目录
- 1 隐函数求导
- 1.1 公式
- 1.2 说明
- 1.3 例题
- 2 无条件极值
- 2.1 运用
- 2.2 求解
- 2.3 例题
- 3 条件极值
- 3.1 运用
- 3.2 求解
- 3.3 例题
- 4 二重积分
- 4.1 直角坐标下
- 4.2 极坐标下
- 4.3 例题
- 5 曲线积分
- 5.1 第一型曲线积分
- 5.2 第二型曲线积分
- 5.3 例题
- 6 格林公式
- 6.1 公式
- 6.2 说明
- 6.3 例题
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1 隐函数求导
1.1 公式
d y d x = − F x F y \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} dxdy=−FyFx
1.2 说明
F ( x , y ) F\left(x,y\right) F(x,y)在某一邻域有偏导且连续，且在点 ( x 0 , y 0 ) \left(x_0,y_0\right) (x0,y0)有 F ( x 0 , y 0 ) = 0 F\left(x_0,y_0\right)=0 F(x0,y0)=0， F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_y\left(x_0,y_0\right)\neq0 Fy(x0,y0)=0
1.3 例题
求由方程
x
=
y
−
s
i
n
x
y
x=y-sin{xy}
x=y−sinxy所确定的隐函数
y
=
f
(
x
)
y=f\left(x\right)
y=f(x)的导数
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
dxdy
解析：设：
F
(
x
,
y
)
=
y
−
s
i
n
x
y
−
x
F\left(x,y\right)=y-sin{xy}-x
F(x,y)=y−sinxy−x
则：
F
x
=
−
y
c
o
s
x
y
−
1
F_x=-ycos{xy}-1
Fx=−ycosxy−1，
F
y
=
1
−
x
c
o
s
x
y
F_y=1-xcos{xy}
Fy=1−xcosxy
结合公式可得：
d
y
d
x
=
−
F
x
F
y
=
−
−
y
c
o
s
x
y
−
1
1
−
x
c
o
s
x
y
=
y
c
o
s
x
y
+
1
1
−
x
c
o
s
x
y
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{-ycos{xy}-1}{1-xcos{xy}}=\frac{ycos{xy}+1}{1-xcos{xy}}
dxdy=−FyFx=−1−xcosxy−ycosxy−1=1−xcosxyycosxy+1
2 无条件极值
2.1 运用
主要针对二元函数 z = f ( x , y ) z=f\left(x,y\right) z=f(x,y)，且邻域内有一二阶偏导
2.2 求解
（1）求一阶偏导：
f
x
(
x
,
y
)
f_x\left(x,y\right)
fx(x,y)，
f
y
(
x
,
y
)
f_y\left(x,y\right)
fy(x,y)，并解方程组：
{
f
x
(
x
,
y
)
=
0
f
x
(
x
,
y
)
=
0
\begin{cases} f_x\left(x,y\right)=0\\ f_x\left(x,y\right)=0 \end{cases}
{fx(x,y)=0fx(x,y)=0
（2）求二阶偏导：
f
x
x
(
x
,
y
)
f_{xx}\left(x,y\right)
fxx(x,y)，
f
x
y
(
x
,
y
)
f_{xy}\left(x,y\right)
fxy(x,y)，
f
y
y
(
x
,
y
)
f_{yy}\left(x,y\right)
fyy(x,y)
（3）方程组的解即驻点，将得到的驻点值分别代入二阶偏导，得出以下值：
f
x
x
(
x
0
,
y
0
)
=
A
f_{xx}\left(x_0,y_0\right)=A
fxx(x0,y0)=A，
f
x
y
(
x
0
,
y
0
)
=
B
f_{xy}\left(x_0,y_0\right)=B
fxy(x0,y0)=B，
f
y
y
(
x
0
,
y
0
)
=
C
f_{yy}\left(x_0,y_0\right)=C
fyy(x0,y0)=C
（4）有以下情况
① 若：
A
C
−
B
2
>
0
AC-B^2>0
AC−B2>0，当
A
<
0
A<0
A<0时，该点取极大值；当
A
>
0
A>0
A>0时，该点取极小值
② 若：
A
C
−
B
2
<
0
AC-B^2<0
AC−B2<0，则该点无极值
③ 若：
A
C
−
B
2
=
0
AC-B^2=0
AC−B2=0，则该点可能有极值，可能没有极值
2.3 例题
求函数
f
(
x
,
y
)
=
x
3
−
y
3
+
3
x
2
+
3
y
2
−
9
x
f\left(x,y\right)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x
f(x,y)=x3−y3+3x2+3y2−9x的极值
解析：
一阶偏导方程组：
{
f
x
(
x
,
y
)
=
3
x
2
+
6
x
−
9
=
0
f
y
(
x
,
y
)
=
−
3
y
2
+
6
y
=
0
\begin{cases}f_x\left(x,y\right)=3x^2+6x-9=0 \\ f_y\left(x,y\right)=-3y^2+6y=0\end{cases}
{fx(x,y)=3x2+6x−9=0fy(x,y)=−3y2+6y=0
解得驻点：
(
1
,
0
)
\left(1,0\right)
(1,0)，
(
1
,
2
)
\left(1,2\right)
(1,2)，
(
−
3
,
0
)
\left(-3,0\right)
(−3,0)，
(
−
3
,
2
)
\left(-3,2\right)
(−3,2)
求二阶偏导：
{
f
x
x
(
x
0
,
y
0
)
=
A
=
6
x
+
6
f
x
y
(
x
0
,
y
0
)
=
B
=
0
f
y
y
(
x
0
,
y
0
)
=
C
=
−
6
y
+
6
\begin{cases}f_{xx}\left(x_0,y_0\right)=A=6x+6 \\f_{xy}\left(x_0,y_0\right)=B=0 \\f_{yy}\left(x_0,y_0\right)=C=-6y+6\end{cases}
⎩
⎨
⎧fxx(x0,y0)=A=6x+6fxy(x0,y0)=B=0fyy(x0,y0)=C=−6y+6
在点
(
1
,
0
)
\left(1,0\right)
(1,0)处：
A
C
−
B
2
=
12
×
6
>
0
AC-B^2=12\times6>0
AC−B2=12×6>0，又
A
>
0
A>0
A>0，则该点有极小值
f
(
1
,
0
)
=
−
5
f\left(1,0\right)=-5
f(1,0)=−5
在点
(
1
,
2
)
\left(1,2\right)
(1,2)处：
A
C
−
B
2
=
12
×
(
−
6
)
<
0
AC-B^2=12\times\left(-6\right)<0
AC−B2=12×(−6)<0，该点无极值
在点
(
−
3
,
0
)
\left(-3,0\right)
(−3,0)处：
A
C
−
B
2
=
−
12
×
6
<
0
AC-B^2=-12\times6<0
AC−B2=−12×6<0，该点无极值
在点
(
−
3
,
2
)
\left(-3,2\right)
(−3,2)处：
A
C
−
B
2
=
−
12
×
(
−
6
)
>
0
AC-B^2=-12\times\left(-6\right)>0
AC−B2=−12×(−6)>0，又
A
<
0
A<0
A<0，则该点有极大值
f
(
−
3
,
2
)
=
31
f\left(-3,2\right)=31
f(−3,2)=31
3 条件极值
3.1 运用
主要针对二元函数及其多元函数，函数自变量有附加约束条件限制
3.2 求解
主要运用拉格朗日乘数法，这里以二元函数为例
（1）写出目标函数：
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f\left(x,y\right)
z=f(x,y)
（2）写出约束条件：
φ
(
x
,
y
)
=
0
\varphi\left(x,y\right)=0
φ(x,y)=0
（3）构造辅助函数：
L
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
+
λ
φ
(
x
,
y
)
L\left(x,y,\lambda\right)=f\left(x,y\right)+\lambda\varphi\left(x,y\right)
L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)（
λ
\lambda
λ：拉格朗日乘数）
（4）分别对自变量和拉格朗日乘数求偏导，并列出以下方程组：
{
L
x
=
f
x
(
x
,
y
)
+
λ
φ
x
(
x
,
y
)
=
0
L
y
=
f
y
(
x
,
y
)
+
λ
φ
y
(
x
,
y
)
=
0
L
λ
=
(
x
,
y
)
=
0
\begin{cases} L_x=f_x\left(x,y\right)+\lambda\varphi_x\left(x,y\right)=0 \\ L_y=f_y\left(x,y\right)+\lambda\varphi_y\left(x,y\right)=0 \\ L_\lambda=\left(x,y\right)=0 \end{cases}
⎩
⎨
⎧Lx=fx(x,y)+λφx(x,y)=0Ly=fy(x,y)+λφy(x,y)=0Lλ=(x,y)=0
（5）由此解出：
x
0
x_0
x0，
y
0
y_0
y0，
λ
\lambda
λ，判定
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_0,y_0\right)
(x0,y0)是否为极值点要结合实际问题作出判定
3.3 例题
求表面积为
a
2
a^2
a2而体积最大的长方体体积
解析：
设：长方体的三条棱长分别为：
x
x
x，
y
y
y，
z
z
z，则长方体体积，即目标函数为：
V
=
x
y
z
V=xyz
V=xyz
约束条件
2
x
y
+
2
y
z
+
2
x
z
=
a
2
2xy+2yz+2xz=a^2
2xy+2yz+2xz=a2
构造拉格朗日函数
L
(
x
,
y
,
z
,
λ
)
=
x
y
z
+
λ
(
2
x
y
+
2
y
z
+
2
x
z
−
a
2
)
L\left(x,y,z,\lambda\right)=xyz+\lambda\left(2xy+2yz+2xz-a^2\right)
L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2xz−a2)
求偏导数
{
L
x
=
y
z
+
2
λ
(
y
+
z
)
=
0
L
y
=
x
z
+
2
λ
(
x
+
z
)
=
0
L
z
=
x
y
+
2
λ
(
y
+
x
)
=
0
L
λ
=
2
x
y
+
2
y
z
+
2
x
z
−
a
2
=
0
\begin{cases} L_x=yz+2\lambda\left(y+z\right)=0 \\ L_y=xz+2\lambda\left(x+z\right)=0 \\ L_z=xy+2\lambda\left(y+x\right)=0 \\ L_\lambda=2xy+2yz+2xz-a^2=0 \end{cases}
⎩
⎨
⎧Lx=yz+2λ(y+z)=0Ly=xz+2λ(x+z)=0Lz=xy+2λ(y+x)=0Lλ=2xy+2yz+2xz−a2=0
解得
x
=
y
=
z
x=y=z
x=y=z
根据约束条件可得
x
=
y
=
z
=
6
6
a
x=y=z=\frac{\sqrt6}{6}a
x=y=z=66a
最大体积为
V
=
6
36
a
3
V=\frac{\sqrt6}{36}a^3
V=366a3
4 二重积分
4.1 直角坐标下
X型区域
（1）特征：上下曲边，左右直边
（2）取值：
y
1
(
x
)
≤
y
≤
y
2
(
x
)
y_1\left(x\right)\le\ y\le\ y_2\left(x\right)
y1(x)≤ y≤ y2(x)，
a
≤
x
≤
b
a\le\ x\le\ b
a≤ x≤ b
（3）积分：
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
d
x
∫
y
1
(
x
)
y
2
(
x
)
f
(
x
,
y
)
d
y
\iint_{D}^{\ }f\left(x,y\right)dxdy=\int_{a}^{b}\ dx\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}f\left(x,y\right)dy
∬D f(x,y)dxdy=∫ab dx∫y1(x)y2(x)f(x,y)dy
Y型区域
（1）特征：左右曲边，上下直边
（2）取值：
x
1
(
y
)
≤
x
≤
x
2
(
y
)
x_1\left(y\right)\le\ x\le\ x_2\left(y\right)
x1(y)≤ x≤ x2(y)，
c
≤
y
≤
d
c\le\ y\le\ d
c≤ y≤ d
（3）积分：
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
c
d
d
y
∫
x
1
(
y
)
x
2
(
y
)
f
(
x
,
y
)
d
x
\iint_{D}^{\ }f\left(x,y\right)dxdy=\int_{c}^{d}\ dy\int_{x_1\left(y\right)}^{x_2\left(y\right)}f\left(x,y\right)dx
∬D f(x,y)dxdy=∫cd dy∫x1(y)x2(y)f(x,y)dx
4.2 极坐标下
（1）极坐标：
{
x
=
r
c
o
s
θ
y
=
r
s
i
n
θ
\begin{cases} x=rcos{\theta} \\ y=rsin{\theta} \end{cases}
{x=rcosθy=rsinθ
（2）范围：
0
≤
r
≤
+
∞
0\le\ r\le+\infty
0≤ r≤+∞，
0
≤
θ
≤
2
π
0\le\theta\le2\pi
0≤θ≤2π
（3）积分：
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
D
f
(
r
c
o
s
θ
,
r
s
i
n
θ
)
r
d
r
d
θ
=
∫
α
β
d
θ
∫
r
1
(
θ
)
r
2
(
θ
)
f
(
r
c
o
s
θ
,
r
s
i
n
θ
)
r
d
r
d
θ
\iint_{D}^{\ }f\left(x,y\right)dxdy=\iint_{D}^{\ }f\left(rcos{\theta},rsin{\theta}\right)rdrd\theta=\int_{\alpha}^{\beta}\ d\theta\int_{r_1\left(\theta\right)}^{r_2\left(\theta\right)}f\left(rcos{\theta},rsin{\theta}\right)rdrd\theta
∬D f(x,y)dxdy=∬D f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβ dθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
4.3 例题
计算：
I
=
∬
D
(
1
−
x
2
)
d
σ
I=\iint_{D}^{\ }\left(1-x^2\right)d\sigma
I=∬D (1−x2)dσ，其中
D
=
{
(
x
,
y
)
∣
0
≤
x
≤
1
,
0
≤
y
≤
x
}
D=\left\{\left(x,y\right)|0\le x\le1,0\le y\le x\right\}
D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤x}
解析：
∬
D
(
1
−
x
2
)
d
σ
=
∫
0
1
d
x
∫
0
x
x
(
1
−
x
2
)
d
y
=
∫
0
1
(
1
−
x
2
)
x
d
x
=
1
4
\iint_{D}^{\ }\left(1-x^2\right)d\sigma=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{xx}\left(1-x^2\right)dy=\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)xdx=\frac{1}{4}
∬D (1−x2)dσ=∫01dx∫0xx(1−x2)dy=∫01(1−x2)xdx=41
5 曲线积分
5.1 第一型曲线积分
（1）一般形式
曲线
L
L
L的方程为：
x
=
φ
(
t
)
x=\varphi(t)
x=φ(t)，
y
=
ϕ
(
t
)
y=\phi\left(t\right)
y=ϕ(t)，
α
≤
t
≤
β
\alpha\le\ t\le\beta
α≤ t≤β，则：
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
=
∫
α
β
f
[
φ
(
t
)
,
ϕ
(
t
)
]
[
φ
′
(
x
)
]
2
+
[
ϕ
′
(
x
)
]
2
d
t
\int_{L}^{\ }f\left(x,y\right)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f\left[\varphi\left(t\right),\phi\left(t\right)\right]\sqrt{\left[\varphi\prime\left(x\right)\right]^2+\left[\phi\prime\left(x\right)\right]^2}dt
∫L f(x,y)ds=∫αβf[φ(t),ϕ(t)][φ′(x)]2+[ϕ′(x)]2dt
（2）特殊形式
若
L
L
L的方程为：
y
=
φ
(
x
)
y=\varphi\left(x\right)
y=φ(x)，其中：
x
∈
[
α
,
β
]
x\in\left[\alpha,\beta\right]
x∈[α,β]，则：
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
=
∫
α
β
f
(
x
,
φ
(
x
)
)
1
+
[
φ
′
(
x
)
]
2
d
x
\int_{L}^{\ }f\left(x,y\right)ds=\int_{\alpha}^{\beta}{f\left(x,\varphi\left(x\right)\right)\sqrt{1+\left[\varphi\prime\left(x\right)\right]^2}}dx
∫L f(x,y)ds=∫αβf(x,φ(x))1+[φ′(x)]2dx
若
L
L
L的方程为：
x
=
ϕ
(
y
)
x=\phi\left(y\right)
x=ϕ(y)，其中：
y
∈
[
c
,
d
]
y\in\left[c,d\right]
y∈[c,d]，则：
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
=
∫
c
d
f
(
ϕ
(
y
)
,
y
)
1
+
[
ϕ
′
(
x
)
]
2
d
y
\int_{L}^{\ }f\left(x,y\right)ds=\int_{c}^{d}{f\left(\phi\left(y\right),y\right)\sqrt{1+\left[\phi\prime\left(x\right)\right]^2}}dy
∫L f(x,y)ds=∫cdf(ϕ(y),y)1+[ϕ′(x)]2dy
5.2 第二型曲线积分
（1）一般形式
曲线
L
L
L的方程为：
{
x
=
φ
(
t
)
y
=
ϕ
(
t
)
\begin{cases} x=\varphi\left(t\right)\\ y=\phi\left(t\right) \end{cases}
{x=φ(t)y=ϕ(t)，则曲线积分：
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
α
β
{
P
(
φ
(
t
)
,
ϕ
(
t
)
)
φ
′
(
t
)
+
Q
(
φ
(
t
)
,
ϕ
(
t
)
)
ϕ
′
(
t
)
}
d
t
\int_{L}^{\ }{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{P\left(\varphi\left(t\right),\phi\left(t\right)\right)\varphi\prime\left(t\right)+Q\left(\varphi\left(t\right),\phi\left(t\right)\right)\phi\prime\left(t\right)\right\}dt
∫L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ{P(φ(t),ϕ(t))φ′(t)+Q(φ(t),ϕ(t))ϕ′(t)}dt
（2）特殊形式
曲线
L
L
L的方程为：
y
=
φ
(
x
)
y=\varphi\left(x\right)
y=φ(x)，
x
x
x在
a
a
a和
b
b
b之间，
x
=
a
x=a
x=a，
x
=
b
x=b
x=b分别对应
L
L
L的起点和终点，则曲线积分：
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
α
β
[
P
(
x
,
φ
(
x
)
)
+
Q
(
x
,
φ
(
x
)
)
]
φ
′
(
x
)
d
x
\int_{L}^{\ }{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\int_{\alpha}^{\beta}\left[P\left(x,\varphi\left(x\right)\right)+Q\left(x,\varphi\left(x\right)\right)\right]\varphi\prime\left(x\right)dx
∫L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ[P(x,φ(x))+Q(x,φ(x))]φ′(x)dx
5.3 例题
（1）例题1： 求
∫
L
(
x
2
,
y
2
)
d
s
\int_{L}^{\ }\left(x^2,y^2\right)ds
∫L (x2,y2)ds，其中
L
L
L为下半圆周
y
=
−
1
−
x
2
y=-\sqrt{1-x^2}
y=−1−x2
解析：
L
L
L参数方程：
{
x
=
c
o
s
t
y
=
s
i
n
t
\begin{cases} x=cos{t}\\ y=sin{t}\end{cases}
{x=costy=sint其中：
π
≤
t
≤
2
π
\pi\le t\le2\pi
π≤t≤2π，则：
∫
L
(
x
2
,
y
2
)
d
s
=
∫
π
2
π
[
(
c
o
s
t
)
2
,
(
s
i
n
t
)
2
]
(
−
s
i
n
t
)
2
+
(
c
o
s
t
)
2
d
t
=
∫
π
2
π
d
t
=
π
\int_{L}^{\ }\left(x^2,y^2\right)ds=\int_{\pi}^{2\pi}\left[\left(cos{t}\right)^2,\left(sin{t}\right)^2\right]\sqrt{\left(-sin{t}\right)^2+\left(cos{t}\right)^2}dt=\int_{\pi}^{2\pi}dt=\pi
∫L (x2,y2)ds=∫π2π[(cost)2,(sint)2](−sint)2+(cost)2dt=∫π2πdt=π
（2）例题2： 计算
1
2
∫
L
x
d
y
−
y
d
x
\frac{1}{2}\int_{L}^{\ }{xdy-ydx}
21∫L xdy−ydx，其中
L
L
L为从点
A
(
a
,
0
)
A\left(a,0\right)
A(a,0)到点
B
(
0
,
b
)
B\left(0,b\right)
B(0,b)的直线段，
a
,
b
>
0
a,b>0
a,b>0
解析：直线段
A
B
ˉ
\bar{AB}
ABˉ的方程为
y
=
−
b
a
x
+
b
y=-\frac{b}{a}x+b
y=−abx+b，起点
A
A
A对应
x
=
a
x=a
x=a，终点
B
B
B对应
x
=
0
x=0
x=0，则：
1
2
∫
L
x
d
y
−
y
d
x
=
1
2
∫
a
0
[
x
(
−
b
a
)
−
(
−
b
a
x
+
b
)
]
d
x
=
1
2
∫
a
0
−
b
d
x
=
1
2
a
b
\frac{1}{2}\int_{L}^{\ }{xdy-ydx}=\frac{1}{2}\int_{a}^{0}\left[x\left(-\frac{b}{a}\right)-\left(-\frac{b}{a}x+b\right)\right]dx=\frac{1}{2}\int_{a}^{0}{-b}dx=\frac{1}{2}ab
21∫L xdy−ydx=21∫a0[x(−ab)−(−abx+b)]dx=21∫a0−bdx=21ab
6 格林公式
6.1 公式
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ L P d x + Q d y \iint_{D}^{\ }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\oint_{L}^{\ }{Pdx+Qdy} ∬D (∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮L Pdx+Qdy
6.2 说明
区域 D D D由光滑闭曲线 L L L围成，函数 P ( x , y ) P\left(x,y\right) P(x,y)， Q ( x , y ) Q\left(x,y\right) Q(x,y)在 D D D上具有一阶连续偏导数，这里 L L L是 D D D的取正向的边界曲线
6.3 例题
求
∮
L
4
x
2
y
d
x
+
2
y
d
y
\oint_{L}^{\ }{4x^2ydx+2ydy}
∮L 4x2ydx+2ydy，其中
L
L
L为以
A
(
0
,
0
)
A\left(0,0\right)
A(0,0)，
B
(
1
,
2
)
B\left(1,2\right)
B(1,2)，
C
(
0
,
2
)
C\left(0,2\right)
C(0,2)为顶点的三角形区域的正向边界
解析：
∮
L
4
x
2
y
d
x
+
2
y
d
y
=
∬
D
(
0
−
4
x
2
)
d
x
d
y
=
∫
0
1
∫
2
x
2
(
0
−
4
x
2
)
d
x
d
y
=
−
2
3
\oint_{L}^{\ }{4x^2ydx+2ydy}=\iint_{D}^{\ }\left(0-4x^2\right)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{2x}^{2}\left(0-4x^2\right)dxdy=-\frac{2}{3}
∮L 4x2ydx+2ydy=∬D (0−4x2)dxdy=∫01∫2x2(0−4x2)dxdy=−32
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