【图论】基环树

基环树其实并不是树，是指有n个点n条边的图，我们知道n个点n-1条边的连通图是树，再加一条边就会形成一个环，所以基环树中一定有一个环，长下面这样：
在这里插入图片描述
由基环树可以引申出基环内向树和基环外向树

基环内向树如下，特点是每个点的出度为1
在这里插入图片描述
基环外向树如下，特点是每个点的入度为1

下面放点题，做到相关题目随时更新

基环树+组合数学

CF 1454E Number of Simple Paths

先记录环上的点，每个环上的点引出去的子树中，两点之间都只有一条路径，然后子树和其他点之间都有两条路径（因为有个环），可以循环计算每个子树，答案累加即可

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

#define int long long

void solve()
{
	int n;
    cin >> n;
    vector<vector<int>> g(n + 1);
    vector<int> in(n + 1);
    for (int i = 0 ;i < n; i ++ )
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        g[a].push_back(b);
        g[b].push_back(a);
        in[a] ++ , in[b] ++ ;
    }
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        if (in[i] == 1) q.push(i);
    }
    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        for (int i = 0; i < g[t].size(); i ++ )
        {
            int j = g[t][i];
            in[j] -- ;
            if (in[j] == 1) q.push(j);
        }
    }
    vector<int> huan;
    vector<int> st(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        if (in[i] > 1)
        {
            huan.push_back(i);
            st[i] = true;
        }
    }
    int ans = 0, sumtmp, sum = 0;
    vector<bool> visited(n + 1);
    function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int fa)
    {
        sumtmp ++ ;
        if (visited[u]) return;
        visited[u] = true;
        for (int i = 0; i < g[u].size(); i ++ )
        {
            int j = g[u][i];
            if (j == fa || visited[j] || st[j]) continue;
            dfs(j, u);
        }
        return;
    };
    for (auto i : huan)
    {
        sumtmp = 0;
        dfs(i, -1);
        ans += sumtmp * (sumtmp - 1) / 2;
        ans += (sumtmp - 1) * (n - sumtmp - sum) * 2;
        sum += sumtmp - 1;
    }
    ans += huan.size() * (huan.size() - 1);
    cout << ans << '\n';
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	int t = 1;
	cin >> t;
	while (t -- )
	{
		solve();
	}
}

基环内向树+dfs

牛客寒假集训1K 牛镇公务员考试

基环内向树（准确的说应该是森林）

编号 i 向 a[i] 连边，表示对其限制，我们可以发现环之外的链对答案没什么影响，因为确定了环上一点，可以倒推出链上的所有答案（原因就是约束关系），所以我们在环上任取一点，枚举这个点的五种答案，然后遍历一下环看这个答案是否合法

因为不保证联通，所以需要遍历每一个点

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
using i64 = long long;

typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
typedef pair<int, PII> PIII;

const int N = 1000010;
const int maxn = 1e6 + 1;
const int mod = 998244353;

void solve()
{
	int n;
	cin >> n;
	vector<int> a(n + 1);
	vector<string> s(n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i] >> s[i];
	vector<bool> st(n + 1);
	int ans = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		if (st[i]) continue;
		int j = i;
		vector<int> huan;
		for (; !st[j]; j = a[j])
		{
			huan.push_back(j);
			st[j] = true;
		}
		auto iter = find(huan.begin(), huan.end(), j);
		if (iter == huan.end()) continue;
		huan = {iter, huan.end()};
		int tmp = 0;
		for (int k = 0; k < 5; k ++ )
		{
			int h = k;
			for (auto t : huan) h = (int)(s[t][h] - 'A');
			tmp += h == k;
		}
		ans = ans * tmp % mod;
	}
	cout << ans << '\n';
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	int t = 1;
	// cin >> t;
	while (t -- )
	{
		solve();
	}
}