信息学奥赛初赛天天练-12-数论-整除问题

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整除的性质

1 整除性

若 𝑎 和 𝑏 都为整数, 𝑎 整除 𝑏 是指 𝑏 是 𝑎 的倍数,𝑎 是 𝑏 的约数(或者叫 因数、因子),记为 𝑎|𝑏。整除的大部分性质都是显而易见的,为了阐述方便,我给这些性质都起了个名字

1)任意性

若 𝑎|𝑏,则对于任意非零整数 𝑚,有 𝑎𝑚|𝑏𝑚

2)传递性

若 𝑎|𝑏 且 𝑏|𝑐 ,则 𝑎|𝑐 。

3)可消性

若 𝑎|𝑏𝑐 且 𝑎 和 𝑐 互素(互素即两者没有大于一的公共因子),则 𝑎|𝑏 。

4)组合性

若 𝑐|𝑎 且 𝑐|𝑏,则对于任意整数 、𝑚、𝑛,有 𝑐|(𝑚𝑎+𝑛𝑏)

2 常见数的整除特性

1)0的特性

0 是任何非零整数的倍数,对于任意非零整数 𝑎,必然有 𝑎|0。

1)的特性

对于任何整数 𝑎,总有 1|𝑎。

2)能被 2 整除的数的特征

若整数 𝑎 的末位是 0、2、4、6 或 8,则 𝑎 能被 2 整除。

3)能被 3 整除的数的特征

若整数 𝑎 的数字和能被 3 整除,则 𝑎 能被 3 整除

4)能被 4 整除的数的特征

若整数 𝑎 的末尾两位数能被 4 整除,则 𝑎 能被 4 整除。

5)能被 5 整除的数的特征

若整数 𝑎 的末位是 0 或 5,则 𝑎 能被 5 整除。

6)能被 6 整除的数的特征

若整数 𝑎 能被 2 和 3 整除,则 𝑎 能被 6 整除。

7)能被 7 整除的数的特征

能被7整除的数:这个数的末三位数与除末三位数的数字组成的数之差能被7、11、13整除,则 7|a, 11|a , 13|a

8)能被 8 整除的数的特征

能被8整除的数:一个整数的末3位若能被8整除,则该数一定能被8整除

9)能被9整除的数

能被9整除的数:各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数能被9整除

10)能被10整除的数

能被10整除的数:如果一个数既能被2整除又能被5整除,那么这个数能被10整除(即个位数为零)

练习

1小兵和小亮两人做一种轮流报数的游戏。规则是:每个人报出的数不能超过8,也不是0,把两人报出的数加起来,谁报数后加起来是100,谁就获胜。小亮先报,并且第一次都报1,以后不管小兵报几,最后小亮准赢。这是为什么?请说明理由?

2在1至100的整数中,能被2整除或能被3整除的整数共有多少个?

3从1、3、5、7、、、、97、99中最多可以选出几个数,使它们当中的每一个数都不能另一个数的倍数。

5一位马虎的采购员买了36套桌椅,,洗衣服时将购货发票洗烂了,只能依稀看到:36套桌椅,单价:□3.□□元,总价:1□24.5□元。你能帮忙算出单价和总价吗?

6首位数字是9,各位上的数字互不相同,能被6整除的最小数是多少?

7在1至100以内所有不能被3整除的数的和是( )

8在四位数字173□中,数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,

所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少?

3 获取练习答案

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