序列合并

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的非负整数序列 { a n } \{a_n\} {an​}，你可以进行 $k$ 次操作，每次操作你选择两个相邻的数，把它们合并成它们的按位或。

形式化地，一次操作中，你选择一个下标 $i$（$1\le i<n$），然后把原序列变成 { a 1 , a 2 , ⋯   , a i or ⁡ a i + 1 , a i + 2 , ⋯   , a n } \{a_1,a_2,\cdots,a_i \operatorname{or} a_{i+1},a_{i+2},\cdots,a_n\} {a1​,a2​,⋯,ai​orai+1​,ai+2​,⋯,an​}。

求 $k$ 次操作后所有数按位与的最大值。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,k$。

第二行包含 $n$ 个非负整数，其中第 $i$ 个非负整数为 $a_i$。

输出格式

输出一行，包含一个正整数，代表答案。

【数据范围】

• 对于 $25\%$ 的数据，$n\le 20$。
• 对于另外 $25\%$ 的数据，$k=n-2$。

对于所有数据，保证 $1\le k<n\le 2\times 10^5$，$0\le a_i<2^{30}$。

思路

对于这种给定一个序列，，定义其价值为序列最终其相与/或的值时，我们往往可以考虑去枚举最终的答案是否合法。
具体操作为，我们枚举答案二进制表示下的每一位，因为是尽可能的让答案更大，所以我们去枚举当前位为1时是否合法即可。
综上思路就和二分答案有些类似，所以这一类题的关键就在于如何 check 每次枚举的答案。
对于这一题，我们可以发现，对一个序列进行k次合并，等价于将其划分成 $n-k$ 个子段，现在题目变为了对于每个子段 $x_i$ ，其最终相与的值是否能为 $x$ ,那么对于每个子段的 $x_i$ 而言，x 二进制表示上为 1 的位置，$x_i$ 对应的位置也得为 1,所以我们的思路为，使用一个变量 $s$ 去记录当前子段内部相或的值，若 $s\&x=x$ ,那么则清空 $s$，子段数加一，最后判断子段数是否大于 $n-k$ 即可。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef array<ll, 3> ar;
int mod = 998244353;
const int maxv = 4e6 + 5;
// #define endl "\n"



void solve()
{
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	vector<int> a(n);
	for(auto &ai: a) cin>>ai;
	ll ans=0;
	auto check=[&](int x)
	{
		int s=0;
		int cnt=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			s|=a[i];
			if((s&x)==x){
				s=0;
				cnt++;
			}
		}
		return cnt>=n-k;
	};
	for(int i=31;i>=0;i--){
		ll res=ans+(1<<i);
		if(check(res)){
			ans=res;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	t = 1;
	// cin >> t;
	while (t--)
	{
		solve();
	}
	system("pause");
	return 0;
}

牛客小白月赛94 E，F

思路：

这题和上面一题类似，也是求一些数相与的最大值，我们可以去枚举答案的每一位，去check当前这一位放 1 后是否合法即可。
这题的 check 比上一题还简单，即若当前的价值为当前枚举答案 $x$ 的子集，我们变把他放入，最后看体积是否合法即可。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef array<ll, 3> p3;
int mod = 998244353;
const int maxv = 4e6 + 5;
// #define endl "\n"



void solve()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    vector<int> v(n+5),w(n+5);
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    ll ans=0;
    auto check=[&](int x)
    {
        ll sum=(1ll<<32)-1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if((w[i]&x)==x){
                sum&=v[i];
            }
        }
        return sum<=k;
    };
    for(int i=31;i>=0;i--){
        ll res=ans+(1<<i);
        if(check(res)){
            ans=res;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	t = 1;
	// cin >> t;
	while (t--)
	{
		solve();
	}
	system("pause");
	return 0;
}