参数曲线基本理论

曲线的定义

假设有一个运动的质点，从0到T时刻，质点从A点运动到B点，质点运动的轨迹形成了一条曲线，我们可以将这条路径曲线看成是时间$t\in [0,T]$到空间位置$R$的映射。
映射的概念在参数化曲线曲面中十分重要，通过对这种映射概念的一般化，我们可以定义曲线：一条曲线是一个连续映射函数$f$，它把一段一维的区间$[a,b]$映射到3维空间中，$f$的自变量$t$称为$f$的参数，$f$在3维空间中的像就是这条曲线$\mathbf{r}(t)$, 可以记为$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$

曲线的切向

曲线上的每一点都有一个切向量，切向量的数学定义如下
${\mathbf{r}}^{\prime }(t_0)={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t_0+\Delta t)-\mathbf{r}(t_0)}{\Delta t}.$

根据矢量微积分
${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$

类比于质点的运动轨迹，切向量的物理意义是速度。

• 注意，切向量是沿切线的向量，而不是曲线上的斜率

如果$\mathbf{r}(t)$连续可微，且处处${\mathbf{r}}^{\prime }(t)\ne 0$则曲线为正则曲线
${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=0$的点称为奇点，可以想象一下，在奇点处速度为0

曲线的长度

曲线的长度即为弧长，计算弧长需要借助一些微积分的知识
$d\mathbf{r}=\mathbf{r}(t+dt)-\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt$
$ds=|d\mathbf{r}|$
$s={\int }_S|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|\text{d}t$
${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$
任意参数区间的弧长为
$s_{ab}={\int }_a^b|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|\text{d}t$

弧长参数化

上面可知，弧长和曲线上的点也是一、一映射的关系，因此可以用弧长作为参数，记为
$\mathbf{r}(s)=(x(s),y(s),z(s))$

弧长和参数t之间也满足一种映射关系
$s={\int }_S|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|\text{d}t$，其满足$ds/dt=|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|$
弧长参数化也叫自参数

曲线的弯曲和扭转

可以很直观的看到，不同曲线的弯曲程度是不一样的，同一曲线，在不同的位置弯曲程度也是不一样的，大地看起来是平的，一个圆看起来很弯曲，稍后我们将以曲率来度量曲线的弯曲程度

对于复杂的空间曲线，光用曲率显然无法描述曲线的弯曲特性，曲线除了弯曲，还有扭转，稍后我们将以挠率来度量曲线的弯曲程度

密切平面

通过一点以及该点切向量的平面有无数多个，其中有一个最贴近曲线的平面，我们称之为密切平面。密切平面的定义，需要用到一些极限的知识，取曲线上P点附近的一个点Q，过直线PQ和P点切向量可以定义一个平面，当Q点趋近于P点时，定义的平面即为密切平面，通过推导可知，密切平面过向量${\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)$，因此可以表达为
$\left(\mathbf{R}-\mathbf{r}(t_0),{\mathbf{r}}^{\prime }(t_0),{\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t_0)\right)=0$

Frenet活动标架

弧长参数化和一般参数化之间可以相互转化，弧长参数化有一些优良的性质
弧长参数化下的切向量${\mathbf{r}}^{\prime }(s)=\frac{d\mathbf{r}}{ds}$
$\left|\begin{array}{c}{\mathbf{r}}^{\prime }(s)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}\end{array}\right|=1$,即线速度为1
$\dot{\mathbf{r}}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s},\ddot{\mathbf{r}}=\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{s}^2}$
构造单位基矢$\mathbf{\alpha }$
$\mathbf{\alpha }=\dot{\mathbf{r}}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}$ 由于$\mathbf{\alpha }$的模长为1，可以得到
$\dot{\mathbf{\alpha }}\perp \mathbf{\alpha }$ $\ddot{r}\perp \dot{r}$
构造单位基矢$\mathbf{\beta }$
$\mathbf{\beta }=\frac{\dot{a}}{|\dot{\alpha }|}=\frac{\ddot{r}}{|\ddot{r}|}$
构造单位基矢$\mathbf{\gamma }$
$\mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$
上面构造的三个正交的单位向量，形成frenet标架，可以看到三个基矢的形式非常简单，而且具有很直观的物理意义，他们与密切平面，从切平面，法平面的关系如下图所示：

上面公式的形式是弧长参数化的形式，可以转化为任意参数化$\mathbf{r}(t)$的形式
${\mathbf{r}}^{\prime }(t)$归一化可以得到 $\mathbf{\alpha }$
${\mathbf{r}}^{\prime }(t)$和${\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)$都在密切平面，因而可以先得到$\mathbf{\gamma }$
关于${\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)$在密切平面上可以稍作推导：
$\begin{array}{c}{\mathbf{r}}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\dot{\mathbf{r}}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t},\\ {\mathbf{r}}^{\prime \prime }=(\dot{\mathbf{r}}{)}^{\prime }\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}+\dot{\mathbf{r}}\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\mathrm{d}\dot{\mathbf{r}}}{\mathrm{d}s}(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}{)}^2+\dot{\mathbf{r}}\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}=\ddot{\mathbf{r}}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2+\dot{\mathbf{r}}\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2},\end{array}$
通过$\mathbf{\alpha }$和$\mathbf{\gamma }$可以得到$\mathbf{\beta }$
$\mathbf{\alpha }=\frac{r^{\prime }}{|r^{\prime }|}$
$\mathbf{\gamma }=\frac{r^{\prime }\times r^{\prime \prime }}{|r^{\prime }\times r^{\prime \prime }|}$
$\mathbf{\beta }=\mathbf{\gamma }\times \mathbf{\alpha }=\frac{(r^{\prime }\cdot r^{\prime })r^{\prime \prime }-(r^{\prime }\cdot r^{\prime \prime })r^{\prime }}{\mid r^{\prime }\mid \mid r^{\prime }\times r^{\prime \prime }\mid }$

曲率和挠率

曲率表示曲线的弯曲程度，其物理意义是切向量对弧长的转动率，即切矢量夹角和弧长增量比值的极限：

$k(s)={\lim }_{\Delta s\to 0}\left|\frac{\Delta \phi }{\Delta s}\right|$，为了理解曲率的计算，我们充分利用自然参数下切向量为单位向量的特性：
如下图所示，切向量$\mathbf{\alpha }$是单位向量，故其对于ds的增量为$d\mathbf{\alpha }$，其模长等于$d\theta \times 1$，方向和$\mathbf{\alpha }$垂直

$\frac{d\mathbf{\alpha }}{ds}=\frac{d\theta \vec{n}}{ds}$

固可以得到：
$k(s)=\frac{d\theta }{ds}=|\dot{\mathbf{\alpha }}|=|\ddot{\mathbf{r}}|$
同理可以定义挠率为弧长微量变化时，副法向量的夹角和弧长变化的比值：

类同曲率推到可得：
$\mid \dot{\mathbf{\gamma }}\mid ={\lim }_{\Delta s\to 0}\left|\frac{\Delta \psi }{\Delta s}\right|,$
记挠率为：
$\tau (s)=\{\begin{array}{l}+\left|\dot{\mathbf{\gamma }}\right|,\text{当}\dot{\mathbf{\gamma }}\text{和}\beta 异向,\\ -\left|\dot{\mathbf{\gamma }}\right|,\text{当}\dot{\mathbf{\gamma }}\text{和}\beta \text{同向}.\end{array}$

经过微分法则的一些推导，我们可以采用一般参数化来表示曲率，挠率：
$\kappa =\frac{|{\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }|}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}$
$\tau =\frac{({\mathbf{r}}^{\prime },{\mathbf{r}}^{\prime \prime },{\mathbf{r}}^{\prime \prime })}{({\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }{)}^2}$

曲线论基本：Frenet公式

我们比较关注的是$\mathbf{\alpha }$,$\mathbf{\gamma }$和$\mathbf{\beta }$对弧长的变化率：
$\{\begin{array}{l}\dot{\mathbf{\alpha }}=k(s)\mathbf{\beta },\\ \dot{\mathbf{\beta }}=-k(s)\mathbf{\alpha }+\tau (s)\mathbf{\gamma },\\ \dot{\mathbf{\gamma }}=-\tau (s)\mathbf{\beta },\end{array}$
上式的证明也很简单：
$\mathbf{\beta }=\frac{\dot{\mathbf{a}}}{|\dot{\mathbf{\alpha }}|}=\frac{\ddot{\mathbf{r}}}{|\ddot{\mathbf{r}}|}$ 得到 $\dot{\mathbf{\alpha }}=k(s)\mathbf{\beta }$
$\dot{\mathbf{\gamma }}=\dot{(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })}=\dot{\mathbf{\alpha }}\times \mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }\times \dot{\mathbf{\beta }}=k\left(s\right)\mathbf{\beta }\times \mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }\times \dot{\mathbf{\beta }}=\mathbf{\alpha }\times \dot{\mathbf{\beta }}$，所以可知$\dot{\mathbf{\gamma }}$垂直于$\mathbf{\alpha }$
由$\mathbf{\gamma }$是单位向量，可得$\mathbf{\gamma }$垂直于$\dot{\mathbf{\gamma }}$，所以$\dot{\mathbf{\gamma }}$平行于$\mathbf{\beta }$
$\{\begin{array}{l}\dot{\alpha }=k(s)\beta ,\\ \dot{\beta }=-k(s)\alpha +\tau (s)\gamma ,\\ \dot{\gamma }=-\tau (s)\beta ,\end{array}$
这组公式是空间曲线论的基本公式.它的特点是基本向量$\alpha ,\beta ,\gamma$关于弧长 s 的微商可以用$\alpha ,\beta ,\gamma$的线性组合来表示，它的系数组成反称的方阵
$\left[\begin{array}{ccc}0& k(s)& 0\\ -k(s)& 0& \tau (s)\\ 0& -\tau (s)& 0\end{array}\right]$