第四十天| 343. 整数拆分、96.不同的二叉搜索树

Leetcode 343. 整数拆分

题目链接：343 整数拆分

题干：给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。返回 你可以获得的最大乘积 。

思考：动态规划。本题难点在于值n要拆分成几个数乘积最大。

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

确定递推公式

首先可以将 i 拆分成两个数相乘，只要 j 从1开始遍历至 i - 1作乘数之一，另一个乘数即为 i - j。

考虑dp[i]的定义，dp[i]是 i 拆分成多个乘数得到的最大乘积。

因此可以将 i 拆分成多个数相乘，其中一个乘数仍为 j , 另外多个乘数的最大乘积为 dp[i - j]。

取上面两种相乘结果的最大值。所以递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

如果仅考虑将 i 拆分为多个数相乘（包括两个）,则递推公式：dp[i] = max({dp[i], dp[i - j] * dp[j]});

而这种拆法默认将一个数拆成4份以及4份以上，但例如10，最大乘积是拆分成3，3，4得到的。

因此不能统一处理，要分开处理。

dp的初始化

从dp[i]的定义可知 0，1不能拆分为两个正数，因此dp[0] dp[1] 就不应该初始化，

只初始化dp[2] = 1，拆分数字2，得到的最大乘积是1。

确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));中可以看dp[i]依赖于dp[i - j]，因此先要从3开始计算最大乘积，则遍历顺序为从前向后的。

其次对于求解 i 拆分后所得最大乘积的计算过程也是循环处理的过程。在确定递推公式中枚举j的时候， j 是从1遍历到 i ，但由常识可知取 i / 2 之后的情况是重复处理，因此 j 只需从1遍历至 i / 2。

举例推导dp数组

举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

代码：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);      //拆分各下标所得最大值
        dp[2] = 1;        //初始化
        for (int i = 3; i <= n; i++)        //计算n之前所有的最大值
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++)
                //记录值更新为记录值、拆分两个以及拆分多个中的最大值
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));        
        return dp[n];
    }
};

Leetcode 96.不同的二叉搜索树

题目链接：96 不同的二叉搜索树

题干：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

思考：动态规划。此题难在找出不同N值对应二叉搜索树个数间的规律。

寻找重叠子问题

首先是 n 为 1以及 n 为2的情况，如下图

下面是 n 为3的情况，如下图

观察3为根节点的情况，右子树为空，左子树的两种情况正好对应n 为 2 的两种情况。其次观察1为根节点的情况，左子树为空，右子树的两种情况对应的二叉树形状不仍然对应 n 为 2的两种情况。再看2为根节点的情况，左右子树的形状正好对应n 为 1的情况。

此时找到了重叠子问题，其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。

dp[3]就是元素1为头结点搜索树的数量+元素2为头结点搜索树的数量+元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

如下图：

动态规划五步曲
确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

确定递推公式

j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。

所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

dp数组如何初始化

由于推导的基础都是dp[0]，因此只需要初始化dp[0]即可。

从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1，否则乘法的结果就都变成0了。所以初始化dp[0] = 1

确定遍历顺序

首先是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。其次遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。因此都为从前向后遍历

举例推导dp数组

n为5时候的dp数组状态如图：

代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);      //记录不同总节点数的各自组成的二叉搜索树个数
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= i; j++)        //累加不同左右子树节点个数分配情况
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];        //左子树节点j-1个,右子树节点i-j个的二叉树搜索树
        return dp[n];
    }
};

自我总结：