9.15完全平方数

算法：

完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

动规五部曲：

1.确定dp及其下标

dp[j]：凑成j的最少完全平方数的个数为dp[j]

2.确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j]，

所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

3.dp初始化

dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

4.确定遍历顺序

本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！

5.举例推导dp数组

以输入n为5例：

正确代码：

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        for(int i=0;i<=n;i++){
            dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        dp[0] = 0;
        for(int i=1; i*i<=n; i++){
            for (int j=0; j<=n;j++){
                if(j >= i*i){
                dp[j] = Math.min(dp[j-i*i]+1,dp[j]);
                }
                
            }
        }
        return dp[n];

    }
}

注意：

1.for循环中，i的初始值为1，因为题目中说了n最小值为1

for (int j=0; j<=n;j++){

if(j >= i*i){

dp[j] = Math.min(dp[j-i*i]+1,dp[j]);

}

可以等价替换为

for (int j=i*i; j<=n;j++){

dp[j] = Math.min(dp[j-i*i]+1,dp[j]);

}

这样耗时更短！

最终的耗时短的正确代码：

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        for(int i=0;i<=n;i++){
            dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        dp[0] = 0;
        for(int i=1; i*i<=n; i++){
            for (int j=i*i; j<=n;j++){              
                dp[j] = Math.min(dp[j-i*i]+1,dp[j]);                               
            }
        }
        return dp[n];

    }
}