目录

6.体育中的数学建模

7.经济学问题中的数学建模

7.1.实物交换模型

7.2.边际效应

7.3.最佳消费选择模型

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6.体育中的数学建模

体育科学的研究中，也有大量的数学建模问题，例如：棒球的最佳击球点问题、滑板滑雪赛道的设计、越野自行车比赛车轮的选择、NBA赛程的科学性评价、划艇比赛中运动员的体力分配、体操团体赛出场队员的最佳组合等等。

越野长跑团体赛竞赛规则的公平性

越野长跑团体赛的竞赛规则如下：

越野长跑每个参赛团体由7名队员组成，取该团体跑在前面的5名队员在所有参赛选手中的排名顺序之和为该团体的得分。

然后根据各参赛队得分（由小到大)的顺序决定比赛排名。试讨论该竞赛规则的合理性并提出改进方案。

准则一：

二元独立性(binary independence在）A与B两个队的相对顺序不应当依赖于任何其他队的表现。

准则二：

孔多塞准则(Condorcet Criterion)一个队如果在与任一个队的两两对决中获胜，则这个队应当是整个比赛的优胜者。

准则三：

单调性准则(Monotonicity criterion)

如果A队是一次竞赛的获胜者。假设在另一次竞赛中所有的参赛队与选手都不 变，A队的一个选手a提高了名次，而其他所有参赛选手之间的相对顺序都不变，则A队仍应是获胜者。

准则四：

帕雷托条件(Pareto condition)如果A、B两队各有m个队员参赛，且有ai < bi:（i=1,2,…,m),则A队排名应优于B队。

(5,2)规则 一共7人参加，只取每队前5人成绩有效，其余2人成绩不计入

(5,2)规则的公平性判断

称现有规则为(5,2)规则，我们按照上述准则来判断该规则的公平性。

满足单调性和帕雷托条件

其他几种竞赛规则评价

名次加权(m,l)规则 名次差异非均匀化。

名次加权（m,l)规则不满足二元独立性与孔多塞准则，但满足单调性与帕雷托条件。

迭代(m,0)规则 每次淘汰最后一名，然后重新计算名次。

顺序孔多赛规则 按任意顺序，前两队对决，胜者与下一队对决，如此进行下去，最后留下的队就是获胜队。

非团体规则 存在i,使得 ai<bi A<B

越野团体赛计分规则的阿罗定理

以名次为排序依据，那么，在有至少三个队参加的越野团体赛中，如果一个规 则同时满足二元独立性与帕雷托条件，则该规则是非团体规则。

合理计分规则：

采用(m,l)竞赛方案，记录所有运动员比赛时间，按照国际田联《田径 项目分值表》转换为得分，取各队前m名队员的总得分为排序依据。

时间排序规则

按各队前5名队员的竞赛时间之和排名。

满足四条准则

准则5：

成绩与训练难度匹配原则

一个团队的成绩，应体现获得该成绩所需要的训练难度。

7.经济学问题中的数学建模

“边际效用”是经济学中十分重要的概念，本讲通过实物交换模型、最佳消费选择模型、报童售报问题等建模案例，了解边际效用概念在生活、生产实际中的应用。

1. 边际效用

2. 边际收入

3. 边际成本

7.1.实物交换模型

实物交换的原则是：互通有无，等价交换

设交换前甲有物品X的数量为x0，乙有物品Y的数量为y0，交换后甲有物品X和Y的数量分别为x和y。

也叫满意度曲线

于是矩形0≤x≤x0,0≤y≤y0以内任一点的坐标(x,y)都代表了一种交换方案。

用无差别曲线描述甲对X、Y的偏爱程度

甲有无数条无差别曲线，记为f(x, y) = C1

无差别曲线应满足

1. 单调减的：物品X的增加必须以物品Y的减少为代价。

2. 互不相交的：对同一交换方案不应有不同的满意度值。

7.2.边际效应

我们向往某事物时，情绪投入越多，第一次接触到此事物时情感体验也越为强烈，但是，第二次接触时，会淡一些，第三次，会更淡……以此发展，我们接触该事物的次数越多，我们的情感体验也越为淡漠，一步步趋向乏味。这种效应，在经济学和社会学中同样有效，在经济学中叫“边际效益递减率”，在社会学中叫“剥夺与满足命题”，是由霍曼斯提出来的，用标准的学术语言说就是：“某人在近期内重复获得相同报酬的次数越多，那么，这一报酬的追加部分对他的价值就越小。”

效用是一种主观偏好，个人的目标是效用最大化。

设某人关于商品X与Y的效用函数U=U(x, y)，则该人消费最后一单位商品所得到的效用（边际效用Marginal Utility)分别为 αU / αx αU / αy

例（面包与苹果)

一个面包价值2元，一个苹果价值1元，张三已有2个面包与2个苹果，假设这时面包的边际效用为3个单位，苹果的边际效用是1个单位，张三接下来会购买哪一种商品？

解：

3/2=1.5,1/1=1。即张三接下来花一元钱购买苹果可带来1个单位的效 用增量，而购买面包可带来1.5个单位的效用增量。

例（蚂蚁的选择）

生物学家Adam Kay研究了蚂蚁的觅食选择。实验中，每天给蚁群一定量的6% 浓度的酪蛋白溶液，观察是否会影响它们在蛋白质食源和糖类食源之间的选择。控制组的蚁群待遇一样，只是用清水代替了酪蛋白溶液。

在市场竞争条件下，边际收入是产量的递减函数，而边际成本是产量的递增函数。

7.3.最佳消费选择模型

问题：

在资金一定条件下，如何求最佳的商品消费比例。

边际效用递减规律：

边际效用随着消费增加而下降。

最后一元钱的边际效用：

边际分析

1. 边际收入

2. 边际成本

3. 边际效用

利润最大化原理

在连续情形下当边际收入等于边际成本即dR/dQ=dC/dQ时达到最优产量。

边际利润=边际收入一边际成本

令上述为0得

若设每天报纸的需求份数为X,则：P(X=n)(a-b)=P(X<n)(b-c)