六面体单元热应力问题有限元求解 | Matlab源码 | 理论文本 | 温度应力

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作者简介：工学博士，高级工程师，专注于工业软件算法研究
本文已收录于专栏：《有限元编程从入门到精通》本专栏旨在提供 1.以案例的形式讲解各类有限元问题的程序实现，并提供所有案例完整源码；2.单元类型包含：杆单元，梁单元，平面三角形单元，薄板单元，厚板单元，壳单元，四/六面体实体单元，金字塔单元等；3.物理场问题涉及：力学、传热学、电磁学及多物理场耦合等问题的稳态（静力学）和瞬态（动力学）求解。专栏旨在帮助有志于有限元工业软件开发的小伙伴，快速上手有限元编程，在案例中成长，摆脱按部就班填鸭式教学。
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本代码主要实现热应力问题的matlab有限元编程。热应力也叫温度应力，后文提到的热应变也叫温度应变。这里需要与传热问题的有限元分析进行区分：可以认为传热分析是进行热应力分析的前提条件，通过传热分析来确定温度场，在获得温度场的基础上，计算所产生的热应力。所以代码计算热应力问题前提是假定温度场是已知的，我们并不关心温度场是如何得到的，那是热传导要解决的问题，在这个已知的温度场作用下，由于热胀冷缩会产生响应的热应变进而产生热应力，这是本代码要解决的问题。

如图1所示，本案例的分析对象为一个两端固定约束的四棱柱受不同方向的热应变作用下产生的应力应变，在用有限元方法求解热应力问题时，温度作用可以等效为一个节点载荷进行求解，因此热应力问题本质上还是一个固体力学问题的有限元求解，而我们刚才提到的传热问题的有限元求解其实是在求解傅里叶传热偏微分方程，其与固体力学偏微分方程是完全不同的两套理论。

详细有限元基本理论介绍请参考博文《基于六面体单元热应力问题的Matlab有限元编程求解》介绍了六面体单元刚度矩阵、雅各比矩阵、应变矩阵有限元列式的推导，温度应力应变的后处理有限元列式。