第3章：欧姆定律

3.1 电压、电流与电阻的关系

欧姆定律指出：电流与电压成正比，与电阻成反比。即$I=\frac{V}{R}$

3.1.1 电压与电流之间的线性关系

数学上，线性指的是变量之间的关系在图形上是一条直线。线性方程所对应的直线可以通过或不通过原点。当直线通过原点时，变量间成正比关系，方程的形式是$y=kx$ ，换到欧姆定律里面就是：电阻R是常数。

【例3-1】在图3-3所示电路中，请说明如果电压增加到当前值的3倍，则电流也变为当前值的3倍。

【解】根据欧姆定律，当前电流为$I=\frac{V}{R}=\frac{10\mathrm{V}}{4.7\mathrm{k\Omega }}=2.13\mathrm{mA}$
当电压增加到当前值的三倍时，有电流$I_1=\frac{V_1}{R}=\frac{30\mathrm{V}}{4.7\mathrm{k\Omega }}=6.38\mathrm{mA}$

【同步练习】如果图3-3中的电压变为4倍，那么电流会变为4倍吗？
【答】会

【例3-2】假设在一个工作电压为25V的电阻电路中测量电流，电流表读数为50mA，后来发现电流下降到40mA。假设电阻没有改变，可以断定电压已经改变。问新的电压是多少？
【解】根据欧姆定律，电阻是不变的，不需要根据电阻值来计算新电压，电流变化的百分比即为电压变化的百分比，所以新电压为$V_1=V\times \frac{I_1}{I}=V\times \frac{40\mathrm{mA}}{50\mathrm{mA}}=V\times 80\%=25\mathrm{V}\times 80\%=20\mathrm{V}$

3.1.2 电流与电阻的反比例关系

欧姆定律指出，电流与电阻成反比，即I=V/R。当电阻减小时，电流上升；当电阻增加时，电流下降。例如，如果电源电压保持恒定，电阻减半，电流加倍；电阻加倍，电流减半。
取一个恒定的电压值(例如10V),然后计算图3-5a中在10～1000范围内几个电压值下的电流。计算结果如图3-5b所示。I与R的关系如图3-5c所示。当两个变量成反比例时，这两个变量的乘积是常数，方程的形式是$xy=k$。

课后习题

（1）欧姆定律描述了3个电气量之间的关系，这些量是什么？
【答】电流、电压和电阻。

（2）写出计算电流的欧姆定律公式。
【答】$I=\frac{V}{R}$

（3）写出计算电压的欧姆定律公式。
【答】$V=IR$

（4）写出计算电阻的欧姆定律公式。
【答】$R=\frac{V}{I}$

（5）如果一个定值电阻上的电压增加了3倍，电流是增加还是减少，电流改变多少？
【答】在一个定值电阻上，电压增加3倍，电流也增加3倍。

（6）如果一个固定电阻上的电压减半，电流会改变多少？
【答】在一个定值电阻上，电压减半，电流也减半。

（7） 电阻上的电压固定，测得电流是1A。替换成2倍的电阻后，测量的电流是多少？
【答】电压固定时，电阻与电流成反比，电阻增加2倍，电流减为原来的$\frac{1}{2}$，即电流为0.5A。

（8）在某电路上，电压加倍，并且电阻减半，那么电流是增加还是减少，如果电流发生改变，那么怎么改变？
【答】根据欧姆定律$I=\frac{V}{R}$，电压加倍，电阻减半，那么新电流是$I_1=\frac{2V}{\frac{1}{2}R}=4I$，即电流是增加了，电流增加了4倍。

（9）在某电路中，V=2V，I=10mA。如果V变为1V，I将等于多少？
【答】V减半，则I减半，即I为5mA。

（10）在一定电压下，I=3A，如果电压加倍，电流会是什么情况？
【答】电压加倍，电流加倍，电流变为6A。

分节习题

（1）在由电压源和电阻组成的电路中，描述下列情况下电流的变化。
a. 电压增加3倍
b. 电压降低75%
c. 电阻加倍
d. 电阻降低35%
e. 电压加倍，电阻减半
f. 电压加倍，电阻加倍
【答】同一电路，电阻不变
a. 电流增加3倍
b. 电流降低75%
c. 电流减半
d. 由$I=\frac{V}{R}$，新电流为$I_1=\frac{V}{R\times (1-35\%)}=\frac{V}{R\times (65\%)}=1.54V=(1+54\%)V$，即电流增加了54%
e. 电压加倍，电流加倍，电阻减半，电流再加倍，即电流变为4倍
f. 电压加倍，电流加倍，电阻加倍，电流减半，即电流不变

（2）当V和R的值已知时，说明用于计算I的公式。
【答】$I=\frac{V}{R}$

（3）当I和R的值已知时，说明用于计算V的公式。
【答】$V=IR$

（4）当V和I的值已知时，说明用于计算R的公式。
【答】$R=\frac{V}{I}$

（5）可变电压源与图3-21所示电路相连。从0V开始，以10 V步进至100 V。确定每个电压点的电流，并绘制V与I的关系图。该关系图是否为直线?图上显示的是什么?

【答】

图是一条直线，表示V和I之间的线性关系。

（6）在某一电路中，当V=1V时，I=5mA。计算同一电路中下列各电压对应的电流：
a. $V=1.5\mathrm{V}$
b. $V=2\mathrm{V}$
c. $V=3\mathrm{V}$
d.$V=4\mathrm{V}$
e. $V=10\mathrm{V}$
【答】电流与电压成正比
a. $I_a=I\times \frac{V_a}{V}=I\times \frac{1.5\mathrm{V}}{1\mathrm{V}}=7.5\mathrm{mA}$
b. $I_b=I\times \frac{V_b}{V}=I\times \frac{2\mathrm{V}}{1\mathrm{V}}=10\mathrm{mA}$
c. $I_c=I\times \frac{V_c}{V}=I\times \frac{3\mathrm{V}}{1\mathrm{V}}=15\mathrm{mA}$
d. $I_d=I\times \frac{V_d}{V}=I\times \frac{4\mathrm{V}}{1\mathrm{V}}=20\mathrm{mA}$
e. $I_e=I\times \frac{V_e}{V}=I\times \frac{10\mathrm{V}}{1\mathrm{V}}=50\mathrm{mA}$

（7）图3-22是3个电阻的电流与电压的关系图。计算$R_1,R_2,R_3$.

【答】
$R_1=\frac{3}{6}=0.5\Omega$
$R_2=\frac{6}{6}=1\Omega$
$R_2=\frac{6}{3}=2\Omega$

（8）绘制四色环电阻的电流-电压关系图，色环为灰色、红色、红色、金色。（电阻相关请见：2.5 电阻 ）

【答】灰（第一位是8），红（第二位是2），红（后面跟着2个0），金（阻值公差±5%），则该电阻为8200Ω±5%=8.2kΩ±5%。


（9）用色环为棕色、绿色、灰色、棕色、红色绘制五色环电阻的电流-电压关系图。
【答】棕（第一位是1），绿（第二位是5），灰（第三位是8），棕（后面跟着1个0），红（阻值公差是±2%），则该电阻为1580Ω±2%=1.58kΩ±2%


（10）计算图3-23中每个电路的电流。

【答】根据欧姆定律
$I_a=\frac{5\mathrm{V}}{3.3\mathrm{k\Omega }}=\frac{5\mathrm{V}}{3300\mathrm{\Omega }}=1.5\mathrm{mA}$
$I_b=\frac{7.5\mathrm{V}}{150\mathrm{k\Omega }}=\frac{7.5\mathrm{V}}{150000\mathrm{\Omega }}=50\mu \mathrm{A}$
$I_c=\frac{500\mathrm{mV}}{2.2\mathrm{M\Omega }}=\frac{0.5\mathrm{V}}{2.2\times 10^6\mathrm{\Omega }}=0.227\mu \mathrm{A}=227\mathrm{nA}$

（11）正在测量一个由10V电池供电的电路中的电流。电流表读数为50 mA,后来发现由流降到了30 mA。排除了电阻变化的可能性，得出了电压已经改变的结论。问电池电压变化了多少?它的新值是多少?

【答】电压和电流成正比，所以新电压为$V_1=\frac{I_1}{I}=\frac{30\mathrm{mA}}{50\mathrm{mA}}=6V$，即$△V=10\mathrm{V}-6V=4V$，所以电池电压变化了4V，它的新值是6V.

（12）
a. 如果希望通过改变20V电源电压，将电阻中的电流从10 mA增加到15 mA，那么电压应该改变多少？
b. 电源电压的新值是多少？
c. 电阻的阻值是多少？
【答】电压和电流成正比
$V_{a_1}=20\mathrm{V}\times \frac{15\mathrm{mA}}{10\mathrm{mA}}=30\mathrm{V}$，即$△V=30\mathrm{V}-20V=10V$，$R=\frac{V}{I}=\frac{20\mathrm{V}}{10\mathrm{mA}}=\frac{20\mathrm{V}}{10\times 10^{-3}\mathrm{A}}=2\mathrm{k\Omega }$
故电压增加了10V，电压的新值是30V，电阻阻值为2kΩ .

（13）为以下每一个电阻绘制步进为10V且范围为10～100 V的电流与电压关系图：
a. 1.0Ω
b. 5.0Ω
c. 20Ω
d. 100Ω
【答】


（14）问题13中的图表是否表示电压和电流之间的线性关系？请解释。
【答】问题13中的图表表示了电压和电流之间的线性关系，电压和电流成正比例关系，电流和电阻成反比例关系，其中电阻阻值是常数。

（15）图3-24显示了某个灯泡的伏安曲线。从图表上看，随着电压的增加，电阻会发生什么变化?

【答】当电压为25V时，电阻$R=\frac{V}{I}=\frac{25\mathrm{V}}{1.25\mathrm{A}}=20\mathrm{\Omega }$，……，当电压为125V时，电阻$R=\frac{V}{I}=\frac{125\mathrm{V}}{1\mathrm{A}}=125\mathrm{\Omega }$，故电阻随着电压的增加而增加。

（16）对于图3-24所示的灯泡，当电压为25V时，电阻是多少？
【答】当电压为25V时，电阻$R=\frac{V}{I}=\frac{25\mathrm{V}}{1.25\mathrm{A}}=20\mathrm{\Omega }$