【C++算法】线性DP详解：数字三角形、最长上升子序列、最长公共子序列、最长公共子串、字符串编辑距离

文章目录

    • 1）数字三角形
      • 1：顺推
      • 2：逆推
    • 2）最长上升子序列
      • 1：线性DP做法
      • 2：二分优化
    • 3）最长公共子序列
    • 4）最长公共子串
    • 5）字符串编辑距离

1）数字三角形

1：顺推

  • 顺推比较需要注意的问题就是边界问题，因为从上往下推每个元素会用到上方元素和左上方元素
    • 对于某一行的最后一个元素，那么上方的元素是没有被初始化的
    • 对于某一行的第一个元素，那么左上方的元素是没有被初始化的
    • 为了保证这两种情况一定不选择未被初始化的元素，所以首先把 f f f 数组初始化为 − I N F -INF −INF
  • 随后把 f [ 1 , 1 ] f[1,1] f[1,1] 初始化为 a [ 1 , 1 ] a[1,1] a[1,1]，因为从第二行开始计算，这样计算出来的值就是正常值，最后从最后一行的出口中枚举找一个最大值
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 

const int N=5e2+5;
const int INF=1e9;
int f[N][N];
int a[N][N];
int n;

int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=i;j++) {
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}	
	}
	// 如果顺推,每个元素应该考虑上方和左上方元素
	// 如果当前计算元素的[i,j]刚好i==j即最后一个时,则上方无元素,会遇到边界问题
	// 为了一定不选择这个边界,可以把其初始化为-INF(因为三角形中数字可能有负值)
	// 别忘了左上角,所以ij均从0开始
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		for(int j=0;j<=i+1;j++) {
			f[i][j]=-INF;
		}
	}
	f[1][1]=a[1][1]; // 从a[1][1]开始算,边界依然为-INF
	// 从第二行开始
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=i;j++) {
			f[i][j]=max(f[i-1][j]+a[i][j],f[i-1][j-1]+a[i][j]);
		}	
	}
	int ans=INT_MIN;
	// 对出口求最大值,即为最大路径数字和
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans=max(ans,f[n][i]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

2：逆推

  • 从上往下有五个出口，最终要用 O ( n ) O(n) O(n) 的时间来判断谁的值更大，如果从下往上那么出口只有一个，无需比较；并且从下往上逆推不会遇到边界问题，用到的每个元素都刚好有初始值，可以手动模拟一下为什么没有边界问题
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 经典数字三角形

const int N=5e2+5;
const int INF=1e9;
int n;
int a[N][N];

int main() {
	// 逆推,从下往上那么出口只有一个,注意元素只从下方和右下方来
	// 从下往上没有边界问题
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=i;j++) {
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}	
	}
	// 从倒数第二行开始
	for(int i=n-1;i>=1;i--) {
		// 每一行的元素的个数应该就是i
		for(int j=1;j<=i;j++) {
			a[i][j]+=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]);
		}
	}
	cout<<a[1][1]<<endl;
	return 0;
}
  • 若需要输出路径，可以用 b b b 数组 m e m c p y memcpy memcpy 原二维数组，因为加和是直接在原数组上进行操作的，另外用 p p p 表示前驱数组用来记录路径，在记录时只需要记录在列方向的偏移量即可，比如往右下则 p [ i , j ] = 1 p[i,j]=1 p[i,j]=1，往下 p [ i , j ] = 0 p[i,j]=0 p[i,j]=0
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 经典数字三角形

const int N=5e2+5;
const int INF=1e9;
int n;
int a[N][N];

int p[N][N]; // 记录最大值路径
int b[N][N]; // 备份数组,路径跟踪

int main() {
	// 逆推,从下往上那么出口只有一个,注意元素只从下方和右下方来
	// 从下往上没有边界问题
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=i;j++) {
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}	
	}
	// 拷贝
	memcpy(b,a,sizeof a); // 从a拷到b
	
	// 从倒数第二行开始
	for(int i=n-1;i>=1;i--) {
		// 每一行的元素的个数应该就是i
		for(int j=1;j<=i;j++) {
//			a[i][j]+=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]);
			if(a[i+1][j]>=a[i+1][j+1]) {
				a[i][j]+=a[i+1][j];
				p[i][j]=0; // 来自下方,y轴增量为0
			} else {
				a[i][j]+=a[i+1][j+1];
				p[i][j]=1; // 来自右下,y轴增量为1
			}
		}
	}
	cout<<a[1][1]<<endl;
	int i,j;
	// 输出最大数的路径(行数一直增大,列数根据存储的增量变化)
	for(i=1,j=1;i<=n-1;i++) {
		cout<<b[i][j]<<"->";
		j+=p[i][j];
	}
	cout<<b[n][j];
	return 0;
}

2）最长上升子序列

1：线性DP做法

时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

  • 如果不理解状态转移方程，可以 E03 线性DP 最长上升子序列 bilibili 4 : 00 4:00 4:00 起看该问题的模拟过程
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 

const int N=1e5+5;
int a[N];
int f[N]; // 以第i个元素结尾的LIS(最长上升子序列)长度
int n;

int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&a[i]);	
	}
	int res=INT_MIN;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		f[i]=1; // 所有元素起码可以以自身结尾
		// 遍历i之前的元素,如果比i小则可以拼接
		for(int j=1;j<=i;j++) {
			// 不理解可以看视频中的模拟过程
			if(a[j]<a[i]) {
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
			}
		}
		res=max(res,f[i]);
	}
	cout<<res<<endl;
	return 0;
}

2：二分优化

时间复杂度： O ( n l o g n ) O(nlog^n) O(nlogn)，因为二分查找是 O ( l o g n ) O(log^n) O(logn)

  • 模拟过程在 E04 线性DP 最长上升子序列 二分优化 bilibili 6 : 15 6:15 6:15 起
  • 唯一比较疑惑的地方在于，为什么是找到第一个大于等于 a [ i ] a[i] a[i] 的元素做替换而不是大于呢？翻了一下评论区搞明白了，比如 { 1   2   6   7   2   3 } \{1\ 2\ 6\ 7\ 2\ 3\} {1 2 6 7 2 3} 的话，如果大于 x x x，那么序列中可能出现重复元素，最长上升子序列为 1   2   2   3 1\ 2\ 2\ 3 1 2 2 3，这样就不是严格单调递增的了
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 

const int N=1e5+5;
int a[N];
int b[N]; // 有序子序列
int len;
int n;

int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&a[i]);	
	}
	// 遍历a中每一个元素,构造有序子序列
	len=1;
	b[1]=a[1];
	// 1)如果a中元素大于b中最后一个元素,则添加到末尾
	// 2)如果a中元素小于等于b中最后一个元素,则在b数组中找到第一个大于等于a的元素进行替换
	// 比如a[i]替换掉b[j]后,b[j]变小,则b[1...j]的结尾元素更小,则更可能续其他元素,使ILS更大
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(a[i]>b[len]) {
			b[++len]=a[i];
		} else {
			// 用二分找到第一个大于等于a[i]的元素(答案在左边,压缩右边界)
			int l=1,r=len;
			while(l<=r) {
				int mid=l+r>>1;
				if(b[mid]>=a[i]) {
					r=mid-1;
				} else {
					l=mid+1;
				}
			}
			// l是答案
			b[l]=a[i];
		}
	}
	// 最终len的长度就是答案
	cout<<len<<endl;
	return 0;
}

3）最长公共子序列

  • 为什么没有 a [ i ] ≠ b [ j ] a[i]≠b[j] a[i]=b[j]，且 a [ i ] ,   b [ j ] a[i],\ b[j] a[i], b[j] 都不在公共子序列的情况？其实可以把这种情况归为第 2 ,   3 2,\ 3 2, 3 种情况之一

在这里插入图片描述

  • 一边 d p dp dp 一边打标记记录状态转移，其中从左上方转移过来的元素即为 L C S LCS LCS 中的公共元素

在这里插入图片描述

  • 只要理解了状态转移方程，代码就很简单
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 

const int N=1e3+5; // 字符串最大长度
int f[N][N]; // f[i][j]:序列a[1...i]和b[1...j]的最长公共子序列的长度(LCS)
char a[N],b[N];
int n,m;

int main() {
	cin>>a+1>>b+1; // 从下标1开始存储
	n=strlen(a+1); // 起始位置是a+1
	m=strlen(b+1);
	// 初始化 f[0][j]=0,f[i][0]=0,即i和j中有未指向任意元素的指针存在时
    // 但是全局变量本身初始化为0,所以无需初始化
    // 枚举字符串a
	for(int i=1;i<=n;i++) {
        // 枚举字符串b
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			if(a[i]==b[j]) {
				f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
			} else {
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];
	return 0;
}
  • 如果要带路径输出呢？同理，开一个数组 p p p 用来记录取得 L C S LCS LCS 的路径，注意，只有来自左上方的元素是 L C S LCS LCS 中的元素
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 

const int N=1e3+5; // 字符串最大长度
int f[N][N]; // f[i][j]:序列a[1...i]和b[1...j]的最长公共子序列的长度(LCS)
char a[N],b[N];
int p[N][N]; // 前驱数组
int n,m;

int main() {
	cin>>a+1>>b+1; // 从下标1开始存储
	n=strlen(a+1); // 起始位置是a+1
	m=strlen(b+1);
	// 初始化 f[0][j]=0,f[i][0]=0,即i和j中有未指向任意元素的指针存在时
	
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			if(a[i]==b[j]) {
				f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
				p[i][j]=1; // 来自↖
			} else if(f[i-1][j]>f[i][j-1]) {
				f[i][j]=f[i-1][j];
				p[i][j]=2; // 来自←
			} else {
				f[i][j]=f[i][j-1];
				p[i][j]=3; // 来自↑
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m]<<endl; // 最长长度
	int i=n,j=m,k=f[n][m];
	vector<char> path;
	// i或j中任意一个元素=0时退出
	while(i>0 && j>0) {
		// 左上方
		if(p[i][j]==1) {
			path.push_back(a[i]); // LCS中
			i--,j--;
		} 
		// 上方
		else if(p[i][j]==2) {
			i--;
		}
		// 左方
		else {
			j--;
		}
	}
	reverse(path.begin(),path.end());
	for(auto x:path) {
		cout<<x<<' ';
	}
	cout<<endl;
	return 0;
}

4）最长公共子串

  • 这一题和上一题有什么区别呢？序列可以是不连续的，但是串一定是连续的，区别就在此
  • 最长公共子序列中 f [ i , j ] f[i,j] f[i,j] 表示序列 a [ 1... i ] a[1...i] a[1...i] 和 b [ 1... j ] b[1...j] b[1...j] 的最长公共子序列的长度
  • 最长公共子串中 f [ i , j ] f[i,j] f[i,j] 表示以 a [ i ] a[i] a[i] 和 b [ j ] b[j] b[j] 为结尾的公共子串的长度

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

  • 则可以得到状态转移方程
    • 若 a [ i ] = = b [ j ] a[i]==b[j] a[i]==b[j]，构成公共子串， f [ i , j ] = f [ i − 1 , j − 1 ] + 1 f[i,j]=f[i-1,j-1]+1 f[i,j]=f[i−1,j−1]+1
    • 若 a [ i ] ! = b [ j ] a[i]!=b[j] a[i]!=b[j]，不能构成公共子串， f [ i , j ] = 0 f[i,j]=0 f[i,j]=0（为什么不记录为最大值呢？因为串必须是连续的）
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 

const int N=1e3+5;
int n,m;
char a[N],b[N];
int f[N][N]; // 以a[i]和b[j]结尾的最长公共子串的长度

int main() {
	cin>>a+1>>b+1;
	n=strlen(a+1);
	m=strlen(b+1);
	// 无需初始化,全局变量
	int ans=INT_MIN;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			// 必须要连续才相加
			if(a[i]==b[j]) {
				f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
			} else {
				f[i][j]=0;
			}
			ans=max(ans,f[i][j]);
		} 
	}
	// 以最后一个元素结尾的不一定是最长公共子串的长度
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

5）字符串编辑距离

  • f [ i , j ] f[i,j] f[i,j] 表示从 a [ 1... i ] a[1...i] a[1...i] 变成 b [ 1... j ] b[1...j] b[1...j] 的编辑距离
  • 若 a [ i ] = b [ j ] a[i]=b[j] a[i]=b[j]， f [ i , j ] = f [ i − 1 , j − 1 ] f[i,j]=f[i-1,j-1] f[i,j]=f[i−1,j−1] ：因为新位置 i i i 和 j j j 的元素是相等的，无需编辑转移
  • 若 a [ i ] ! = b [ j ] a[i]!=b[j] a[i]!=b[j]
    • 修改，即 a a a 中前 i − 1 i-1 i−1 项 和 b b b 中前 j − 1 j-1 j−1 项已然相等，只需要把最后一项修改为 b [ j ] b[j] b[j] 即可，所以有 f [ i , j ] = f [ i − 1 , j − 1 ] + 1 f[i,j]=f[i-1,j-1]+1 f[i,j]=f[i−1,j−1]+1
    • 插入，即 a a a 中前 i i i 项和 b b b 中前 j − 1 j-1 j−1 项相等，只需要再插入一项 b [ j ] b[j] b[j] 即可，所以有 f [ i , j ] = f [ i , j − 1 ] + 1 f[i,j]=f[i,j-1]+1 f[i,j]=f[i,j−1]+1
    • 删除，即 a a a 中前 i − 1 i-1 i−1 项和 b b b 中前 j j j 项相等，但是多了一项，所以有 f [ i , j ] = f [ i − 1 , j ] + 1 f[i,j]=f[i-1,j]+1 f[i,j]=f[i−1,j]+1
    • 由于属性是取最小值，所以三者中取 m i n min min 即可

在这里插入图片描述

  • 二维数组的常规做法如下，关于滚动数组优化这里不做解释，因为自己都搞得不是很清楚
#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

// 解题思路: 

const int N=1e3+5;
int n,m;
char a[N],b[N];
int f[N][N];

int main() {
	cin>>a+1>>b+1;
	n=strlen(a+1);
	m=strlen(b+1);
	// 从a[1...i]变成空串,需要是删除i次
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		f[i][0]=i;
	}
	// 从空串变成b[1...j],需要添加j次
	for(int j=1;j<=m;j++) {
		f[0][j]=j;
	}
	// 状态转移
	// 如果记录一下状态转移就可以输出变化过程
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			// 末尾相等,无需添加
			if(a[i]==b[i]) {
				f[i][j]=f[i-1][j-1];
			} else {
				f[i][j]=min(f[i-1][j],min(f[i][j-1],f[i-1][j-1]))+1; // 三种操作的最小值
			}
		}	
	}
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}

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“人工智能+数字人”，让数字技术赋能多领域智能化管理、数字化服务

“人工智能+数字人”，让数字技术赋能多领域智能化管理、数字化服务

AI数字人结合了语音合成、语音识别、语义理解、图像处理、虚拟形象驱动等多项AI核心技术&#xff0c;可以实现导览服务、信息播报、互动交流、业务咨询等智能化功能。 如今&#xff0c;AI数字人逐渐被政务、文旅、展馆展厅、博物馆、数字会议、金融、校园等等领域多元化应用&am…
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springboot如何切换内置web服务器？

springboot如何切换内置web服务器？

切换内置web服务器 这是没有引入web依赖的服务 这是引入web依赖的服务 由此可知默认是tomcat服务器 那么如何切换内置服务器 只要有对应服务器的坐标即可自动切换&#xff0c;先排除tomcat再引入依赖&#xff0c;比如切换成jetty服务器 <dependency><groupId>org…
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SQL Serve---查询

SQL Serve---查询

概要 1、order by子句 —默认asc&#xff08;升序&#xff09;、desc&#xff08;降序&#xff09; 2、distinct关键字 3、group by子句 4、聚合函数 —max()、min()、sum()、avg()、count() 5、having子句 6、compute子句 英文关键字 order by 排序 asc…
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【SpringBoot整合系列】SpringBoot整合FastDFS(二)

【SpringBoot整合系列】SpringBoot整合FastDFS(二)

目录 SpringBoot整合FastDFSJava客户端/依赖常用api接口解释1.uploadFile参数返回值 2.uploadSlaveFile参数返回值 3.getMetadata参数返回值 4.overwriteMetadata参数&#xff1a;返回值&#xff1a;无 5.mergeMetadata参数&#xff1a;返回值&#xff1a;无 6.queryFileInfo参…
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linux重定向符号

linux重定向符号

将ls命令执行结果重定向到a文件中 将错误ls命令执行结果重定向到a文件中&#xff08;这里用到前面的标准错误输出重定向&#xff09;
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python linux服务器ssh简单爆破（测试用户名密码）（连接ssh服务器）（测试登录ssh服务器）

python linux服务器ssh简单爆破（测试用户名密码）（连接ssh服务器）（测试登录ssh服务器）

文章目录 背景示例代码代码解释导入模块SSH服务器的地址和端口用户名和密码列表生成所有可能的用户名和密码组合尝试连接到SSH服务器并验证用户名和密码遍历并测试每一对凭证 背景 我们华为摄像头linux终端的密码忘了&#xff0c;还不太好初始化&#xff0c;手动一个个测试太麻…
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