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广度优先搜索 图论 并集查找

LeetCod2493. 将节点分成尽可能多的组

给你一个正整数 n ，表示一个 无向 图中的节点数目，节点编号从 1 到 n 。
同时给你一个二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条 双向 边。注意给定的图可能是不连通的。
请你将图划分为 m 个组（编号从 1 开始），满足以下要求：
图中每个节点都只属于一个组。
图中每条边连接的两个点 [ai, bi] ，如果 ai 属于编号为 x 的组，bi 属于编号为 y 的组，那么 |y - x| = 1 。
请你返回最多可以将节点分为多少个组（也就是最大的 m ）。如果没办法在给定条件下分组，请你返回 -1 。

示例 1：

输入：n = 6, edges = [[1,2],[1,4],[1,5],[2,6],[2,3],[4,6]]
输出：4
解释：如上图所示，

• 节点 5 在第一个组。
• 节点 1 在第二个组。
• 节点 2 和节点 4 在第三个组。
• 节点 3 和节点 6 在第四个组。
  所有边都满足题目要求。
  如果我们创建第五个组，将第三个组或者第四个组中任何一个节点放到第五个组，至少有一条边连接的两个节点所属的组编号不符合题目要求。
  示例 2：

输入：n = 3, edges = [[1,2],[2,3],[3,1]]
输出：-1
解释：如果我们将节点 1 放入第一个组，节点 2 放入第二个组，节点 3 放入第三个组，前两条边满足题目要求，但第三条边不满足题目要求。
没有任何符合题目要求的分组方式。

提示：
1 <= n <= 500
1 <= edges.length <= 10⁴
edges[i].length == 2
1 <= ai, bi <= n
ai != bi
两个点之间至多只有一条边。

广度优先搜索

注意：可能有多个连通区域，每个连通区域要分别处理。
如果没有环一定可以分组。如果是偶数环一定可以：{n[0]},{n[1],n[n-1]}…{n[n]}。从任何节点开始都可以访问。如果是奇数环一定不可以，以三个边的环为例： 第一个顶点在x分组，第二顶点和第三个定点在(x-1)或(x+1)。第二个顶点和第三个顶点只能相差0或2，不会相差1。
下面来严格证明：
节点n1在x分组，通过某条长度m1路径，可以到达n2。则n2可以的分组是：s1 = {x+m1,x+m1-2,x+m1-4$\cdots$ x-m1+2,x-m1}。
同时n1到n2存在长度为m2的路径。则n2可以分组是：s2 = {x+m2,x+m2-2,x+m2-4$\cdots$ x-m2+2,x-m2}。
$$\text{性质一}\{\begin{array}{llc}无法分组& m1,m2奇偶性不同& \text{待证明一}\\ s1& elseif(m1<m2)& \\ s2& other& \end{array}$$
待证明一: 将s1（s2）所有元素减去x后，如果m1(m2)是奇数（偶数），则全部元素都是奇数（偶数）。 如果m1和m2奇偶性不同，两者没有交集。

以任意节点为根，BFS各点是否存在长度奇数和偶数的路径。任意节点同时存在到根节点出度为奇数和偶数的路径则无法分组。淘汰一
如果n1和n2同时存在长度为奇数的路径p1,长度为偶数的路径p2。则任意节点为起点一定存在奇偶路径。
$$路径一：roo{t}_{\to }^{任意路径}n{1}_{\to }^{p1}n2路径二：oo{t}_{\to }^{任意路径}n{1}_{\to }^{p2}n2$$
根据性质一，根节点编号为1，其它节点cur编号：1 + (cur到根节点最短距离）
最短距离显然是BFS的优势。

按上述分组方法，任意节点n1,n2不会冲突。

令n1 ，n2到 root的距离为m1,m2。则两这个编号为1+m1,1+m2。不失一般性，令m1 > m2。
n1到n2的最短距离m12 >= m1-m2，否则根节点直接通过n2到n1。
n1$\to$ root $\to$ n2 是n1到n2的路径，他们的长度是m1+m2，根据淘汰一，它和m12的奇偶性相同。m1+m2和m1-m2的奇偶性相同，故这样分组n1和n2不会矛盾。

BFS

BFS状态：节点 奇数（偶数）长度，每个节点处理2次，但每个节点的边不是O(1)，所以时间复杂度是O(m)，m是边数。
还要枚举根节点，这样总时间复杂度是：O(nm) 在超时的边缘。

代码

核心代码

class CNeiBo
{
public:	
	static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) 
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}	
};

class CUnionFind
{
public:
	CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize)
	{
		for (int i = 0; i < iSize; i++)
		{
			m_vNodeToRegion[i] = i;
		}
		m_iConnetRegionCount = iSize;
	}	
	CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo):CUnionFind(vNeiBo.size())
	{
		for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {
			for (const auto& n : vNeiBo[i]) {
				Union(i, n);
			}
		}
	}
	int GetConnectRegionIndex(int iNode)
	{
		int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];
		if (iNode == iConnectNO)
		{
			return iNode;
		}
		return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);
	}
	void Union(int iNode1, int iNode2)
	{
		const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);
		const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);
		if (iConnectNO1 == iConnectNO2)
		{
			return;
		}
		m_iConnetRegionCount--;
		if (iConnectNO1 > iConnectNO2)
		{
			UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);
		}
		else
		{
			UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);
		}
	}

	bool IsConnect(int iNode1, int iNode2)
	{
		return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);
	}
	int GetConnetRegionCount()const
	{
		return m_iConnetRegionCount;
	}
	vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量
	{
		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
		vector<int> vRet(iNodeSize);
		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
		{
			vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;
		}
		return vRet;
	}
	std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion()
	{
		std::unordered_map<int, vector<int>> ret;
		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
		{
			ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);
		}
		return ret;
	}
private:
	void UnionConnect(int iFrom, int iTo)
	{
		m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;
	}
	vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引
	int m_iConnetRegionCount;
};

class CBFS
{
public:
	CBFS(int iStatuCount, int iInit = -1) :m_iStatuCount(iStatuCount), m_iInit(iInit)
	{
		m_res.assign(iStatuCount, iInit);
	}
	bool Peek(int& statu)
	{
		if (m_que.empty())
		{
			return false;
		}
		statu = m_que.front();
		m_que.pop_front();
		return true;
	}
	void PushBack(int statu, int value)
	{
		if (m_iInit != m_res[statu])
		{
			return;
		}
		m_res[statu] = value;
		m_que.push_back(statu);
	}
	void PushFront(int statu, int value)
	{
		if (m_iInit != m_res[statu])
		{
			return;
		}
		m_res[statu] = value;
		m_que.push_front(statu);
	}
	int Get(int statu)
	{
		return m_res[statu];
	}
private:
	const int m_iStatuCount;
	const int m_iInit;
	deque<int> m_que;
	vector<int> m_res;
};

class CBFS2 : protected CBFS
{
public:
	CBFS2(int iStatuCount1, int iStatuCount2, int iInit = -1) :CBFS(iStatuCount1* iStatuCount2, iInit), m_iStatuCount2(iStatuCount2)
	{

	}
	bool Peek(int& statu1, int& statu2)
	{
		int statu;
		if (!CBFS::Peek(statu))
		{
			return false;
		}
		statu1 = statu / m_iStatuCount2;
		statu2 = statu % m_iStatuCount2;
		return true;
	}
	void PushBack(int statu1, int statu2, int value)
	{
		CBFS::PushBack(statu1 * m_iStatuCount2 + statu2, value);
	}
	void PushFront(int statu1, int statu2, int value)
	{
		CBFS::PushFront(statu1 * m_iStatuCount2 + statu2, value);
	}
	int Get(int statu1, int statu2)
	{
		return CBFS::Get(statu1 * m_iStatuCount2 + statu2);
	}
private:
	const int m_iStatuCount2;
};

class Solution {
public:
	int magnificentSets(int n, vector<vector<int>>& edges) {
		auto neiBo = CNeiBo::Two(n, edges, false, 1);
		CUnionFind uf(neiBo);
		auto m = uf.GetNodeOfRegion();
		int iRet = 0;
		for (const auto& [tmp, v] : m)
		{
			int iMax = 0;
			for(const int& root : v )
			{
				CBFS2 bfs(n, 2);
				bfs.PushBack(root, 0, 1);
				int cur, iOne;
				while (bfs.Peek(cur, iOne))
				{
					const int iDis = bfs.Get(cur, iOne);
					for (const auto& next : neiBo[cur])
					{
						bfs.PushBack(next, (iOne + 1) % 2, iDis + 1);
					}
				}				
				for (const int& node : v)
				{					
					if ((-1 != bfs.Get(node, 0)) && (-1 != bfs.Get(node, 1)))
					{
						return -1;
					}
					iMax = max(iMax, bfs.Get(node, 0));
					iMax = max(iMax, bfs.Get(node, 1));
				}
			};
			iRet += iMax;
		}
		return iRet;
	}
};

测试用例

template<class T,class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{
	int n;
	vector<vector<int>> edges;
	{
		Solution sln;
		n = 6, edges = { {1,2},{1,4},{1,5},{2,6},{2,3},{4,6} };
		auto res = sln.magnificentSets(n, edges);
		Assert(4, res);
	}

	{
		Solution sln;
		n = 3, edges = { {1,2},{2,3},{3,1} };
		auto res = sln.magnificentSets(n, edges);
		Assert(-1, res);
	}
	
}

2023年4月

//并集查找
class CUnionFind
{
public:
CUnionFind(int iSize)
{
for (int i = 0; i < iSize; i++)
{
m_vTop.emplace_back(i);
}
m_iSize = m_vTop.size();
}
void Add(int iFrom, int iTo)
{
int iRoot1 = GetTop(iFrom);
int iRoot2 = GetTop(iTo);
if (iRoot1 == iRoot2)
{
return;
}
//增强可理解性
if (iRoot1 < iRoot2)
{
std::swap(iRoot1, iRoot2);
std::swap(iFrom, iTo);
}
m_vTop[iRoot1] = iRoot2;
GetTop(iFrom);
m_iSize–;
}
int GetTop(int iNode)
{
if (iNode == m_vTop[iNode])
{
return iNode;
}
return m_vTop[iNode] = GetTop(m_vTop[iNode]);
}
int Size()const
{
return m_iSize;
}
const vector& Top()
{
for (int i = 0; i < m_vTop.size(); i++)
{
GetTop(i);
}
return m_vTop;
}
std::unordered_map<int, vector> TopNums()
{
Top();
std::unordered_map<int, vector> mRet;
for (int i = 0; i < m_vTop.size(); i++)
{
mRet[m_vTop[i]].emplace_back(i);
}
return mRet;
}

private:
vector m_vTop;
int m_iSize;
};

class Solution {
public:
int magnificentSets(int n, vector<vector>& edges) {
m_vNeiB.resize(n);
m_iN = n;
CUnionFind uf(n);
for (const auto& v : edges)
{
m_vNeiB[v[0] - 1].emplace_back(v[1] - 1);
m_vNeiB[v[1] - 1].emplace_back(v[0] - 1);
uf.Add(v[0] - 1, v[1] - 1);
}
auto tmp = uf.TopNums();
int iRet = 0;
for (auto& it : tmp)
{
int iCur = 0;
for (const int iRoot : it.second)
{
iCur = max(iCur, bfs(iRoot));
}
iRet += iCur;
}
if (m_bCycle3)
{
return -1;
}
return iRet;
}
int bfs(int iRoot)
{
vector vDis(m_iN,-1);
queue que;
vDis[iRoot] = 1;
que.emplace(iRoot);
while (que.size())
{
const int iCur = que.front();
que.pop();
for (const auto& next : m_vNeiB[iCur])
{
if (-1 != vDis[next])
{
if (( vDis[next] >= 2 ) && (vDis[next] == vDis[iCur]))
{
m_bCycle3 = true;
}
continue;
}
vDis[next] = vDis[iCur] + 1;
que.emplace(next);
}
}
return *std::max_element(vDis.begin(), vDis.end());
}
vector<vector> m_vNeiB;
int m_iN;
bool m_bCycle3 = false;//环的节点为奇数无法完成
};

2023年8月

class Solution {
public:
int magnificentSets(int n, vector<vector>& edges) {
m_iN = n;
CNeiBo2 neiBo2(n, edges, false,1);
vector vRootToMaxLeve(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
vRootToMaxLeve[i] = bfs(i, neiBo2.m_vNeiB);
}
CUnionFind uf(n);
for (const auto& v : edges)
{
uf.Union(v[0] - 1, v[1] - 1);
}
vector vRegionToMaxLeve(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
const int iRegion = uf.GetConnectRegionIndex(i);
vRegionToMaxLeve[iRegion] = max(vRegionToMaxLeve[iRegion], vRootToMaxLeve[i]);
}

	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		const int iRegion = uf.GetConnectRegionIndex(i);
		if (0 == vRegionToMaxLeve[iRegion])
		{
			return -1;
		}
	}

	return std::accumulate(vRegionToMaxLeve.begin(), vRegionToMaxLeve.end(),0);
}
int bfs(int root, const vector<vector<int>>& neiBo)
{
	vector<int> m_vLeve(m_iN,-1);
	std::queue<int> que;
	que.emplace(root);
	m_vLeve[root] = 1;
	while (que.size())
	{
		const auto cur = que.front();
		que.pop();
		const int curLeve = m_vLeve[cur];
		for (const auto& next : neiBo[cur])
		{
			if (-1 == m_vLeve[next])
			{
				m_vLeve[next] = curLeve + 1;
				que.emplace(next);
			}
			else
			{
				if ((curLeve - 1 != m_vLeve[next]) && (curLeve + 1 != m_vLeve[next]))
				{
					return -1;
				}
			}
		}
	}
	return *std::max_element(m_vLeve.begin(),m_vLeve.end());
}
int m_iN;

};

2023年9月版

class Solution {
public:
int magnificentSets(int n, vector<vector>& edges) {
CNeiBo2 neiBo(n, edges, false, 1);
CUnionFind uf(n);
for (const auto& v : edges)
{
uf.Union(v[0] - 1, v[1] - 1);
}
auto m = uf.GetNodeOfRegion();
m_vLeve.assign(n, m_iNotMay);
int iRet = 0;
for (const auto& it : m)
{
const int iRegionLeve = Do(it.second, neiBo);
if (iRegionLeve < 0 )
{
return -1;
}
iRet += iRegionLeve;
}
return iRet;
}
int Do(const vector& vNodeOfARegion, const CNeiBo2& neiBo)
{
int iRet = -1;
for (const auto& node : vNodeOfARegion)
{
for (const auto& node1 : vNodeOfARegion)
{
m_vLeve[node1] = m_iNotMay;
}
iRet = max(iRet,bfs(node, neiBo));
}
return iRet;
}
int bfs(int root,const CNeiBo2& neiBo)
{
m_vLeve[root] = 1;
std::queue que;
que.emplace(root);
int iMax = 0;
while (que.size())
{
const auto cur = que.front();
que.pop();
const int leve = m_vLeve[cur] + 1;
iMax = max(iMax, m_vLeve[cur]);
for (const auto next : neiBo.m_vNeiB[cur])
{
if (m_iNotMay == m_vLeve[next])
{
m_vLeve[next] = leve;
que.emplace(next);
}
else if ((leve - 2 != m_vLeve[next]) && (leve != m_vLeve[next]))
{
return -1;
}
}
}
return iMax;
}
vector m_vLeve;
const int m_iNotMay = 1000 * 1000;
};

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。