二分查找（Binary Search）是一种在有序数组中查找目标值的高效算法。它的基本思想是将数组分成两半，然后确定目标值可能存在的那一半，重复这个过程直到找到目标值或者确定目标值不存在为止。

1. 朴素二分查找的基本步骤：

1. 初始化左右边界：将左边界 left 初始化为数组的起始位置，将右边界 right 初始化为数组的结束位置。
2. 循环直到左边界小于等于右边界：

• 计算中间位置 mid：mid = (left + right) / 2。
• 如果目标值等于中间位置的值，则返回中间位置。
• 如果目标值小于中间位置的值，则将右边界移到 mid - 1。
• 如果目标值大于中间位置的值，则将左边界移到 mid + 1。

3. 如果循环结束时仍未找到目标值，则返回不存在的标记（例如 -1）。
   二分查找的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 为数组的长度。这是因为在每一次迭代中，搜索范围都会减半，直到找到目标值或者搜索范围缩小到零为止。因此，二分查找在大型有序数组中查找目标值时非常高效。

eg1: 最朴素的二分查找

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size(); 
        // 初始化 left 与 right 指针
        int left = 0, right = n-1;
        // 由于两个指针相交时，当前元素还未判断，因此需要取等号
        while (left <= right) {
	        // 先找到区间的中间元素
            int mid = left + (right-left)/2; // 防止溢出
            // 分三种情况讨论
            if (nums[mid] < target) {
                left = mid+1;
            } else if (nums[mid] > target) {
                right = mid-1;
            } else {
                return mid;
            }
        }
        // 如果程序⾛到这⾥，说明没有找到⽬标值，返回 -1
        return -1;
    }
};

eg2: 在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size(), begin, end;
        if (n == 0) return{-1, -1};
        // 1. 查找区间左端点
        int left = 0, right = n-1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right-left)/2;
            if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        // 判断是否有结果
        if (nums[left] != target) return{-1, -1};
        else begin = left; // 标记一下左端点
        
        // 2. 查找区间右端点
        left = 0, right = n-1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right-left+1)/2;
            if (nums[mid] <= target) left = mid;
            else right = mid-1;
        }

        end = right;
        return{begin, end};
    }
};

2. 总结二分模板

查找区间左端点的模板：

while (left < right) {
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (/* 检查目标值是否满足条件 */) {
        left = mid + 1;
    } else {
        right = mid;
    }
}
查找区

查找区间的右端点的模板

while (left < right) {
    int mid = left + (right - left + 1) / 2;
    if (/* 检查目标值是否满足条件 */) {
        left = mid;
    } else {
        right = mid - 1;
    }
}

助记：让下面出现-1的时候，上面就+1。

eg3: 搜索插⼊位置

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        int left = 0, right = n-1;
        // 找到区间左端点
        while (left < right) {
            int mid = left + (right-left)/2;
            if (nums[mid] < target) left = mid+1;
            else right = mid;
        }
        if (nums[left] < target) return right+1;
        else return right;
    }
};

eg4: x 的平⽅根

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x < 1) return 0; // 处理边界情况
        int left = 0, right = x;
        while (left < right) {
            long long mid = left + (right-left+1)/2; // 用long long mid*mid防止溢出
            if (mid*mid <= x) left = mid;
            else right = mid-1;
        }
        return left;
    }
};