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  • • 问题描述
    • 分治算法
    • • 示例
      • `Python`实现
    • 无运动员数量约束循环赛日程表算法
    • • 示例
      • `Python`实现

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系列专栏：分治算法

学习指南：Python学习指南

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问题描述

• 设有$n=2^k$个运动员要进行网球循环赛，设计一个满足以下要求的比赛日程表
  • 每个选手必须与其他$n-1$个选手各赛一次
  • 每个选手一天只能赛一次
  • 循环赛一共进行$n-1$天

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分治算法

• $n$个选手的比赛日程表可以通过$n/2$个选手的比赛日程表决定，递归调用，直到只剩下两个选手，比赛日程表的制定就变得简单了

示例

• $8$个选手的比赛日程表
• 先制定$2$个选手的比赛日程表，如下图所示

• 有了最基本情况后就可以逐层返回，得到$4$个选手的比赛日程表，如下图所示

• 最后得到$8$个选手的比赛日程表，如下图所示

• 其中第$1$列表示$8$个选手，第$i(2\le i\le 8)$列表示第$i-1$天每个选手的对手

Python实现

def generate_schedule(k):
    # 选手数为 2 的 k 次方
    n = 2 ** k

    # 创建一个大小为 (n + 1) * (n + 1) 的二维列表, 用于存储日程表
    schedule = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 初始化第一行, 将 1 到 n 依次填入日程表中
    for i in range(1, n + 1):
        schedule[1][i] = i

    m = 1

    # 分治 k 次
    for s in range(1, k + 1):
        # 每次循环后, 日程表的大小减半
        n //= 2

        # 对每个子表进行循环
        for t in range(1, n + 1):
            for i in range(m + 1, 2 * m + 1):  # 子表的行范围
                for j in range(m + 1, 2 * m + 1):  # 子表的列范围
                    # 将左上部分的值复制到右下部分
                    schedule[i][j + (t - 1) * m * 2] = schedule[i - m][j + (t - 1) * m * 2 - m]
                    # 将右上部分的值复制到左下部分
                    schedule[i][j + (t - 1) * m * 2 - m] = schedule[i - m][j + (t - 1) * m * 2]

        # 每次循环后, 子表的大小翻倍
        m *= 2

    return schedule


k = 3

schedule = generate_schedule(k)

for item in schedule:
    print(item)

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[0, 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7]
[0, 3, 4, 1, 2, 7, 8, 5, 6]
[0, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5]
[0, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4]
[0, 6, 5, 8, 7, 2, 1, 4, 3]
[0, 7, 8, 5, 6, 3, 4, 1, 2]
[0, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

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无运动员数量约束循环赛日程表算法

• 如果队伍数为奇数，则添加一个虚拟队伍来凑成偶数
• 固定第一支队伍的位置，其他队伍按顺序循环移动

示例

• $5$个选手的比赛日程表

• 选手数为奇数，首先添加一个虚拟队伍$6$来凑成偶数，如下图所示

• 第$1$轮竞争队伍安排，其中与虚拟队伍$6$比赛即为轮空，如下图所示

• 固定队伍$1$的位置，其他队伍按顺序循环移动，得到第$2$轮竞争队伍安排，如下图所示

• 第$3$到$5$轮以此类推

Python实现

def generate_schedule(num_teams):
    # 如果队伍数为奇数, 添加一个虚拟队伍来凑成偶数
    if num_teams % 2:
        num_teams += 1

    num_rounds = num_teams - 1  # 总轮数
    half_teams = num_teams // 2  # 每轮比赛场数

    teams = list(range(1, num_teams + 1))

    schedule = []

    for round in range(num_rounds):
        matches = []

        for i in range(half_teams):
            match = (teams[i], teams[num_teams - i - 1])

            matches.append(match)

        schedule.append(matches)

        # 重新排列队伍, 固定第一支队伍, 其他队伍按顺序循环移动
        teams.insert(1, teams.pop())

    return schedule


num_teams = 8

schedule = generate_schedule(num_teams)

round_num = 1
for matches in schedule:
    print(f'Round {round_num}:')

    for match in matches:
        print(f'Team {match[0]} vs Team {match[1]}')

    print()

    round_num += 1

Round 1:
Team 1 vs Team 8
Team 2 vs Team 7
Team 3 vs Team 6
Team 4 vs Team 5

Round 2:
Team 1 vs Team 7
Team 8 vs Team 6
Team 2 vs Team 5
Team 3 vs Team 4

Round 3:
Team 1 vs Team 6
Team 7 vs Team 5
Team 8 vs Team 4
Team 2 vs Team 3

Round 4:
Team 1 vs Team 5
Team 6 vs Team 4
Team 7 vs Team 3
Team 8 vs Team 2

Round 5:
Team 1 vs Team 4
Team 5 vs Team 3
Team 6 vs Team 2
Team 7 vs Team 8

Round 6:
Team 1 vs Team 3
Team 4 vs Team 2
Team 5 vs Team 8
Team 6 vs Team 7

Round 7:
Team 1 vs Team 2
Team 3 vs Team 8
Team 4 vs Team 7
Team 5 vs Team 6

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