刘谦春晚魔术的数学原理

前言

2024 春晚刘谦的第二个魔术很多人跟着一起做了，都觉得非常神奇。我也跟着操作了一遍，结果一眼就让我看出了背后的数学原理。下面给大家介绍一下。

魔术介绍

先来介绍一下这个魔术是怎么做的。

首先准备 4 张不同的扑克牌，将这 4 张牌从中间一分为二，将两部分叠在一起。然后根据你的名字有几个字，就几张牌一张一张地依此从顶部放到底部。

接着拿起顶部的 3 张牌，插到牌堆的中间（随机位置，下同）。然后将最上面的一张牌拿出放好——这是最后要拼接牌的其中一部分。

放好后，按南北方，认为自己是南方人的把最上面的 1 张插入到中间，认为自己是北方人的把最上面的 2 张插入到中间，不确定的把最上面的 3 张插入到中间。

然后按男女，男生丢掉最上面 1 张，女生丢掉最上面 2 张。

接着将 7 张牌一张一张地依此从顶部放到底部。

然后重复如下操作：将第一张牌放到最下面，将第二张牌（此时在顶部）扔掉。直到手中只剩一张牌。

此时见证奇迹的时刻到了，手中剩下的一张牌跟之前拿出的牌刚好能拼成一张完整的牌。

魔术揭秘

这个魔术没有什么高深的数学原理，就是同余理论。我们要证明的就是最终选出的两张牌一定 $\mathrm{mod}4$ 同余。

我们来演示一下整个过程中牌型的变化。

STEP 1

为了便于演示，我们假设这 4 张牌为 $A_1,A_2,A_3,A_4$。将其一分为二叠在一起后，整个牌堆为 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_1,A_2,A_3,A_4$。我们可以发现，此时配对的牌距离为 $4$。

STEP 2

接着根据名字字数依此将顶部牌放到底部是一个环形栈操作，无论执行多少次，都不影响配对牌之间的距离。这一步其实是个故弄玄虚的障眼法，让人误以为各自名字字数不同，大家的牌型是不同的。如果你将牌堆视为一个”环“，就会发现其实这一步没有改变牌型结构。以我自己为例，我的名字只有 2 个字，因此将两张牌依此从牌顶移到牌底后，整个牌堆变为 $A_3,A_4,A_1,A_2,A_3,A_4,A_1,A_2,$。

STEP 3

接下来的一步很关键，将顶部的 3 张牌插到牌堆的中间随机位置，然后拿走顶部的牌。这里必须是 3 张，因为只有这样，拿走的牌才能与牌底的牌配对。此时我们只需要关注能与拿走的牌配对的牌的位置就行了，其余牌的位置都无关紧要。因此我们可以将牌堆简化为 $C,C,C,C,C,C,A$，其中 A 是我们关注的要配对的牌。

STEP 4

有了上面的化简，接下来的按南北方插入就很容发现这部操作不影响牌型。因为是插入，我们关注的牌 $A$ 始终在底部。因此这也是一步故弄玄虚的障眼法。

STEP 5

接着男生丢掉最上面 1 张，女生丢掉最上面 2 张。此时会出现两种情况：

$$\begin{gathered} \text{男生}C,C,C,C,C,A \\ \text{女生}C,C,C,C,A \end{gathered}$$

后面我们会证明这个差异其实不重要，可以抹平。

STEP 6

将 7 张牌一张一张地依此从顶部放到底部。这依然是个”环形栈“操作，不改变牌型结构，但步最重要的作用是将底部牌移到一个正确的位置，为下一步做准备。移动后的牌型为：

$$\begin{gathered} \text{男生}C,C,C,C,A,C \\ \text{女生}C,C,A,C,C \end{gathered}$$

STEP 7

重复如下操作：将第一张牌放到最下面，将第二张牌（此时在顶部）扔掉。直到手中只剩一张牌。

这个过程相当于从环上（设位置下标从 $1$ 开始）不断丢掉 $\mathrm{mod}2\equiv 0$ 的牌。并且我们发现，男生只要做一次，牌型就会变为 $C,C,A,C,C$，跟女生的牌型一样。因此我们统一看女生的牌型变化即可

$$\begin{array}{rl}\text{第一次}& A,C,C,C\\ \text{第二次}& C,C,A\\ \text{第三次}& A,C\\ \text{第四次}& A\end{array}$$

大家可以发现，最终剩下的牌就是能够配对成功的牌。

总结

这个魔术就是个数学问题，中间有加入了一些故弄玄虚的障眼法。当我们摒弃掉这些迷惑人的手段，关注化简后问题的结构，一切就变得非常清晰了。魔术，也不过如此！