2015年认证杯SPSSPRO杯数学建模

A题 绳结

原题再现：

  给绳索打结是人们在日常生活中常用的技能。对登山、航海、垂钓、野外生存等专门用途，结绳更是必不可少的技能之一。针对不同用途，有多种绳结的编制方法。最简单的绳结，有时称为单结，死结或反手结，英文称为Overhand Knot，是最常用的绳结之一，在各种复杂绳结中也是经常出现的基本元素。


  这种结有一个特点，如果用于捆扎物体，由于无法彻底拉紧，所以很容易松脱，无法单独使用。但如果能够彻底拉紧，对较软和细的绳子而言，相当难以解开。所以用于捆扎物体时，可以连打两次单结，并将第二个结彻底拉紧，

  这就构成一个难以自动松开的结。最常见的系鞋带方法，在本质上就是连打两次单结。为了便于解开，所以在打第二次结的时候需要把鞋带折成双股。
  第一阶段问题：
  1. 在连打两次单结的时候，两次使用相同的打法还是互为镜像，得到的结果是不同的。结的结构不同，是否容易自动松脱的性质可能也有区别。这可以来判断系紧的鞋带是否容易自动松开。请你建立合理的数学模型，分析这两种打法中，哪种更容易自动松脱。
  2. 一般的经验表明，绳索的直径、软硬和表面的摩擦力等机械性能都会影响打的绳结是否容易自动松脱。请你建立合理的数学模型，向大家解释在不同的打结方法下，绳索的机械性能与绳结是否容易自动松脱之间的关系。

整体求解过程概述(摘要)

  给绳索打结是人们日常生活中常用的技能。而单结作为最简单的绳结，在各种复杂绳结中是经常出现的基本元素。本文基于单结的两种打法，并且两种打法在三维空间中互为镜像，以此更加深入的进行探究：
  针对问题一，首先，利用压力传感器，使得其示数为 6 个固定值，在某一值下，用放置在两个地方的测力计分别测量在 1-1、2-2、1-2、2-1 的打结方式下测力计的值；其次，运用所得数据，将数据进行拟合操作；最后，利用拟合得到的图像进行分析。可得 1-1、2-2 比 1-2、2-1 更容易松脱。
  针对问题二，我们做了两种分析，分别是单一机械性能因素对松脱程度的影响以及哪一个因素对松脱程度影响最大。针对第一种分析法 ①探究某一因素的影响，先使得其他因素相同，后将感应器放置在第一、二结点处，使得值达到某一稳定值后，将两值作差，作为 y 值；②改变这一因素的值，按上述方法得出一组数据，将这一因素值作为 x 轴；③利用 Matlab 软件进行拟合，得到 4 幅不同因素影响下得图像，共 8 条曲线；④观察曲线的走势以及比较方法一、二的区别，得出每一因素对松脱程度的影响。结论是：直径越大越容易松脱；摩擦力越小越容易松脱；硬度越大越容易松脱；两结点间隙面积越大，越容易松脱；方法一比方法二更容易松脱。针对第二种分析法，首先，利用第一种分析法所测得的数据，利用 SPSS 软件，用简单相关关系中的 Person 相关，分别探究某一因素与方法一、二的相关度，分别得到 8 个 r 值；其次，比较相关度 r 值落于某一标准内，可得出相关度的高低，同时，比较 r 值的大小，可得到影响大小的排序；最后，得出不同打结方法下，绳索的机械性能与绳结是否容易脱落之间的关系。结论：直径、摩擦力、软硬、间隙面积均对松脱程度有影响；在方法一下，相关度大小为：软硬>两间隙面积>直径>摩擦力。在方法二下，相关度大小为：直径>软硬>两间隙面积>摩擦力
  最后，综上运用拟合、相关分析、Matlab 软件、Spss 软件等，解决绳结松脱程度的影响因素以及某种打结方式更容易松脱的关系问题。同时，我们用实践和理论数值两种方法进行验证，得出方法一较方法二更容易松脱。我们可以更好的将简单的绳结（单结）应用于生产和生活中。

问题分析：

  绳结是生活、生产中广泛应用的一门使用技艺，各行各业都有不同扣种，人们在生活中包装、提拿需要打结；许多工艺品应用绳结的形式进行装饰和编制；在户外活动，尤其是野外探险、森里穿越等高风险的活动时，经常需要打结来帮你捆绑东西或帮你穿越障碍地带。而绳结的自动脱落可能会导致一些事故的发生。此时，如何使打出的绳结更稳定，更不容易脱落很关键。 本文就是探究如何用最简单的单结打出的两次单结更不容易脱落，以及在这两种打法下，绳索的直径、软硬、表面摩擦力、两结点间间隙面积与是否容易松动的关系。
  对于问题一，两种互为镜像的单结，考虑可能组成 4 种不同打结方式，即1-1,、2-2、1-2、2-1 四种，再分析这 4 种有没有内在的联系。
  对于问题二，考虑影响松脱程度可能有直径、摩擦力、软硬、两间隙面积的影响，考虑每个因素对其的影响，以及哪一因素影响最大等问题。做下面的研究、讨论。

模型假设：

  1.假设压力感应器表面绝对光滑并且对松弛程度无影响；
  2.假设测力计对结点的松弛度无影响；
  3.假设轻质夹绝对光滑，不影响绳子的摩擦；
  4.假设不同规格的感应器仪器完好；
  5.约定：在 5.2 求解时，将 1-1 和 2-2 合并统称为方法一；将 1-2 和 2-1 合并统称为方法二；
  6.约定；所有力的单位都是 10^-3N，直径的单位为 mm，间隙面积的单位为 mm^2,硬度单位为 HBW。

论文缩略图：

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部分程序代码：(代码和文档not free)

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>>cftool 

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