学习数据结构：算法的时间复杂度和空间复杂度

一、算法的复杂度

衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。

算法的时间复杂度

算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

算法的空间复杂度

空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

时间复杂度和空间复杂度都是由大O的渐近表示法来表示

推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

二、常见复杂度对比

三、常见的时间复杂度和空间复杂度的计算

一、时间复杂度计算举例

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

O(N*2+10)，Func2的时间复杂度为O(N)

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

O(M+N),若M>>N 则时间复杂度为 O(M),反之则为O(N).

若M==N则时间复杂度为O(N)或O(M).

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

O(1)

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

O((N+1)*(N)/2) 时间复杂度为O(N^2)

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}

二分查找 O(logn);ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

O(N)

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

O(logN)

二、空间复杂度计算举例

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

空间复杂度O(1),开了常数个

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}

O(N)

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

O(N)

四、复杂度的oj练习

一、消失的数字

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大家看这道题是不是感觉有些熟悉呢？？

有没有想到之前的那个单身狗问题呢？

这个题也跟那个题类似，先定义一个int类数，然后先与n个数异或，再与数组中的数异或

最后这个数就是数组中缺少的值.

因为1^1=0

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
  int num=0;
  for(int i=0;i<=numsSize;i++){
    num^=i;
  }
  for(int i=0;i<numsSize;i++){
    num^=nums[i];
  }
  return num;
}

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
  int num=0;
  for(int i=0;i<=numsSize;i++){
    num+=i;
  }
  for(int i=0;i<numsSize;i++){
    num-=nums[i];
  }
  return num;
}

二、旋转数组

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这个题有两种思路：

思路一：先将n-k个逆置，再将后k个逆置，最后直接整体逆置。（妙啊！！！）

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    k%=numsSize;
    int tmp[numsSize];
    int n=numsSize;
    memcpy(tmp,nums+n-k,sizeof(int)*k);
    memcpy(tmp+k,nums,sizeof(int)*(n-k));
    memcpy(nums,tmp,sizeof(int)*(n));
}

void Reverse(int*a,int left,int right){
    int tmp=a[left];
    a[left]=a[right];
    a[right]=tmp;
    right--;
    left++;
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    k%=numsSize;
    //[0,numssize-k-1]
   Reverse(nums,0,numsSize-k-1);
   //[numssize-k,numssize-1]
   Reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);
   Reverse(nums,0,numsSize-1);
}