【动态规划】【子序列除重】【C++算法】1987不同的好子序列数目

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动态规划汇总

LeetCode1987:不同的好子序列数目

给你一个二进制字符串 binary 。 binary 的一个子序列如果是非空的且没有前导 0 （除非数字是 “0” 本身），那么它就是一个好的子序列。
请你找到 binary 不同好子序列的数目。
比方说，如果 binary = “001” ，那么所有好子序列为 [“0”, “0”, “1”] ，所以不同的好子序列为 “0” 和 “1” 。注意，子序列 “00” ，“01” 和 “001” 不是好的，因为它们有前导 0 。
请你返回 binary 中不同好子序列的数目。由于答案可能很大，请将它对 109 + 7 取余后返回。
一个子序列指的是从原数组中删除若干个（可以一个也不删除）元素后，不改变剩余元素顺序得到的序列。
示例 1：
输入：binary = “001”
输出：2
解释：好的二进制子序列为 [“0”, “0”, “1”] 。
不同的好子序列为 “0” 和 “1” 。
示例 2：
输入：binary = “11”
输出：2
解释：好的二进制子序列为 [“1”, “1”, “11”] 。
不同的好子序列为 “1” 和 “11” 。
示例 3：
输入：binary = “101”
输出：5
解释：好的二进制子序列为 [“1”, “0”, “1”, “10”, “11”, “101”] 。
不同的好子序列为 “0” ，“1” ，“10” ，“11” 和 “101” 。
提示：
1 <= binary.length <= 10⁵
binary 只含有 ‘0’ 和 ‘1’ 。

动态规划

除0外，不存在以0开始的子序列。如果存在0，则必定存在子序列{0}。以下的分析排除{0}。
排除{0}后任意合法子序列在后面增加0或1，都是合法子序列。

动态规划的状态表示

pre[0] 从binary[0,i)中选择若干字符，形成以0结束的合法子序列数量。pre[1]以1结束的子序列数量。
dp和pre类似，对应的是binary[0,i+1)。

动态规划的转移方程

binary[i]为1

$\begin{cases} pre[0] & 不选择当前字符，以0结束的字符数量 & 情况一 \\ pre[1] & 不选择当前字符，以1结束的字符数 & 情况二 \\ pre[0]+pre[1]+1 & 选择当前字符，以1结束的字符数量。 & 情况三 \\ \end{cases}$
情况三又可以分三种情况：
$\begin{cases} pre[0] & 倒数第二个字符是0 & 情况三一 \\ pre[1] & 倒数第二个字符是1 & 情况三二 \\ 1 & 子序列{1}。 & 情况三三 \\ \end{cases}$
情况一、情况二、情况三内部不存在重复情况。
情况一以0结尾，情况二、三以1结尾，所以情况一和情况二（三）不会重复。
情况二所有的情况都和情况三重合，情况二分类：
$\begin{cases} 倒数第二个字符是0 & 被情况三一包含 \\ 倒数第二个字符是1 & 被情况三二包含 \\ 子序列{1}。 & 和情况三三重复\\ \end{cases}$

总结：
dp[1] = pre[0]+pre[1]+1
dp[0] = pre[0]

binary[i]为0

不能为子序列{0}
dp[0] = pre[0]+pre[1]
dp[1] = pre[1]

动态规划的初始值

pre 全为0。

动态规划的返回值

pre之和。

代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	int numberOfUniqueGoodSubsequences(string binary) {
		vector<C1097Int<>> pre(2);
		for (const auto& ch : binary)
		{
			pre = {('0'==ch)? (pre[0] + pre[1]):pre[0],('1' == ch) ? (pre[0] + pre[1]+1) : pre[1] };
		}
		int iZero = std::count(binary.begin(), binary.end(), '0') > 0;
		return (pre[0] + pre[1] + iZero).ToInt();
	}
};

2023年2月

class C1097Int
{
public:
C1097Int(int iData = 0) :m_iData(iData)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod;
return this;
}
C1097Int operator(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData o.m_iData) % s_iMod;
}
C1097Int& operator=(const C1097Int& o)
{
m_iData =((long long)m_iData *o.m_iData) % s_iMod;
return *this;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int& pow( int n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()
{
return pow(s_iMod - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
static const int s_iMod = 1000000007;
};

int operator+(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

int operator*(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

class Solution {
public:
int numberOfUniqueGoodSubsequences(string binary) {
vector pre(2);
for (const auto& ch : binary)
{
vector dp(2);
if (‘0’ == ch)
{
pre[0] += pre[1];
}
else
{
pre[1] += pre[0];
pre[1] += 1;
}
}
return (pre[0] + pre[1] + (int)(-1 != binary.find(‘0’))).ToInt();
}
};

2023年7月

class Solution {
public:
int numberOfUniqueGoodSubsequences(string binary) {
bool bHasZero = binary[0] == ‘0’;
vector<C1097Int<>> pre(2);
pre[1] = (binary[0] == ‘1’);
for (int i = 1; i < binary.size(); i++)
{
vector<C1097Int<>> dp = pre ;
if (‘0’ == binary[i])
{
bHasZero = true;
dp[0] = pre[0] + pre[1];
}
else
{
dp[1] = pre[0] + pre[1] + 1;
}
pre.swap(dp);
}
return (C1097Int<>(bHasZero) + pre[0] + pre[1]).ToInt();

};

扩展阅读

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