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目录
专门的关系运算
选择运算
投影运算
连接运算
除运算
（1）元组的分量
元组的分量举例1
元组的分量举例2
属性列/域列 举例
（2）象集Zx(Images Set)
象集举例1
象集举例2
象集举例3
象集举例4
专门的关系运算
- 选择 σ
- 投影 π
- 连接
- 求商÷
选择运算
设有一个学生—课程数据库。学生关系包括学号、姓名、性别、年龄和院系五个属性，课程关系包括课程号、课程名和学分三个属性，选修关系包括学号、课程号和成绩三个属性。
关系模式表示如下：
student（sno，sname，sex，age，dept）
course（cno，cname，credit)
sc（sno，cno，grade）
例题2.5 查询计算机系全体学生的信息。由student关系中满足dept=“计算机系”这一条件的元组组成（即为选择运算）。
结果如表2.17所示。
由此可见，选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式值为真的元组。这是从行的角度进行的运算。如图2.2所示。
图2.2 选择操作
选择又称为限制（Restriction）。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作：
其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
例题2.6
查询年龄小于20岁的学生。
σAge ＜ 20(student) 或 σ4 ＜ 20(student)
结果如表2.18所示。
投影运算
例题2.7
查询学生的学号和姓名。由student关系中的学号属性列和姓名属性
列组成的新关系（即为投影运算）。
结果如表2.19所示。
说明：形成的新关系不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取 消某些元组，因为取消了某些属性列后，就可能出现重复行，应取 消这些完全相同的行。
由此可见，投影操作是从列的角度进行的运算。如图2.3所示。
关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。记作：
其中A为R中的属性列。
例题2.8
查询学生关系student中都有哪些院系，即查询关系student在院系属性上的投影。
πDept（student）
结果如表2.20所示。
说明：student关系原来有四个元组，而投影结果取消了重复的计算机系元组，因此只有两个元组。
连接运算
连接也称为θ连接。它是从两个关系的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性组。θ是比较运算符。连接运算从R和S的广义笛卡尔积R S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组。
连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一种是等值连接 （Equal-Join），一种是自然连接（Natural-Join）。
θ为“=”的连接运算称为等值连接。它是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A，B属性值相等的那些元组，即等值连接为：
自然连接（Natural-join）是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。即若R和S具有相同的属性组B，U为R和S的全体属性集合，则自然连接可记作：
一般的连接操作是从行的角度进行运算。但自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。如图2.4所示。
图2.4 连接操作
外连接 RS ：如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值（NULL）
| A | B | C | E |
| a1 | b1 | 5 | 3 |
| a1 | b2 | 6 | 7 |
| a2 | b3 | 8 | 10 |
| a2 | b3 | 8 | 2 |
| a2 | b4 | 12 | NULL |
| NULL | b5 | NULL | 2 |
左外连接 RS ：如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接。
| A | B | C | E |
| a1 | b1 | 5 | 3 |
| a1 | b2 | 6 | 7 |
| a2 | b3 | 8 | 10 |
| a2 | b3 | 8 | 2 |
| a2 | b4 | 12 | NULL |
右外连接 R S ：如果只把右边关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接
| A | B | C | E |
| a1 | b1 | 5 | 3 |
| a1 | b2 | 6 | 7 |
| a2 | b3 | 8 | 10 |
| a2 | b3 | 8 | 2 |
| NULL | b5 | NULL | 2 |
除运算
为叙述上的方便先引入几个概念。
（1）元组的分量
（2）象集（Image Set）
（1）元组的分量
- 设关系模式为R(A1,A2,……An)，它的一个关系为R
- t ∈R 表示 t 是R 的一个元组
- t[Ai] 则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量。
元组的分量举例1
元组的分量举例2
如：关系模式S
t ：(99058，庞兵，男，1979 ，……)
t[SNAME]＝庞兵，表示元组t 在姓名SNAME上的分量为“庞兵”。
属性列/域列 举例
（2）象集Zx(Images Set)
给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
当 t[X]=x时，x在R 中的象集（Images Set）为：
Zx = { t [Z] | t R，t [X] = x }
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。
象集举例1
- x1在R中的象集
- Zx1 ={Z1，Z2，Z3}，
- x2在R中的象集
- Zx2 ={Z2，Z3}，
- x3在R中的象集
- Zx3={Z1，Z3}
象集举例2
象集举例3
例如：学生-课程数据库中的选修关系S-C
| SNO | CNO | Grade |
| 99001 | 001 | 85 |
| 99001 | 003 | 90 |
| 99002 | 001 | 75 |
| 99002 | 002 | 80 |
t [X]=t[SNO]＝x=99001
- 象集：Zx＝｛ （001，85），（003，90） ｝
t [X]=t [CNO]=x=001
- 象集：Zx＝｛ （99001，85），（99002，75） ｝
象集举例4
给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X、Y、Z为属性组。R中的Y与S中 的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运 算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性 列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。
记作：
其中Yx为x在R中的象集，x =tr[X]
除操作是同时从行和列角度进行运算。如图2.6所示。
因此，求R÷S的操作步骤如下：
(1)将R中属性分为两个集合X和Y，
R(X,Y），其中Y就是S中的前半部分
属性的集合,S(Y,Z)。
(2)若X的某个值x的象集Yx
Yx={t[Y]∣t∈R∧t[X]=x} 包含S表中t[Y]的所有元组，则将x放入结果集中。
例:R÷S
如图2.7所示。设关系R、S分别为图2.7中的（a）和（b）， R÷S的结果为图2.7（c）。
在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4 }, 其中：
a1的象集为{（b1，c2），（b2，c3），（b2，c1）}
a2的象集为{（b3，c7）,（b2，c3）}
a3的象集为{ (b4，c6) }
a4的象集为{（b6，c6）} S在（B，C）上的投影为｛（b1，c2），（b2，c1）,（b2，c3）}
显然只有a1的象集（B,C）包含了S在（B,C）属性组上的投影，所以 以R÷S={a1}。
例题2.9 已知学生选课关系R，课程表S，要找出选课关系中选修所有课程的学生的学号。指定的课程号和对应课程名构成的关系记为S，则该问题可以用R÷S表示。如表2.21、表2.22、表2.23所示。
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