是其父结点的右孩子
					//情况一：brother为红色
					if (brother->_col == RED)
					{
						delParentPos->_col = RED;
						brother->_col = BLACK;
						RotateL(delParentPos);
						//需要继续处理
						brother = delParentPos->_right; //更新brother（否则在本循环中执行其他情况的代码会出错）
					}
					//情况二：brother为黑色，且其左右孩子都是黑色结点或为空
					if (((brother->_left == nullptr) || (brother->_left->_col == BLACK))
						&& ((brother->_right == nullptr) || (brother->_right->_col == BLACK)))
					{
						brother->_col = RED;
						if (delParentPos->_col == RED)
						{
							delParentPos->_col = BLACK;
							break;
						}
						//需要继续处理
						delPos = delParentPos;
						delParentPos = delPos->_parent;
					}
					else
					{
						//情况三：brother为黑色，且其左孩子是红色结点，右孩子是黑色结点或为空
						if ((brother->_right == nullptr) || (brother->_right->_col == BLACK))
						{
							brother->_left->_col = BLACK;
							brother->_col = RED;
							RotateR(brother);
							//需要继续处理
							brother = delParentPos->_right; //更新brother（否则执行下面情况四的代码会出错）
						}
						//情况四：brother为黑色，且其右孩子是红色结点
						brother->_col = delParentPos->_col;
						delParentPos->_col = BLACK;
						brother->_right->_col = BLACK;
						RotateL(delParentPos);
						break; //情况四执行完毕后调整一定结束
					}
				}
				else //delPos == delParentPos->_right //待删除结点是其父结点的左孩子
				{
					Node* brother = delParentPos->_left; //兄弟结点是其父结点的左孩子
					//情况一：brother为红色
					if (brother->_col == RED) //brother为红色
					{
						delParentPos->_col = RED;
						brother->_col = BLACK;
						RotateR(delParentPos);
						//需要继续处理
						brother = delParentPos->_left; //更新brother（否则在本循环中执行其他情况的代码会出错）
					}
					//情况二：brother为黑色，且其左右孩子都是黑色结点或为空
					if (((brother->_left == nullptr) || (brother->_left->_col == BLACK))
						&& ((brother->_right == nullptr) || (brother->_right->_col == BLACK)))
					{
						brother->_col = RED;
						if (delParentPos->_col == RED)
						{
							delParentPos->_col = BLACK;
							break;
						}
						//需要继续处理
						delPos = delParentPos;
						delParentPos = delPos->_parent;
					}
					else
					{
						//情况三：brother为黑色，且其右孩子是红色结点，左孩子是黑色结点或为空
						if ((brother->_left == nullptr) || (brother->_left->_col == BLACK))
						{
							brother->_right->_col = BLACK;
							brother->_col = RED;
							RotateL(brother);
							//需要继续处理
							brother = delParentPos->_left; //更新brother（否则执行下面情况四的代码会出错）
						}
						//情况四：brother为黑色，且其左孩子是红色结点
						brother->_col = delParentPos->_col;
						delParentPos->_col = BLACK;
						brother->_left->_col = BLACK;
						RotateR(delParentPos);
						break; //情况四执行完毕后调整一定结束
					}
				}
			}
		}
	}
	//进行实际删除
	if (del->_left == nullptr) //实际删除结点的左子树为空
	{
		if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
		{
			delP->_left = del->_right;
			if (del->_right)
				del->_right->_parent = delP;
		}
		else //实际删除结点是其父结点的右孩子
		{
			delP->_right = del->_right;
			if (del->_right)
				del->_right->_parent = delP;
		}
	}
	else //实际删除结点的右子树为空
	{
		if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
		{
			delP->_left = del->_left;
			if (del->_left)
				del->_left->_parent = delP;
		}
		else //实际删除结点是其父结点的右孩子
		{
			delP->_right = del->_left;
			if (del->_left)
				del->_left->_parent = delP;
		}
	}
	delete del; //实际删除结点
	return true;
}

红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删查改的时间复杂度都是 O(logN)，但红黑树和AVL树控制二叉树平衡的方式不同：

1.AVL树是通过控制左右高度差不超过1来实现二叉树平衡的，实现的是二叉树的严格平衡。
2.红黑树是通过控制结点的颜色，从而使得红黑树当中最长可能路径不超过最短可能路径的2倍，实现的是近似平衡。
相对于AVL树来说，红黑树降低了插入结点时需要进行的旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，实际运用时也大多用的是红黑树。