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一、二叉堆的操作

二、二叉堆的实现

2.1 结构属性

2.2 堆的有序性

2.3 堆操作

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队列有一个重要的变体，叫作优先级队列。和队列一样，优先级队列从头部移除元素，不过元素的逻辑顺序是由优先级决定的。优先级最高的元素在最前，优先级最低的元素在最后。因此，当一个元素入队时，它可能直接被移到优先级队列的头部。

实现优先级队列的经典方法是使用叫作二叉堆的数据结构。二叉堆的入队操作和出队操作均可达到。

二叉堆有两个常见的变体：最小堆（最小的元素一直在队首）与最大堆（最大的元素一直在队首）。

本篇文章实现的是最小堆。

一、二叉堆的操作

我们将实现以下基本的二叉堆方法。

• BinaryHeap()新建一个空的二叉堆。
• insert(k)往堆中加入一个新元素。
• findMin()返回最小的元素，元素留在堆中。
• delMin()返回最小的元素，并将该元素从堆中移除。
• isEmpty()在堆为空时返回True，否则返回False。
• size()返回堆中元素的个数。
• buildHeap(list)根据一个列表创建堆。

>>> from pythonds.trees import BinaryHeap
>>> bh=BinaryHeap()
>>> bh.insert(5)
>>> bh.insert(7)
>>> bh.insert(3)
>>> bh.insert(11)
>>> print(bh.delMin())
3
>>> print(bh.delMin())
5
>>> print(bh.delMin())
7
>>> print(bh.delMin())
11

二、二叉堆的实现

2.1 结构属性

为了使二叉树能够高效地工作，我们利用树的对数性质来表示它。为了保证对数性能，必须维持树的平衡。平衡的二叉树是指，其根节点的左右子树含有数量大致相等的节点。在实现二叉堆时，我们通过创建一颗完全二叉树来维持树的平衡。在完全二叉树中，除了最底层，其他每一层的节点都是满的。在最底层，我们从左往右填充节点。

完全二叉树的另一个有趣之处在于，可以用一个列表来表示它，而不需要采用“列表之列表”或“节点与引用”表示法。由于树是完全的，因此，因此对于在列表中处于位置p的节点来说，它的左子节点正好处于位置2p；同理，右子节点处于位置2p+1。若要找到树中任意节点的父节点，只需使用python的整数除法即可。给定列表中位置n处的节点，其父节点的位置就是n/2。

2.2 堆的有序性

我们用来存储堆元素的方法依赖于堆的有序性。堆的有序性是指：对于堆中任意元素x及其父元素p，p都不大于x。

2.3 堆操作

新建二叉堆：

def __init__(self):
    self.heapList=[0]
    self.currentSize=0

接下来实现insert方法。将元素加入列表的最简单、最高效的方法就是将元素追加到列表的末尾。追加操作的优点在于，它能保证完全数的性质，但缺点是很可能会破坏堆的结构性质。不过可以写一个方法，通过比较新元素与其父元素来重新获得堆的结构性质。如果新元素小于其父元素，就将二者交换。

perUp方法：

def perUp(self,i):
    while i//2>0:
        if self.heapList[i]<self.heapList[i//2]:
            tmp=self.heapList[i//2]
            self.heapList[i//2]=self.heapList[i]
            self.heapList[i]=tmp
        i=i//2

向二叉堆中新加元素：

def insert(self,k):
    self.heapList.append(k)
    self.currentSize=self.currentSize+1
    self.perUp(self.currentSize)

正确定义insert方法后，就可以编写delMin方法。既然堆的结构性质要求根节点是树的最小元素，那么查找最小值就很简单。delMin方法的难点在于，如果在移除根节点之后重获堆的结构性质和有序性。可以分两步重建堆。第一步，取出列表中的最后一个元素，将其移到根节点的位置。移动最后一个元素保证了堆的结构性质，但可能破坏二叉堆的有序性。第二步，将新的根节点沿着树推到正确的位置，以重获堆的有序性。

perDown方法和minChild方法：

def percDown(self,i):
    while (i*2)<=self.currentSize:
        mc=self.minChild(i)
        if self.heapList[i]>self.heapList[mc]:
            tmp=self.heapList[i]
            self.heapList[i]=self.heapList[mc]
            self.heapList[mc]=tmp
        i=mc

def minChild(self,i):
    if i*2+1>self.currentSize:
        return i*2
    else:
        if self.heapList[i*2]<self.heapList[i*2+1]:
            return i*2
        else:
            return i*2+1

从二叉堆中删除最小的元素：

def delMin(self):
    retval=self.heapList[1]
    self.heapList[1]=self.heapList[self.currentSize]
    self.currentSize=self.currentSize-1
    self.heapList.pop()
    self.percDown(1)
    return retval

根据元素列表构建堆：

def bulidHeap(self,alist):
    i=len(alist)//2
    self.currentSize=len(alist)
    self.heapList=[0]+alist[:]
    while (i>0):
        self.percDown(i)
        i=i-1