完全背包问题

当前有 N 种物品，第 i 种物品的体积是 ci​，价值是 wi​。

每种物品的数量都是无限的，可以选择任意数量放入背包。

现有容量为 V 的背包，请你放入若干物品，使总体积不超过 V，并且总价值尽可能大。

解析
虽然物品个数是无限的，但是实际上，由于背包容量有上限，每个物品最多选取的个数也是有限制的，这样可以转换成多重背包问题，进而可以转换成 01 背包问题。

可以用多重背包的思想来解决完全背包。

for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
        for (int k = 0; k * c[i] <= j; k++) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i] * k] + w[i] * k, dp[i][j]);
        }
    }
}

时间效率优化

我们可以注意到

dp[i][v]=max(dp[i−1][v],dp[i−1][v−ci​]+wi​,dp[i−1][v−ci​×2]+wi​×2…)

而

dp[i][v−ci​]=max(dp[i−1][v−ci​],dp[i−1][v−ci​×2]+wi​,dp[i−1][v−ci​×3]+wi​×2…)

也就是说，我们完全可以用 dp[i][v−ci​] 的信息去更新 dp[i][v]，而不用去多此一举去枚举 k 了，转移可以直接变成如下：

dp[i][v]=max(dp[i−1][v],dp[i][v−ci​]+w[i])

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= v; j++) {
        if (j >= c[i]) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

完整代码

 

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int dp[21][1010];
int w[21], c[21];

int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> w[i] >> c[i];
    }
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        for(int j = 0; j <= V;  j++){
            if(j >= c[i]) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);
            }else {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
    }
    cout << dp[N][V] << endl;
    return 0;
}