【模板】最小生成树

题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

输入格式

第一行包含两个整数 $N,M$，表示该图共有 $N$ 个结点和 $M$ 条无向边。

接下来 $M$ 行每行包含三个整数 $X_i,Y_i,Z_i$，表示有一条长度为 $Z_i$ 的无向边连接结点 $X_i,Y_i$。

输出格式

如果该图连通，则输出一个整数表示最小生成树的各边的长度之和。如果该图不连通则输出 orz。

样例 #1

样例输入 #1

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

样例输出 #1

7

提示

数据规模：

对于 $20\%$ 的数据，$N\le 5$，$M\le 20$。

对于 $40\%$ 的数据，$N\le 50$，$M\le 2500$。

对于 $70\%$ 的数据，$N\le 500$，$M\le 10^4$。

对于 $100\%$ 的数据：$1\le N\le 5000$，$1\le M\le 2\times 10^5$，$1\le Z_i\le 10^4$。

样例解释：

所以最小生成树的总边权为 $2+2+3=7$。

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思路

首先，定义了一个边的结构体Edge，包含两个端点u和v以及权重w。并重载了小于运算符，使得边可以根据权重进行比较。

然后，定义了一个并查集，其中pre[N]数组用于存储每个节点的父节点。init函数用于初始化并查集，使每个节点的父节点都是它自己。root函数用于查找节点的根节点，merge函数用于合并两个节点所在的集合。

kruskal函数实现了Kruskal算法。首先对所有的边进行排序，然后初始化并查集。遍历所有的边，如果一条边的两个端点不在同一集合中，就合并这两个集合，并将这条边的权重加入到总权重中。如果在遍历结束后，加入到最小生成树中的边的数量小于n-1，则图不连通，返回-1。

在main函数中，首先读入节点数n和边数m，然后读入每条边的信息并存入edge数组。然后调用kruskal函数求解最小生成树的总权重，并输出结果。

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AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;

ll n, m;
ll pre[N];

struct Edge {
	ll u, v, w;
	bool operator<(const Edge &b) const { return w < b.w; }
};
vector<Edge> edge;

void init() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		pre[i] = i;
	}
}

ll root(ll a) {
	ll i = a;
	while (pre[i] != i) {
		i = pre[i];
	}
	return i = pre[i];
}

bool merge(ll a, ll b) {
	ll ra = root(a);
	ll rb = root(b);
	if (ra == rb) {
		return 0;
	}
	pre[ra] = rb;
	return 1;
}

ll kruskal() {
	sort(edge.begin(), edge.end());
	init();

	ll sum = 0;
	ll cnt = 0;
	for (const auto e : edge) {
		if (merge(e.u, e.v)) {
			sum += e.w;
			cnt++;
		}
	}

	if (cnt < n - 1) {
		return -1;
	}
	return sum;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		ll x, y, z;
		cin >> x >> y >> z;
		edge.push_back({x, y, z});
		edge.push_back({y, x, z});
	}

	ll ans = kruskal();
	if (~ans) {
		cout << ans << "\n";
	} else {
		cout << "orz" << "\n";
	}
}