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235. 二叉搜索树的最近公共祖先

给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

示例 1:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

首先，让我们回顾一下二叉搜索树的性质：

1. 二叉搜索树是一种有序树，对于任意节点，其左子树中的所有节点的值均小于该节点的值，右子树中的所有节点的值均大于该节点的值。
2. 二叉搜索树中不存在重复的节点值。

基于这些性质，我们可以利用递归或迭代的方法来寻找最近公共祖先。

方法一：递归

递归是一种直观且常用的方法，它可以通过不断地向下递归来找到最近公共祖先。

步骤：

1. 从根节点开始遍历树。
2. 如果当前节点的值大于 p 和 q 的值，则最近公共祖先在当前节点的左子树中。
3. 如果当前节点的值小于 p 和 q 的值，则最近公共祖先在当前节点的右子树中。
4. 如果当前节点的值介于 p 和 q 的值之间（包括 p 和 q 的值），则当前节点就是最近公共祖先。

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    TreeNode(int x) { val = x; }
}

public class LowestCommonAncestorBST {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if (root == null) return null;
        
        if (root.val > p.val && root.val > q.val) {
            return lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        } else if (root.val < p.val && root.val < q.val) {
            return lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        } else {
            return root;
        }
    }
}

方法二：迭代

迭代方法则利用 BST 的特性，在遍历过程中找到最近公共祖先。

步骤：

1. 从根节点开始，不断循环直到找到最近公共祖先。
2. 如果当前节点的值大于 p 和 q 的值，则最近公共祖先在当前节点的左子树中。
3. 如果当前节点的值小于 p 和 q 的值，则最近公共祖先在当前节点的右子树中。
4. 如果当前节点的值介于 p 和 q 的值之间（包括 p 和 q 的值），或者当前节点的值等于 p 或 q 的值，则当前节点就是最近公共祖先。

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    TreeNode(int x) { val = x; }
}

public class LowestCommonAncestorBST {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        while (root != null) {
            if (root.val > p.val && root.val > q.val) {
                root = root.left;
            } else if (root.val < p.val && root.val < q.val) {
                root = root.right;
            } else {
                return root;
            }
        }
        return null;
    }
}

39. 组合总和问题描述

给定一个无重复元素的整数数组 candidates 和一个目标整数 target，要求找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有不同组合，并以列表形式返回。同一个数字可以被选取多次，不同数量的数字被选取算作不同的组合。

示例

假设 candidates = [2, 3, 6, 7]，target = 7，则组合总和为 7 的所有不同组合有 [[2, 2, 3], [7]]。

解题思路

要解决组合总和问题，可以使用回溯算法来搜索所有可能的组合。回溯算法是一种递归的搜索方法，它通过不断地探索所有可能的路径，并在搜索过程中进行剪枝，以提高效率。

下面是使用回溯算法解决组合总和问题的步骤：

1. 对候选数组 candidates 进行排序，方便剪枝和去重。
2. 定义一个回溯函数 backtrack(start, target, path)，其中 start 表示当前搜索的起始位置，target 表示当前目标数，path 表示当前的组合路径。
3. 在回溯函数中，如果 target == 0，说明找到了一组组合，将其加入结果列表中并返回。
4. 如果 target < 0，说明当前组合不合法，直接返回。
5. 对于每个候选数，递归搜索其下一层可能的组合，更新 start、target 和 path，然后继续调用回溯函数。
6. 最终返回所有满足条件的组合。

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class CombinationSum {

    public static List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates); // 对候选数组排序，方便剪枝和去重
        backtrack(candidates, target, 0, new ArrayList<>(), result);
        return result;
    }

    private static void backtrack(int[] candidates, int target, int start, List<Integer> path, List<List<Integer>> result) {
        if (target == 0) {
            // 找到一组组合，加入结果列表中
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        if (target < 0) {
            // 当前组合不合法，直接返回
            return;
        }
        for (int i = start; i < candidates.length; i++) {
            path.add(candidates[i]); // 将当前候选数加入组合路径
            // 递归搜索下一层可能的组合
            backtrack(candidates, target - candidates[i], i, path, result);
            path.remove(path.size() - 1); // 回溯，移除最后一个候选数
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] candidates = {2, 3, 6, 7};
        int target = 7;
        List<List<Integer>> result = combinationSum(candidates, target);
        System.out.println(result); // 输出 [[2, 2, 3], [7]]
    }
}