实验十：非线性函数极值求解
练习二
1.求解极值问题:
(1) 
s.t. 
function [c,ceq]=fun(x)
c(1)=-(25-x(1)^2-x(2)^2);
c(2)=-(7-x(1)^2+x(2)^2);
ceq=0;
换一个窗口运行下面的程序：
clc;clear;
f=@(x)-2*x(1)-x(2);
a=[];
b=[];
aeq=[];beq=[];
u=[5;10];
l=[0;0];
x0=[1;0];
[x,min]=fmincon(f,x0,a,b,aeq,beq,l,u,@fun)
x =
4.0000
3.0000
min =
-11.0000
注：创立的fun函数中，第一个返回值为非线性不等式且是小于等于0的，第二个为非线性等式，注意这里的细节。
(2) 
function [c,ceq]=fun1(x)
c(1)=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);
c(2)=-x(1)*x(2)+10;
ceq=0;
在另一个窗口运行一下程序：
clc;clear;
f=@(x)exp(x(1)+x(2))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
a=[];
b=[];
aeq=[];beq=[];
u=[];
l=[0;0];
x0=[1;0];
[x,min]=fmincon(f,x0,a,b,aeq,beq,l,u,@fun1)
x =
0.9477
10.5523
min =
2.8470e+07
注意：创建函数时名字不要和第一问重复，否则后出错。
练习三
1.求解二次规划问题:
（1）
clc;clear;
h=[0.5,0
0,0.5];
c=[-1;-2];
a=[2,3;1,4];
b=[6;5];
aeq=[];beq=[];
u=[];
l=[0;0];
[x,min]=quadprog(h,c,a,b,aeq,beq,l,u)
x =
1.2353
0.9412
min =
-2.5147
因为是二次规划问题，h矩阵为正定矩阵，则局部最小值即为全局最小值。
（2）
clc;clear;
h=-[-0.5,0.5
0.5,-1];
c=[2;6];
a=[1,1;-1,2;2,1];
b=[2;2;3];
aeq=[];beq=[];
u=[];
l=[0;0];
[x,min]=quadprog(h,c,a,b,aeq,beq,l,u)
x =
1.0e-11 *
0.0109
0.3751
min =
2.2725e-11
由于算法存在微小误差，经过观察得知，当x1和x2均取0时，有最大值为0；
2.某3只股票49个周末的收盘价如表10.1所示.
表10.1 A、B、C三只股票49个周末的收盘价
| 周数 | A股票 | B股票 | C股票 | 周数 | A股票 | B股票 | C股票 |
| 1 | 10.3 | 0.77 | 10.6 | 28 | 12.4 | 1.32 | 15.6 |
| 2 | 10.6 | 0.81 | 11.2 | 29 | 12.4 | 1.32 | 15.5 |
| 3 | 10.8 | 0.89 | 11.9 | 30 | 12.7 | 1.29 | 15.8 |
| 4 | 10.7 | 0.93 | 11.7 | 31 | 12.5 | 1.32 | 15.4 |
| 5 | 10.8 | 0.90 | 11.6 | 32 | 12.3 | 1.32 | 14.9 |
| 6 | 10.8 | 0.93 | 11 | 33 | 12.6 | 1.33 | 15.3 |
| 7 | 11.2 | 1.01 | 12.1 | 34 | 12.4 | 1.37 | 15.6 |
| 8 | 11.3 | 0.96 | 13.2 | 35 | 12.6 | 1.48 | 14.2 |
| 9 | 11 | 2 | 12.6 | 36 | 12.1 | 1.49 | 13.8 |
| 10 | 10.9 | 1.04 | 12.6 | 37 | 11.9 | 1.51 | 14 |
| 11 | 10.6 | 1.04 | 12.6 | 38 | 11.9 | 1.32 | 13.8 |
| 12 | 10.9 | 1.09 | 12.6 | 39 | 12.4 | 1.32 | 14.2 |
| 13 | 11.5 | 1.1 | 12.7 | 40 | 12.1 | 1.3 | 13.8 |
| 14 | 11.5 | 1.26 | 13.6 | 41 | 12 | 1.28 | 14 |
| 15 | 11.8 | 1.17 | 14.2 | 42 | 12.4 | 1.17 | 14.3 |
| 16 | 12.2 | 1.06 | 14.7 | 43 | 12 | 1.14 | 13.6 |
| 17 | 12 | 1.13 | 14.4 | 44 | 12 | 1.08 | 14.1 |
| 18 | 12.1 | 1.09 | 14.3 | 45 | 12 | 1.09 | 14.4 |
| 19 | 12.3 | 1.03 | 15 | 46 | 12.1 | 1.07 | 14.6 |
| 20 | 11.4 | 1.08 | 14.9 | 47 | 12 | 1.2 | 14.4 |
| 21 | 11.4 | 1.08 | 13.4 | 48 | 12 | 1.24 | 14.4 |
| 22 | 11.9 | 1.12 | 14 | 49 | 12.1 | 1.26 | 14.5 |
| 23 | 11.9 | 1.12 | 14.4 | ||||
| 24 | 12 | 1.15 | 14.7 | ||||
| 25 | 11.8 | 1.2 | 14.3 | ||||
| 26 | 11.8 | 1.2 | 14.7 | ||||
| 27 | 12.2 | 1.24 | 14.9 |
(1)分别计算这3只股票2-49周的周收益率、平均收益率和周收益率的协方差矩阵;
clc;clear;
x1=[10.3,10.6,10.8,10.7,10.8,10.8,11.2,11.3,11,10.9,10.6,10.9,11.5,11.5,11.8,12.2,12,12.1,12.3,11.4,11.4,11.9,11.9,12,11.8,11.8,12.2,12.4,12.4,12.7,12.5,12.3,12.6,12.4,12.6,12.1,11.9,11.9,12.4,12.1,12,12.4,12,12,12,12.1,12,12,12.1];
x2=[0.77,0.81,0.89,0.93,0.90,0.93,1.01,0.96,2,1.04,1.04,1.09,1.1,1.26,1.17,1.06,1.13,1.9,1.03,1.08,1.08,1.12,1.12,1.15,1.2,1.2,1.24,1.32,1.32,1.29,1.32,1.32,1.33,1.37,1.48,1.49,1.51,1.32,1.32,1.3,1.28,1.17,1.14,1.08,1.09,1.07,1.2,1.24,1.26];
x3=[10.6,11.2,11.9,11.7,11.6,11,12.1,13.2,12.6,12.6,12.6,12.6,12.7,13.6,14.2,14.7,14.4,14.3,15,14.9,13.4,14,14.4,14.7,14.3,14.7,14.9,15.6,15.5,15.8,15.4,14.9,15.3,15.6,14.2,13.8,14,13.8,14.2,13.8,14,14.3,13.6,14.1,14.4,14.6,14.4,14.4,14.5];
m1=[];m2=[];m3=[];
for i=2:49
k1=(x1(i)-x1(i-1))/x1(i-1);
k2=(x2(i)-x2(i-1))/x2(i-1);
k3=(x3(i)-x3(i-1))/x3(i-1);
m1=[m1,k1];
m2=[m2,k2];
m3=[m3,k3];
end
m1,m2,m3
a1=mean(m1),a2=mean(m2),a3=mean(m3)
cov(m1,m2),cov(m1,m3),cov(m2,m3)
m1 =
列 1 至 10
0.0291 0.0189 -0.0093 0.0093 0 0.0370 0.0089 -0.0265 -0.0091 -0.0275
列 11 至 20
0.0283 0.0550 0 0.0261 0.0339 -0.0164 0.0083 0.0165 -0.0732
列 21 至 30
0.0439 0 0.0084 -0.0167 0 0.0339 0.0164 0 0.0242 -0.015
列 31 至 40
-0.0160 0.0244 -0.0159 0.0161 -0.0397 -0.0165 0 0.0420 -0.0242 -0.0083
列 41 至 48
0.0333 -0.0323 0 0 0.0083 -0.0083 0 0.0083
m2 =
列 1 至 10
0.0519 0.0988 0.0449 -0.0323 0.0333 0.0860 -0.0495 1.0833 -0.4800
列 11 至 20
0.0481 0.0092 0.1455 -0.0714 -0.0940 0.0660 0.6814 -0.4579 0.0485
列 21 至 30
0.0370 0 0.0268 0.0435 0 0.0333 0.0645 0 -0.0227 0.0233
列 31 至 40
0 0.0076 0.0301 0.0803 0.0068 0.0134 -0.1258 0 -0.0152 -0.0154
列 41 至 48
-0.0859 -0.0256 -0.0526 0.0093 -0.0183 0.1215 0.0333 0.0161
m3 =
列 1 至 10
0.0566 0.0625 -0.0168 -0.0085 -0.0517 0.1000 0.0909 -0.0455 0 0
列 11 至 20
0 0.0079 0.0709 0.0441 0.0352 -0.0204 -0.0069 0.0490 -0.0067 -0.1007
列 21 至 30
0.0448 0.0286 0.0208 -0.0272 0.0280 0.0136 0.0470 -0.0064 0.0194 -0.0253
列 31 至 40
-0.0325 0.0268 0.0196 -0.0897 -0.0282 0.0145 -0.0143 0.0290 -0.0282 0.0145
列 41 至 48
0.0214 -0.0490 0.0368 0.0213 0.0139 -0.0137 0 0.0069
a1 =
0.0037
a2 =
0.0291
a3 =
0.0073
ans =
0.0006 -0.0007
-0.0007 0.0462
ans =
0.0006 0.0004
0.0004 0.0016
ans =
0.0462 -0.0017
-0.0017 0.0016
注：协方差矩阵中每个数代表的含义为：
以cov(x,y)为例，x的方差，x和y的协方差，y和x的协方差，y的方差。
(2)在允许卖空的条件下,给出这3只股票风险最小的投资策略.
根据以上数据构造数学模型：
d=0.5;
h=[0.0006,-0.0007,0.0004
-0.0007,0.0462,-0.0017
0.0004,-0.0017,0.0016];
c=[];
a=-[0.0037,0.0291,0.0073];
b=[d];
aeq=[1,1,1];
beq=[1];
u=[];
l=[0;0;0];
[x,min]=quadprog(h,c,a,b,aeq,beq,l,u)
x =
0.8106
0.0296
0.1598
min =
2.6477e-04
我们假设投资人想要收益率为50%，那么按照上边的投资方案购买风险最小。
本文由作者自创，由于时间原因，难免出现些许错误，还请大家多多指正。创作不易，请大家多多支持。
