牛客——最短Hamilton路径（动态规划）

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来源：牛客网

题目描述

给定一张 n(n≤20)(n \leq 20)(n≤20) 个点的带权无向图，点从0∼n−10 \sim n-10∼n−1标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入描述:

第一行一个整数n。
接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（一个不超过10710^7107的正整数，记为a[i,j]）。
对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]a[x,y]+a[y,z] \geq a[x,z]a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出描述:

一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[1<<20][20],dt[20][20];
int main(){
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[1][0]=0;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			cin>>dt[i][j];
	for(int i=1;i<1<<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			if(i>>j&1)
				for(int k=0;k<n;k++)
					if((i^1<<j)>>k&1)
						f[i][j]=min(f[i][j],f[i^1<<j][k]+dt[k][j]);
	cout<<f[(1<<n)-1][n-1];
	return 0;
}

if(i>>j&1) 是一个位操作表达式，用于判断节点 j 是否在当前子集 i 中。

在这段代码中，i 是一个表示节点集合的二进制数，而 j 是一个表示节点的索引。通过位操作 i>>j 可以将 i 的二进制表示向右移动 j 位。然后 & 1 操作将右移后的结果与二进制数 1 进行按位与操作。

二进制数 1 的二进制表示为 0001，按位与操作 & 1 将保留右移后结果的最后一位，其余位都被置为0。如果最后一位是1，则结果为1；如果最后一位是0，则结果为0。

所以，if(i>>j&1) 的含义是判断节点 j 是否在当前子集 i 中。如果节点 j 在子集 i 中，则 i>>j&1 的结果为1，进入 if 语句中的代码块。如果节点 j 不在子集 i 中，则 i>>j&1 的结果为0，不进入 if 语句中的代码块。

通过这个判断，可以在遍历子集的过程中，选择只处理当前子集中包含特定节点的情况，以达到有效地计算最短路径长度的目的。

if((i^1<<j)>>k&1) 是一个位操作表达式，用于判断节点 k 是否在子集 i 中，并且排除节点 j。

在这个表达式中，i 是一个表示节点集合的二进制数，j 和 k 是节点的索引。

让我们逐步解释这个表达式的含义：

1<<j：这是一个左移操作，将二进制数 1 向左移动 j 位。左移操作将数的二进制表示向左移动指定的位数，并在右侧填充0。例如，对于 j = 2，1<<2 的结果为 100。
i^1<<j：这是一个按位异或操作，将子集 i 和左移后的值 1<<j 进行按位异或操作。按位异或操作将对应位置上的两个二进制数的位进行逻辑异或运算，如果两个位不同，则结果位为1，否则为0。
(i^1<<j)>>k：这是一个右移操作，将按位异或后的结果向右移动 k 位。
(i^1<<j)>>k&1：这是一个按位与操作，将右移后的结果与二进制数 1 进行按位与操作。