洛谷 P1021 邮票面值设计

原题链接：[NOIP1999 提高组] 邮票面值设计 - 洛谷

题目描述

解题思路：

代码实现：

题后总结：

题目描述

给定一个信封，最多只允许粘贴 N 张邮票，计算在给定 K（N+K≤15）种邮票的情况下（假定所有的邮票数量都足够），如何设计邮票的面值，能得到最大值 MAX，使在 1 至 MAX 之间的每一个邮资值都能得到。

例如，N=3，K=2，如果面值分别为 1 分、4 分，则在 1∼6 分之间的每一个邮资值都能得到（当然还有 8 分、9 分和 12 分）；如果面值分别为 1 分、3 分，则在 1∼7 分之间的每一个邮资值都能得到。可以验证当 N=3，K=2 时，7 分就是可以得到的连续的邮资最大值，MAX=7，面值分别为 1 分、3 分。

输入格式

2 个整数，代表 N，K。

输出格式

输出共 2 行。

第一行输出若干个数字，表示选择的面值，从小到大排序。

第二行，输出 MAX=S，表示最大的面值。

输入输出样例

输入 #1

3 2

输出 #1

1 3
MAX=7

解题思路：

此题主要利用了dp+dfs,根据题目来看需要k种邮票，那么需要哪几种邮票，这就需要枚举，dfs去每一步搜索，题目中要求最大连续长度，考虑dp去解决，要求最大连续长度，意思就是通过这k种面值，能够连续不间断组成1~？之间的每一个数，那么我定义一个f[M]表示通过k种面值得到分值为M的最少邮票张数，只要这个值小于题目中给定的邮票张数n，那么从小到达遍历，此位置前面的都是连续的，当找到第一个不满足<n的分数i时，那么它前面i-1都是连续的，即此方案的最大连续长度为i-1，如果找不到这样的条件，那么能组成的值都是小于n的，最大连续长度就是最大的邮票值*n。

那么我们重新顺一下解题思路，首先枚举这k种邮票面值组合，我们解决办法是最简单的dfs，我们枚举出这k种面值组合，对它进行求解最大连续长度，处理办法是dp，具体解释注释在代码上。

代码实现：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=20;
const int inf=0x3f3f3f;
int n,k,res;//res保存答案
int a[N],ans[N],f[50000];//f[i]拼面值为i所需要最小张数
//a[i]组成的分数中间过渡数组，ans[i]满足条件的答案分数数组
int dp(int t,int mx){
	f[0]=0;//初始化特例
	for(int i=1;i<=a[t]*n;i++)f[i]=inf;//初始化正无穷
	for(int i=1;i<=k;i++){//k种位数
		for(int j=a[i];j<=a[t]*n;j++){//最大连续长度至少以自己分数为起始，最大到填满n张最大的面值a[t]
			f[j]=min(f[j],f[j-a[i]]+1); //类似于背包更新
		}
	}
	for(int i=1;i<=a[t]*n;i++){
		if(f[i]>n){//若此时填的面值张数大于邮票可以贴的最大张数，就说明此时i不满足，前i-1是满足的
			return i-1;
		}
	}
	return a[t]*n;//若前面都成立那么最大连续分数就是最大值分数*张数
} 
void dfs(int dep,int x){//dep种分数组成x为连续最大长度 
	if(dep==k+1){//当分数种数为k种，满足条件
		if(x>res){//此时最大连续长度大于res满足更新条件
			res=x;//更新
			for(int i=1;i<=k;i++){
				ans[i]=a[i];
			}
		}
		return;
	}
	for(int i=a[dep-1]+1;i<=x+1;i++){//为了不避免重复，至少是上一位的分数值+1,最大到x+1，否则前面的也会不连续
		a[dep]=i;
		int t=dp(dep,x);//t更新最大连续长度
		dfs(dep+1,t);
	}
}
int main(){
	cin>>n>>k;
	dfs(1,0);//从1开始去找，第一个分必是1，初始最大长度为0
	for(int i=1;i<=k;i++)
      cout<<ans[i]<<" ";
    cout<<endl;
    cout<<"MAX="<<res<<endl;
	return 0;
}