1. 深度学习笔记--神经网络中常见的激活函数

1. 介绍

每个激活函数的输入都是一个数字，然后对其进行某种固定的数学操作。激活函数给神经元引入了非线性因素，如果不用激活函数的话，无论神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合。激活函数的意义在于它能够引入非线性特性，使得神经网络可以拟合非常复杂的函数，从而提高了神经网络的表达能力和预测性能。

激活函数的发展经历了Sigmoid -> Tanh -> ReLU -> Leaky ReLU -> Maxout这样的过程，还有一个特殊的激活函数Softmax，因为它只会被用在网络中的最后一层，用来进行最后的分类和归一化。

具体来说，激活函数的作用有以下几个方面：

引入非线性特性：激活函数能够将神经元的输入信号转换为输出信号，从而引入非线性特性，使得神经网络可以拟合非常复杂的函数。
压缩输出范围：激活函数能够将神经元的输出范围压缩到一定的范围内，这有助于防止神经元输出的值过大或过小，从而提高了神经网络的稳定性和泛化性能。
增加网络深度：激活函数能够增加神经网络的深度，从而提高了神经网络的表达能力和预测性能。
改善梯度消失问题：激活函数能够改善神经网络中的梯度消失问题，从而提高了神经网络的训练效率和收敛速度。

2. 特性

sigmoid函数

import numpy as np

def sigmiod(x):
	return 1. / (1. + np.exp(-x))

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sigmoid函数是神经网络中最早也是最常用的激活函数之一，它的特点是将输入值映射到0到1之间的连续范围内，输出值具有良好的可解释性，但是它在梯度消失和输出饱和等问题上表现不佳。

Tanh

import numpy as np

def tanh(x):
    return np.tanh(x)

Tanh（双曲正切）函数是一种常用的激活函数，其数学定义为 $\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ （ $f (x) = (e x p (x) - e x p (- x)) / (e x p (x) + e x p (- x))$ ）。它的输出范围是 (-1, 1)，在输入接近正无穷时趋于1，在接近负无穷时趋于-1，在接近0时趋于0。在神经网络中，Tanh函数通常用于隐藏层的激活函数。

Tanh函数是一种具有S形状的激活函数，其特点是将输入值映射到-1到1之间的连续范围内，输出值也具有良好的可解释性。Tanh解决了Sigmoid的输出是不是零中心的问题，Tanh函数在某些情况下可以表现出色，但是它也存在梯度消失和输出饱和等问题，因此在深度神经网络中使用并不广泛。
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ReLU函数

import numpy as np

def ReLU(x):
	return np.maxinum(0, x)

ReLU函数是当前最常用的激活函数之一，它的特点是简单、快速，并且在许多情况下表现出色。ReLU函数将负数输入映射到0，将正数输入保留不变，因此在训练过程中可以避免梯度消失的问题。

但是ReLU函数在输入为负数时输出为0，这可能导致神经元死亡，ReLU单元比较脆弱并且可能“死掉”，而且是不可逆的，因此导致了数据多样化的丢失。通过合理设置学习率，会降低神经元“死掉”的概率。因此后续的改进版本LeakyReLU得到了广泛的应用。

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LeakyReLU函数

def LeakyReLU(x, alpha=0.1):
	return np.maxinum(alpha*x, x)

def LeakyReLU(x, alpha=0.01):
	return x if x > 0 else alpha * x

LeakyReLU函数是ReLU函数的改进版本，它在输入为负数时输出一个小的负数，从而避免了ReLU函数可能导致神经元死亡的问题。LeakyReLU函数的优点是简单、快速，并且在许多情况下表现出色，但是其超参数需要手动调整，因此在实际应用中需要进行一定的调试。

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Maxout

import numpy as np

def maxout(x, weights, biases):
	output1 = np.dot(x, weights[0] + biases[0])
	output2 = np.dot(x, weights[1]+ biases[1])
	return np.maximum(output1, output2)
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0]) 
weights = [np.array([0.5, 0.3, 0.2]), np.array([0.4, 0.5, 0.6])]
biases = [0.1, 0.2]
print(maxout(x, weights, biases))

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每个神经元的参数double，这就导致整体参数的数量激增。

Softmax函数

import numpy as np

def Softmax(x):
	exp_x = np.exp(x)
	return exp_x / np.sum(exp_x, axis=0, keepdims=True)

# 测试
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
print(Softmax(x))  # 输出 [0.09003057 0.24472847 0.66524096]

import torch

def Softmax(x):
    exp_x = torch.exp(x)
    return exp_x / torch.sum(exp_x, dim=0, keepdim=True)

# 测试
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
print(Softmax(x))  # 输出 [0.09003057 0.24472847 0.66524096]

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Softmax函数是一种常用于多分类问题的激活函数，它将输入值映射到0到1之间的概率分布，可以将神经网络的输出转换为各个类别的概率值。Softmax函数的优点是简单、易于理解，并且在多分类问题中表现出色，但是它也存在梯度消失和输出饱和等问题。

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GELU函数

def GELU(x):
    cdf = 0.5 * (1.0 + np.tanh(np.sqrt(2 / np.pi)) * (x + 0.044715 * np.power(x, 3)))
    return x * cdf

print(GELU(0))    # 输出 0.0
print(GELU(1))    # 输出 0.8413447460685429
print(GELU(-1))   # 输出 -0.15865525393145707