该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用，如无自动控制理论基础，请先学习自动控制系列博文，该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
自动控制理论基础相关链接：https://blog.csdn.net/qq_39032096/category_10287468.html?spm=1001.2014.3001.5482
博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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1.线性系统状态空间基础

1.1 状态空间基本概念

• 状态和状态变量：系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态；确定系统状态的一组独立变量称为状态变量；

  一个用$n$阶微分方程描述的系统，当$n$个初始条件$x(t_0),\dot{x}(t_0),\dots ,x^{(n-1)}(t_0)$，及$t\ge t_0$的输入$u(t)$给定时，可唯一确定方程的解，即系统将来的状态，故$x(t),\dot{x}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t)$这$n$个独立变量可选作状态变量；

  $n$阶系统状态变量所含独立变量的个数为$n$，当变量个数小于$n$时，不能完全确定$n$阶系统的状态，当变量个数大于$n$时，对于确定系统的状态有的变量则是多余的；

  状态变量常用符号$x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)$表示；

• 状态向量：把描述系统状态的$n$个状态变量$x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)$看作向量$x(t)$的分量，即：
  $$x(t)=[x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t){]}^T$$
  则向量$x(t)$称为$n$维状态向量；给定$t=t_0$时的初始状态向量$x(t_0)$及$t\ge t_0$的输入向量$u(t)$，则$t\ge t_0$的状态由状态向量$x(t)$唯一确定；

• 状态空间：以$n$个状态变量作为基底所组成的$n$维空间称为状态空间；

• 状态轨线：系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示，随着时间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹，这种系统状态在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线；

• 线性系统的状态空间表达式：若线性系统描述系统状态量与输入量之间关系的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程，而描述输出量与状态量和输入量之间关系的输出方程是向量代数方程，则其组合称为线性系统状态空间表达式，亦称动态方程，其连续形式为：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\ & \\ & y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\end{array}$$
  对于线性离散时间系统，在实践中常取$t_k=kT$($T$为采样周期)，其状态空间表达式的一般形式为：
  $$\{\begin{array}{ll}& x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)\\ & \\ & y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)\end{array}$$
  若状态$x$、输入$u$、输出$y$的维数分别为：$n,p,q$，则称$n\times n$矩阵$A(t)$及$G(k)$为系统矩阵或状态矩阵；

  称$n\times p$矩阵$B(t)$及$H(k)$为控制矩阵或输入矩阵；

  称$q\times n$矩阵$C(t)$及$C(k)$为观测矩阵或输出矩阵；

  称$q\times p$矩阵$D(t)$及$D(k)$为前馈矩阵或输入输出矩阵；

• 线性定常系统：在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵$A(t),B(t),C(t),D(t)$或$G(k),H(k),C(k),D(k)$的各元素都是常数，则称该系统为线性定常系统，否则为线性时变系统；

  线性定常系统状态空间表达式一般形式：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ & \\ & y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$
  和
  $$\{\begin{array}{ll}& x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\\ & \\ & y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{array}$$
  当输出方程中$D\equiv 0$时，系统称为绝对固有系统，否则称为固有系统；

• 线性系统的结构图：

  

• 状态空间描述特点：

  • 状态空间描述考虑了"输入-状态-输出"这一过程，考虑到了被经典控制理论的"输入-输出"描述所忽略的状态，因此，状态空间描述揭示了问题的本质，即输入引起状态的变化，状态决定了输出；
  • 输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程；状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程；
  • 系统的状态变量个数等于系统的阶数，一个$n$阶系统的状态变量个数为$n$；
  • 对于给定的系统，状态变量的选择不唯一，状态变量的线性变换结果也可作为状态变量；
  • 状态变量不一定是物理上可测量或可观测的量，但为了便于构造控制系统，把状态变量选择可测量或可观测的量更合适；

1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立

1.2.1 根据系统机理建立状态空间表达式

实例分析：

Example1： 系统电路图如下图所示，选择状态变量建立状态空间表达式；

解：

根据电路定律列写方程：
$$Ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t=e$$
电路输出量为：
$$y=e_c=\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t$$
设状态变量$x_1=i,x_2=\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t$，则状态方程为：
$$\{\begin{array}{ll}& {\dot{x}}_1=-\frac{R}{L}{x}_1-\frac{1}{L}{x}_2+\frac{1}{L}e\\ & \\ & {\dot{x}}_2=\frac{1}{C}{x}_1\end{array}$$
输出方程为：
$$y=x_2$$
向量-矩阵形式为：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L}& -\frac{1}{L}\\ & \\ \frac{1}{C}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ \\ 0\end{array}\right]e\\ & y=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\end{array}$$
简记为：
$$\{\begin{array}{ll}& \dot{x}=Ax+be\\ & y=cx\end{array}$$
式中：
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L}& -\frac{1}{L}\\ & \\ \frac{1}{C}& 0\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ \\ 0\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$$

1.2.2 由系统微分方程建立状态空间表达式

1. 系统输入量中不含导数项。

   单输入-单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为：
   $$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\cdots +a_1\dot{y}+a_{0}y={\beta }_{0}u$$
   其中：$y,u$分别为系统的输出、输入量；$a_0,a_1,\dots ,a_{n-1},{\beta }_0$是由系统特性确定的常系数；

   选取$n$个状态变量为：$x_1=y,x_2=\dot{y},\dots ,x_n=y^{(n-1)}$，可得：
   $$\{\begin{array}{ll}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=x_3\\ & ⋮\\ & {\dot{x}}_{n-1}=x_n\\ & {\dot{x}}_n=-a_0{x}_1-a_1{x}_2-\cdots -a_{n-1}{x}_n+{\beta }_{0}u\\ & y=x_1\end{array}$$
   向量-矩阵形式为：
   $$\{\begin{array}{ll}& \dot{x}=Ax+bu\\ & y=cx\end{array}$$
   式中：
   $$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_{n-1}\\ x_n\end{array}\right]，A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \dots & -a_{n-1}\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ {\beta }_0\end{array}\right]$$

   $$c=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right]$$

   状态变量图如下图所示：

   

2. 系统输入量中含有导数项

   线性定常连续系统微分方程一般形式为：
   $$\begin{array}{rl}& y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\cdots +a_1\dot{y}+a_{0}y\\ & \\ =& b_n{u}^{(n)}+b_{n-1}{u}^{n-1}+\cdots +b_1\dot{u}+b_{0}u\end{array}$$

   1. $b_n\ne 0$情况

      按如下规则选择状态变量，设：
      $$\{\begin{array}{ll}& x_1=y-h_{0}u\\ & x_i={\dot{x}}_{i-1}-h_{i-1}u;i=2,3,\dots ,n\end{array}$$
      展开式为：
      $$\{\begin{array}{ll}& x_1=y-h_{0}u\\ & x_2={\dot{x}}_1-h_{1}u=\dot{y}-h_0\dot{u}-h_{1}u\\ & x_3={\dot{x}}_2-h_{2}u=\ddot{y}-h_0\ddot{u}-h_1\dot{u}-h_{2}u\\ & ⋮\\ & x_{n-1}={\dot{x}}_{n-2}-h_{n-2}u=y^{(n-2)}-h_0{u}^{(n-2)}-h_1{u}^{n-3}-\cdots -h_{n-2}u\\ & x_n={\dot{x}}_{n-1}-h_{n-1}u=y^{(n-1)}-h_0{u}^{n-1}-h_1{u}^{n-2}-\cdots -h_{n-1}u\end{array}$$
      式中，$h_0,h_1,h_2,\dots ,h_{n-1}$是$n$个待定常数；

      输出方程为：
      $$y=x_1+h_{0}u$$
      其余可得$n-1$个状态方程：
      $$\{\begin{array}{ll}& {\dot{x}}_1=x_2+h_{1}u\\ & {\dot{x}}_2=x_3+h_{2}u\\ & ⋮\\ & {\dot{x}}_{n-1}=x_n+h_{n-1}u\end{array}$$
      对$x_n$求导数可得：
      $$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_n& =y^{(n)}-h_0{u}^{(n)}-h_1{u}^{(n-1)}-\cdots -h_{n-1}\dot{u}\\ & =(-a_{n-1}{y}^{(n-1)}-a_{n-2}{y}^{(n-2)}-\cdots -a_1\dot{y}-a_{0}y+\\ & b_0{u}^{(n)}+\cdots +b_1\dot{u}+b_{0}u)-h_0{u}^{(n)}-h_1{u}^{(n-1)}-\cdots -h_{n-1}\dot{u}\end{array}$$
      综合整理得：
      $${\dot{x}}_n=-a_0{x}_1-a_1{x}_2-\cdots -a_{n-2}{x}_{n-1}-a_{n-1}{x}_n+h_{n}u$$
      向量-矩阵形式为：
      $$\dot{x}=Ax+bu,y=cx+du$$
      式中：
      $$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 0\\ -a_0& -a_1& -a_2& \dots & -a_{n-1}\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ ⋮\\ h_{n-1}\\ h_n\end{array}\right]$$

      $$c=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right],d=h_0$$

      状态变量图如下图所示：

      

   2. $b_n=0$情况

      按如下规则选择一组状态变量，设：
      $$\{\begin{array}{ll}& x_n=y\\ & x_i={\dot{x}}_{i+1}+a_{i}y-b_{i}u;i=1,2,\dots ,n-1\end{array}$$
      展开式为：
      $$\{\begin{array}{ll}& x_{n-1}={\dot{x}}_n+a_{n-1}y-b_{n-1}u=\dot{y}+a_{n-1}y-b_{n-1}u\\ & x_{n-2}={\dot{x}}_{n-1}+a_{n-2}y-b_{n-2}u=\ddot{y}+a_{n-1}\dot{y}-b_{n-1}\dot{u}+a_{n-2}y-b_{n-2}u\\ & ⋮\\ & x_2={\dot{x}}_3+a_{2}y-b_{2}u\\ & =y^{(n-2)}+a_{n-1}{y}^{(n-3)}-b_{n-1}{u}^{(n-3)}+a_{n-2}{y}^{(n-4)}-b_{n-2}{u}^{(n-4)}+\cdots +a_{2}y-b_{2}u\\ & x_1={\dot{x}}_2+a_{1}y-b_{1}u\\ & =y^{(n-1)}+a_{n-1}{y}^{(n-2)}-b_{n-1}{u}^{(n-2)}+a_{n-2}{y}^{(n-3)}-b_{n-2}{u}^{(n-3)}+\cdots +a_{1}y-b_{1}u\end{array}$$
      $b_n=0$时动态方程为：
      $$\dot{x}=Ax+bu,y=cx$$
      其中：
      $$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -a_0\\ 1& 0& \dots & 0& -a_1\\ 0& 1& \dots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_{n-1}\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 1\end{array}\right]$$
      实例分析：

      Example2： 设二阶系统微分方程为：
      $$\ddot{y}+2\zeta \omega \dot{y}+{\omega }^{2}y=T\dot{u}+u$$
      求系统状态空间表达式。

      解：

      设状态变量：

      $$x_1=y-h_{0}u,x_2={\dot{x}}_1-h_{1}u=\dot{y}-h_0\dot{u}-h_{1}u$$

      对$x_2$求导且考虑$x_1,x_2$及系统微分方程，可得：

      $$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_2& =\ddot{y}-h_0\ddot{u}-h_1\dot{u}=(-{\omega }^{2}y-2\zeta \omega \dot{y}+T\dot{u}+u)-h_0\ddot{u}-h_1\dot{u}\\ & =-{\omega }^2{x}_1-2\zeta \omega x_2-h_0\ddot{u}+(T-2\zeta \omega h_0-h_1)\dot{u}+(1-{\omega }^2{h}_0-2\zeta \omega h_1)u\end{array}$$

      令$\ddot{u}，\dot{u}$项的系数为零，可得：

      $$h_0=0,h_1=T$$

      因此，

      $${\dot{x}}_2=-{\omega }^2{x}_1-2\zeta \omega x_2+(1-2\zeta \omega T)u$$

      系统状态空间表达式为：

      $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& -2\zeta \omega \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}T\\ 1-2\zeta \omega T\end{array}\right]u,y=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$

1.2.3 由系统传递函数建立状态空间表达式

系统传递函数为：
$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_n{s}^n+b_{n-1}{s}^{n-1}+b_{n-2}{s}^{n-2}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+a_{n-2}{s}^{n-2}+\cdots +a_{1}s+a_0}$$
应用综合除法：
$$G(s)=b_n+\frac{{\beta }_{n-1}{s}^{n-1}+{\beta }_{n-2}{s}^{n-2}+\cdots +{\beta }_{1}s+{\beta }_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+a_{n-2}{s}^{n-2}+\cdots +a_{1}s+a_0}\triangleq b_n+\frac{N(s)}{D(s)}$$
其中：$b_n$是直接联系输入与输出量的前馈系数，当$G(s)$分母次数大于分子次数时，$b_n=0$，$\frac{N(s)}{D(s)}$是严格有理真分式，其系数由综合除法得到：
$$\{\begin{array}{ll}& {\beta }_0=b_0-a_0{b}_n\\ & {\beta }_1=b_1-a_1{b}_n\\ & ⋮\\ & {\beta }_{n-2}=b_{n-2}-a_{n-2}{b}_n\\ & {\beta }_{n-1}=b_{n-1}-a_{n-1}{b}_n\end{array}$$
由$\frac{N(s)}{D(s)}$导出几种标准形式动态方程的方法：

1. $\frac{N(s)}{D(s)}$串联分解情况。

   

   其中：$z$为中间变量，$z,y$满足：
   $$\{\begin{array}{ll}& z^{(n)}+a_{n-1}{z}^{(n-1)}+\cdots +a_1\dot{z}+a_{0}z=u\\ & \\ & y={\beta }_{n-1}{z}^{(n-1)}+\cdots +{\beta }_1\dot{z}+{\beta }_{0}z\end{array}$$
   选取状态变量：
   $$x_1=z,x_2=\dot{z},x_3=\ddot{z},\dots ,x_n=z^{(n-1)}$$
   则状态方程为：
   $$\{\begin{array}{ll}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=x_3\\ & ⋮\\ & {\dot{x}}_n=-a_{0}z-a_1\dot{z}-\cdots -a_{n-1}{z}^{(n-1)}+u\\ & =-a_0{x}_1-a_1{x}_2-\cdots -a_{n-1}{x}_n+u\end{array}$$
   输出方程为：
   $$y=-{\beta }_0{x}_1-{\beta }_1{x}_2-\cdots -{\beta }_{n-1}{x}_n$$
   向量-矩阵形式为：
   $$\dot{x}=Ax+bu,y=cx$$

   $$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \dots & -a_{n-1}\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_0& {\beta }_1& \dots & {\beta }_{n-1}\end{array}\right]$$

   形式如上$A$阵称为友矩阵，若状态方程中的$A,b$具有这种形式，称为可控标准型；

   当$G(s)=b_n+\frac{N(s)}{D(s)}$时，$A,b$不变，$y=cx+b_{n}u$；

   $\frac{N(s)}{D(s)}$串联分解时系统的可控标准型状态变量图如下图所示：

   

   当$b_n=0$时，选取状态变量：
   $$\{\begin{array}{ll}& x_n=y\\ & x_i={\dot{x}}_{i+1}+a_{i}y-b_{i}u;i=1,2,\dots ,n-1\end{array}$$
   则系统的$A,b,c$矩阵为：
   $$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -a_0\\ 1& 0& \dots & 0& -a_1\\ 0& 1& \dots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_{n-1}\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \dots & 1\end{array}\right]$$
   若动态方程中的$A,c$具有这种形式称为可观测标准型；

   可控标准型与可观测标准型的各矩阵间的关系：
   $$A_c=A_o^T,b_c=c_o^T,c_c=b_o^T$$
   其中：下标$c$表示可控标准型；$o$表示可观测标准型；$T$为转置符号；

   实例分析：

   Example3： 设二阶系统微分方程为：
   $$\ddot{y}+2\zeta \omega \dot{y}+{\omega }^{2}y=T\dot{u}+u$$
   列写系统的可控标准型、可观测标准型动态方程，确定状态变量与输入、输出量的关系；

   解：

   系统的传递函数为：
   $$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{Ts+1}{s^2+2\zeta \omega s+{\omega }^2}$$
   可控标准型动态方程的各矩阵为：
   $$x_c=\left[\begin{array}{c}{x}_{c1}\\ x_{c_2}\end{array}\right],A_c=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }^2& -2\zeta \omega \end{array}\right],b_c=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],c_c=\left[\begin{array}{cc}1& T\end{array}\right]$$
   由$G(s)$串联分解并引入中间变量$z$有：
   $$\ddot{z}+2\zeta \omega \dot{z}+{\omega }^{2}z=u，y=T\dot{z}+z$$
   对$y$求导数并考虑上述关系式，可得：
   $$\dot{y}=T\ddot{z}+\dot{z}=(1-2\zeta \omega T)\dot{z}-{\omega }^{2}Tz+Tu$$
   令$x_{c1}=z,x_{c2}=\dot{z}$，可导出状态变量与输入、输出关系：
   $$\{\begin{array}{ll}& x_{c1}=[-T\dot{y}+(1-2\zeta \omega T)y+T^{2}u]/(1-2\zeta \omega T+{\omega }^2{T}^2)\\ & \\ & x_{c2}=(\dot{y}+{\omega }^{2}Ty-Tu)/(1-2\zeta \omega T+{\omega }^2{T}^2)\end{array}$$
   可观测标准型动态方程各矩阵为：
   $$x_o=\left[\begin{array}{c}{x}_{o1}\\ x_{o2}\end{array}\right],A_o=\left[\begin{array}{cc}0& -{\omega }^2\\ 1& -2\zeta \omega \end{array}\right],b_o=\left[\begin{array}{c}1\\ T\end{array}\right],c_o=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$$
   状态变量与输入、输出量的关系：
   $$\{\begin{array}{ll}& x_{o1}=\dot{y}+2\zeta \omega y-Tu\\ & x_{o2}=y\end{array}$$
   系统可控标准型与可观测标准型状态变量图：

   

2. $\frac{N(s)}{D(s)}$只含有单实极点情况。

   当$\frac{N(s)}{D(s)}$只含单实极点时，可以化为可控标准型或可观测标准型动态方程外，还可化为对角型动态方程，其$A$阵是一个对角阵；

   设$D(s)$可分解为：
   $$D(s)=(s-{\lambda }_1)(s-{\lambda }_2)\dots (s-{\lambda }_n)$$
   其中：${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$为系统的单实极点，则传递函数展成部分分式之和：
   $$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}=\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{s-{\lambda }_i}$$
   其中：$c_i={\left[\frac{N(s)}{D(s)}(s-{\lambda }_i)\right]|}_{s={\lambda }_i}$为$\frac{N(s)}{D(s)}$在极点${\lambda }_i$处的留数，且有：
   $$Y(s)=\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{s-{\lambda }_i}U(s)$$
   令状态变量为：
   $$X_i(s)=\frac{1}{s-{\lambda }_i}U(s);i=1,2,\dots ,n$$
   反变换结果：
   $${\dot{x}}_i(t)={\lambda }_i{x}_i(t)+u(t),y(t)=\sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i(t)$$
   向量-矩阵形式为：
   $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \dots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]u,y=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \dots & c_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$
   状态变量图如下图所示：

   

   若令状态变量：
   $$X_i(s)=\frac{c_i}{s-{\lambda }_i}U(s);i=1,2,\dots ,n$$
   则：
   $$Y(s)=\sum _{i=1}^n{X}_i(s)$$
   向量-矩阵形式为：
   $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \dots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]u,y=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$
   状态变量图如下图所示：

   

3. $\frac{N(s)}{D(s)}$含重实极点时的情况

   当传递函数除含单实极点外，还含有重实极点时，不仅可化为可控、可观测标准型，还可化为约当标准型动态方程，其$A$阵是一个含有约当块的矩阵。

   设$D(s)$可分解为：
   $$D(s)=(s-{\lambda }_1{)}^3(s-{\lambda }_4)\dots (s-{\lambda }_n)$$
   式中，${\lambda }_1$为三重实极点；${\lambda }_4,\dots ,{\lambda }_n$为单实极点，则传递函数可展成下列部分分式之和；
   $$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{c_{11}}{(s-{\lambda }_1{)}^3}+\frac{c_{12}}{(s-{\lambda }_1{)}^2}+\frac{c_{13}}{(s-{\lambda }_1)}+\sum _{i=4}^n\frac{c_i}{s-{\lambda }_i}$$
   状态变量分别选取：
   $$X_i(s)=\frac{1}{s-{\lambda }_i}U(s)和X_i(s)=\frac{c_i}{s-{\lambda }_i}U(s)$$
   可得向量-矩阵形式动态方程为：
   $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_{11}\\ {\dot{x}}_{12}\\ {\dot{x}}_{13}\\ {\dot{x}}_4\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{\lambda }_1& 1& & & & \\ & {\lambda }_1& 1& & & \\ & & {\lambda }_1& & & \\ & & & {\lambda }_4& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{11}\\ x_{12}\\ x_{13}\\ x_4\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]u$$

   $$y=\left[\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_4& \dots & c_n\end{array}\right]$$

   可控约当型动态方程状态变量图如下图所示：

   

   可观测约当型动态方程：
   $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_{11}\\ {\dot{x}}_{12}\\ {\dot{x}}_{13}\\ {\dot{x}}_4\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{\lambda }_1& & & & & \\ 1& {\lambda }_1& & & & \\ & 1& {\lambda }_1& & & \\ & & & {\lambda }_4& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{11}\\ x_{12}\\ x_{13}\\ x_4\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_{11}\\ c_{12}\\ c_{13}\\ c_4\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]u$$

   $$y=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 1& 1& \dots & 1\end{array}\right]x$$

   可观约当型动态方程状态变量图如下图所示：