[数学建模] 计算差分方程的收敛点

1. 差分方程：差分方程描述的是在离散时间下系统状态之间的关系。与微分方程不同，差分方程处理的是在不同时间点上系统状态的变化。通常用来模拟动态系统，如在离散时间点上更新状态并预测未来状态。

2. 收敛点：在数学或计算中，收敛点指的是序列、函数或方程不断接近某个特定值或集合的点。当序列或函数的值趋于某个值或集合时，我们称该值或集合为收敛点。在计算中，收敛点表示在进行迭代或计算的过程中，值不再发生明显变化的点。

3. 计算差分方程的收敛点：这指的是在迭代计算差分方程的过程中，找到一个稳定的值或一组值，这些值不再发生显著的变化。这些稳定的值就是差分方程的收敛点，它们表示在系统模拟中达到的稳定状态或者系统在长时间运行后的状态。在实际应用中，找到差分方程的收敛点可以帮助我们理解系统的稳定行为和预测未来的发展趋势。

一、题目要求

取b=[2.5,3.5]，间隔0.01取值，计算差分方程的收敛点。

二、解答过程

1. 程序源代码

b=[2.5:0.01:3.5];
x=zeros(100,length(b));
x0=0.02;
x(1,:)=b.*x0.*(1-x0);
for k=1:399
    x(k+1,:)=b.*x(k,:).*(1-x(k,:));
end
k=(1:400)';
disp(num2str([NaN,b;k,x(k,:)],4));

2. 列表记录对应b的不同取值的收敛点

表 1 b=[2.50,2.69]间隔0.01的收敛点

表 2 b=[2.70,2.89]间隔0.01的收敛点

表 3 b=[2.90,3.09]间隔0.01的收敛点

表 4 b=[3.10,3.29]间隔0.01的收敛点

表 5 b=[3.30,3.50]间隔0.01的收敛点

3. 作出收敛点关于b的取值图
   利用MATLAB作图，代码如下：

clc,clear
y=@(b,x)b*x*(1-x);
x0=0.2;
for b=2.5:0.01:3.5
    for i=1:400
        x0=y(b,x0);
        plot(b,x0,'.b')
        hold on;
   end
end
title('收敛点关于b的取值图');
txt = xlabel('b的取值');
set(txt, 'Interpreter', 'latex');
txt = ylabel('平衡点');
set(txt, 'Interpreter', 'latex');
grid

图 1 收敛点关于b的取值图