Mesh Operations: Geometry Processing

Mesh Subdivision (曲面细分)

增加了曲面的分辨率：

Mesh Simplification(曲面简化)

降低曲面分辨率，尽力保持曲面原有的几何形状。

Mesh Regularization(曲面正则化)

原始曲面上的三角形可能大小差异较大，这时我们可以通过曲面正则化来改善曲面的质量。

Subdivision(细分)

曲面细分并不仅仅是增加三角形的数量，在增加三角形的数量后，三角形的位置也会发生一些移动，使得曲面的结果更加光滑。

Loop Subdivision(Loop细分)

1. 首先，将每个三角形分割成四个子三角形

   

2. 根据权重，调整每个顶点的位置

将新的顶点和旧的顶点区分开，采用不同的规则来改变它们的位置。

如何来调整顶点位置呢？

对于新的顶点：

简单来说，找到周围四个点的位置进行加权平均。

对于旧的顶点：

简单来说，旧的顶点在更新时不仅仅取决于周围的顶点，同时还取决于自己原来的位置。

Loop Subdivision Result (Loop细分的结果)

Catmull-Clark Subdivision(General Mesh)

Loop细分只能用于三角网格，而对于一般的网格就不适用了。

就像下图中的，有三角形、四边形等，Catmull-Clark细分就可以很好的应用。

1. 每条边都取中点
2. 每个面也取一个中间的点
3. 连接所有点

经过一次细分之后：

现在有多少奇异点？

每个三角形内部的点，经过一次细分后都是奇异点，原来是奇异点的点仍然是奇异点，和原来非四边形面的数量有关系。

它们的度都是多少？

每条边的中点的度为4，非四边形面中心的点的度为3，其余点度数保持不变。

还有多少非四边形面呢？

非四边形面全部消失了，每个非四边形面都会引入一个奇异点，然后变为一个四边形面。

Catmull-Clark细分方法中顶点更新方法：

Mesh Simplification(曲面简化)

目的：减少网格中三角形或四边形的数量，但保持原来的形状，从而提高程序的性能。

在不同的场景下选用不同的三角形数量：

Collapsing An Edge(边坍缩)

如何来度量通过简化造成的几何误差呢？

二次度量误差：找到一个新的位置，把点放在这里使得二次误差最小。

二次误差：一个点到与它相关联的面的距离的平方和。

算法的主要思想：

1. 枚举每一条边，计算出坍缩这条边的二次误差度量。
2. 贪心地选出一条最小的边。

这个问题是一个动态的问题，坍缩一条边会导致其它某些边的二次度量误差发生变化，我们需要更新其它边的二次度量误差。

二次度量误差曲面简化结果：

Shadow Mapping

Shadow Mapping是一种图像空间的算法：

在计算阴影时，不需要知道场景中的几何信息。
会产生走样现象。

关键思想：
一个不在阴影里的点，说明可以从摄像机看到这个点，光源也可以看到这个点。

经典的Shadow Mapping只能处理点光源，这种阴影通常有很明显的边界，一个点要么在阴影里，要么不在阴影里，这种阴影我们称它为硬阴影。

1. Render from Light，从光源看向场景，记录看到的每个点的深度，得到一副深度图.
   

2. Render from eye，从摄像机看向场景，将看到的点投影回光源成像的深度图中，比较一下二者的深度值，如果深度值相同说明这个点是可见的；否则，说明该点是不可见的。

一个复杂场景的阴影实例：

Visualizing Shadow Mapping(可视化Shadow Mapping)

将深度图的点投影回原来的位置，连一条线，这样我们就会发现一个现象，什么样的点是可以被看到的呢？

光源到该点的距离等于这个点的深度值。

Problems With Shadow Mapping(Shadow Mapping中存在的问题)

• 硬阴影(只能处理点光源)
• 质量取决于Shadow Map的分辨率
• 涉及浮点深度值的比较运算，意味着会产生误差。

硬阴影和软阴影的比较

参考资料

GAMES101 Lecture12