*第六章个人感觉是最难的，请各位抓稳扶手，系好安全带。

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图的定义

通俗来讲，一个图由一些点和连接这些点的若干边组成，边的两头必须都有顶点，否则不是图。
注：G: Graph； V: Vertex； E: Edge。
对图$G$，其由顶点集$V$和边集$E$组成，记为$G=(V,E)$，其中$V(G)$表示图$G$中顶点的有限非空集；$E(G)$表示图$G$中顶点之间的关系（边）集合。若 V = { v 1 , v 2 , ⋯   , v n } V=\left\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},\cdots ,{{v}_{n}} \right\} V={v1​,v2​,⋯,vn​}，则用$\left|V\right|$表示图$G$中顶点的个数， E = { ( u , v ) ∣ u ∈ V , v ∈ V } E=\left\{ \left( u,v \right)\left| u\in V,v\in V \right. \right\} E={(u,v)∣u∈V,v∈V}，用$\left|E\right|$表示图$G$中边的条数。

注意：线性表可以是空表，树也可以是空树，但是图不可以是空图。这意味着，图中不能一个顶点也没有，图的顶点集$V$一定非空，但边集$E$可以为空，此时图中只有顶点而没有边。

图的基本概念及术语

有向图、无向图

若$E$是有向边（也称弧）的有限集合，则称图$G$为有向图。
弧是顶点的有序对，记为$⟨v,w⟩$，其中$v,w$是顶点，$v$称为弧尾，$w$称为弧头，$⟨v,w⟩$称为从$v$到$w$的弧，也称$v$邻接到$w$。（$⟨v,w⟩\ne ⟨w,v⟩$）

如图6.1(a)中，有向图$G_1$可表示为：
$G_1=\left(V_1,E_1\right)$
V 1 = { 1 , 2 , 3 } {{V}_{1}}=\left\{ 1,2,3 \right\} V1​={1,2,3}
E 1 = { ⟨ 1 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 1 ⟩ , ⟨ 2 , 3 ⟩ } {{E}_{1}}=\left\{ \left\langle 1,2 \right\rangle ,\left\langle 2,1 \right\rangle ,\left\langle 2,3 \right\rangle \right\} E1​={⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩}

若$E$是无向边（也称边）的有限集合，则称图$G$为无向图。
边是顶点的无序对，记为$\left(v,w\right)$或$\left(w,v\right)$。可以说$w$和$v$互为邻接点。边$\left(v,w\right)$依附于$w$和$v$，或称边$\left(v,w\right)$和$v,w$相关联。（$\left(v,w\right)=\left(w,v\right)$）

如图6.1(b)中，无向图$G_2$可表示为：
$G_2=\left(V_2,E_2\right)$
V 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 } {{V}_{2}}=\left\{ 1,2,3,4 \right\} V2​={1,2,3,4}
E 2 = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) } {{E}_{2}}=\left\{ \left( 1,2 \right),\left( 1,3 \right),\left( 1,4 \right),\left( 2,3 \right),\left( 2,4 \right),\left( 3,4 \right) \right\} E2​={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

无向与有向可以类比标量与向量进行理解。比如从$v$到$w$有一条弧$⟨v,w⟩$，就可以认为有一条有向线段从$v$指向$w$。
（图片来自王道考研408数据结构2025）

简单图、多重图

对一个图$G$，若其满足：①不存在重复边；②不存在顶点到自身的边。则称图$G$为简单图。上图6.1中的图$G_1$和图$G_2$均为简单图。
若图$G$中某两个顶点之间的边数大于$1$条，又或者允许顶点通过一条边与自身关联，则称图$G$为多重图。
多重图和简单图的定义是相对的。（408初试数据结构中仅考察简单图！！！）
之后讨论的所有图只有简单图，多重图只需了解其概念即可。

顶点的度、入度和出度

对于无向图，顶点$v$的度是指依附于顶点$v$的边的条数，记为$TD(v)$。无向图的全部顶点的度之和等于边数的$2$倍，因为每条边和两个顶点相关联。
即$n$个顶点、$e$条边的无向图中，$\sum _{i=1}^{n}TD\left(v_i\right)=2\left|E\right|$。
在图6.1(b)中，每个顶点的度均为$3$。

对于有向图，顶点$v$的度分为入度和出度，入度是以顶点$v$为重点的有向边的数目，记为$ID(v)$；出度是以顶点$v$为重点的有向边的数目，记为$OD(v)$。顶点$v$的度等于其入度与出度之和，即$TD(v)=ID(v)+OD(v)$。有向图的全部顶点的入度之和与出度之和相等，并且等于边数，这是因为有向图中每条弧都为一个顶点贡献一个入度，为一个顶点贡献一个出度（每条边都有一个唯一起点和终点）。
即$n$个顶点、$e$条边的有向图中，$\sum _{i=1}^{n}ID\left(v_i\right)=\sum _{i=1}^{n}OD\left(v_i\right)=e$。
在图6.1(a)中，顶点$2$的出度为$2$、入度为$1$。

顶点-顶点的关系描述

• 路径：顶点$v_p$到顶点$v_q$之间的一条路径是指顶点序列$v_p,v_{i_1},v_{i_2},\cdots ,v_{i_m},v_q$。当然，关联的边也可理解为路径的构成要素。
• 回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径被称为回路或环。
• 简单路径：在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。
• 简单回路：除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。
• 路径长度：路径上的边的数目称为路径长度。
• (点到点的)距离：从顶点$u$出发到顶点$v$的最短路径若存在，则此路径的长度称为从$u$到$v$的距离。若从$u$到$v$根本不存在路径，则记该距离为无穷（$\infty$)。

连通、连通图

在无向图中，若从顶点$v$到顶点$w$有路径存在，则称$v$和$w$是连通的。若图$G$中任意两个顶点都是连通的，则称图$G$为连通图，否则为非连通图。
对于$n$个顶点的无向图$G$：若$G$是连通图，则最少有$n-1$条边；若$G$是非连通图，则最多可能有$C_{n-1}^2$条边。

在有向图中，若有一对顶点$v$和$w$，从$v$到$w$和$w$到$v$之间都有有路径存在，则称$v$和$w$这两个顶点是强连通的。若图中任意一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。
对于$n$个顶点的有向图$G$：若$G$是强连通图，则最少有$n$条边（形成回路）。

注意：在无向图中讨论连通性，在有向图中讨论强连通性。

子图

设有两个图$G\left(V,E\right)$和$G^{{}^{\prime }}\left(V^{{}^{\prime }},E^{{}^{\prime }}\right)$，若$V^{{}^{\prime }}$是$V$的子集，且$E^{{}^{\prime }}$是$E$的子集，则称$G^{{}^{\prime }}$是$G$的子图。
（注意：挑选出来的点子集和边子集构成的新图必须满足“图的定义”，否则不是子图，图都不是）
若有满足$V\left(G^{{}^{\prime }}\right)=V\left(G\right)$的子图$G^{{}^{\prime }}$，则称其为$G$的生成子图。

连通分量

无向图中的极大连通子图称为连通分量。
其中，“极大连通子图”的含义是：子图必须连通，在此基础上，包含尽可能多的顶点和边。
（图片来自王道考研408数据结构2025）

有向图中的极大强连通子图称为强连通分量。
其中，“极大强连通子图”的含义是：子图必须强连通，在此基础上，保留尽可能多的边。
（图片来自王道考研408数据结构2025）

生成树、生成森林

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
极小连通子图的含义是：子图要保持连通，在此基础上，包含尽可能少的边。
若一个连通图有$n$个顶点，则它的生成树含有$n-1$条边。构造生成树的方式并不唯一。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图；若加上一条边，则会形成一个回路(环)。

在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。
也就是说，对非连通图，其所有的极大连通子图的生成树的集合，构成这个非连通图的生成森林。
（知识点回顾：树与森林）

注意：区分极大连通子图和极小连通子图。极大连通子图要求子图必须连通，而且包含尽可能多的顶点和边；极小连通子图是既要保持子图连通又要使得边数最少的子图。

边的权、带权图/网

• 边的权：在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。
• 带权图/网：边上带有权值的图称为带权图，也称网。
• 带权路径长度：当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度。

几种特殊形态的图

• 无向完全图：对一个无向图，若其任意两个顶点之间都存在边，则称这样的无向图为无向完全图。容易得到，对一个顶点数为$n$的无向完全图，其边的数量为$C_n^2$。
• 有向完全图：对一个有向图，若其任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称这样的有向图为有向完全图。若一个有向完全图有$n$个顶点，则其边数为$2C_n^2$或$n(n-1)$。
• 稀疏图、稠密图：边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图。稀疏和稠密本身是模糊的概念，没有绝对的界限，稀疏图和稠密图常常是相对而言的。一般来说，当图$G$满足$\left|E\right|<\left|V\right|\log \left|V\right|$时，可以将$G$视为稀疏图。当然这个定义也不绝对，作了解即可。
• 树：不存在回路，且连通的无向图。$n$个顶点的树，必有$n-1$条边。森林中各个子图是极小且连通的。
  若$n$个顶点的图中有大于$n-1$条的边，则其中一定有回路。
• 有向树：一个顶点的入度为$0$、其余顶点的入度均为$1$的有向图，称为有向树。这个入度为$0$的顶点可以视为树中的根结点。需要注意的是，树是连通图，但有向树并不是强连通图。

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这些基本概念需要结合课后习题熟记于心，不然后续内容会难以理解。
虽然都是些八股文，但还是得努努力背下来，要理解到位才行。下一篇博客应该会开始上代码。
以上。