2、Tanh函数

2.1 公式

Tanh函数的公式： $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
Tanh函数的导函数：$f^{\prime }(x)=\frac{4}{(e^x+e^{-x}{)}^2}$ = $1-[f(x){]}^2$

2.2 对应的图像

2.3 对应生成图像代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义 x 的范围
x = np.linspace(-10, 10, 1000)

# 计算 tanh 值
tanh_values = np.tanh(x)

# 计算 tanh 的导数 (1 - tanh^2(x))
derivative_values = 1 - tanh_values ** 2

# 绘制 tanh 函数
plt.plot(x, tanh_values, label='tanh(x)')

# 绘制 tanh 的导数
plt.plot(x, derivative_values, label='derivative of tanh(x)')

# 设置图例
plt.legend()

# 设置标题和轴标签
plt.title('Tanh Function and Its Derivative')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# 显示图形
plt.grid(True)
plt.show()

2.4 优点与不足

Tanh优点：
1、在分类任务中，双曲正切函数（Tanh）逐渐取代 Sigmoid 函数作为标准的激活函数，其具有很多神经网络所钟爱的特征。它是完全可微分的，反对称，对称中心在原点。
2、输出是S型曲线，具备打破网络层与网络层之间的线性关系，可以把网络层输出非线形地映射到 (−1,1) 区间里。负输入将被强映射为负，而零输入被映射为接近零；tanh 的输出间隔为1且值域是以0为中心的[-1,1]（可以解决Sigmoid激活函数输出不以0为中心的问题。）
3、在一般的二元分类问题中，tanh 函数用于隐藏层，而 sigmoid 函数用于输出层，但这并不是固定的，需要根据特定问题进行调整。
Tanh不足：
1、当输入较大或较小时，输出几乎是平滑的并且梯度较小，这不利于权重更新。
2、Tanh函数也需要进行指数运算，所以其也会存在计算复杂度高且计算量大的问题。
3、当神经网络的层数增多的时候，由于在进行反向传播的时候，链式求导，多项相乘，函数进入饱和区（导数接近于零的地方）就会逐层传递，这种现象被称为梯度消失。

2.5 torch.tanh()函数

在PyTorch中，torch.tanh 函数用于计算张量中每个元素的双曲正切（hyperbolic tangent）值。这个函数接受一个张量（tensor）作为输入，并返回一个新的张量，其中的每个元素都是输入张量对应元素的双曲正切值。

双曲正切函数 tanh(x) 的定义是 (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)，其中 e 是自然对数的底数。tanh 函数的值域是 [-1, 1]，并且它是奇函数，即 tanh(-x) = -tanh(x)。

以下是如何在PyTorch中使用 torch.tanh 的示例：

import torch

# 创建一个张量
x = torch.tensor([-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0])

# 计算双曲正切值
y = torch.tanh(x)

# 输出结果
print(y)

输出将是 x 中每个元素的 tanh 值：

tensor([-0.9640, -0.7616,  0.0000,  0.7616,  0.9640])

在深度学习中，tanh 激活函数常用于隐藏层，因为它可以将输入压缩到 [-1, 1] 的范围内，有助于梯度下降算法的稳定性。不过，在实践中，ReLU 激活函数由于其简单性和性能优势，现在更常用。