4. 树（二叉树、二叉查找树/二叉排序树/二叉搜索树、平衡二叉树、平衡二叉B树/红黑树）

树

- 1. 二叉树
- - 1.1 概述
  - 1.2 特点
  - 1.3 二叉树遍历方式
  - - 1.3.1 前序遍历(先序遍历)
    - 1.3.2 中序遍历
    - 1.3.3 后序遍历
    - 1.3.4 层序遍历
- 2. 二叉查找树（二叉排序树、二叉搜索树）
- - 2.1 概述
  - 2.2 特点
- 3. 平衡二叉树
- - 3.1 概述
  - 3.2 特点
  - 3.3 旋转
  - - 3.3.1 左旋
    - 3.3.2 右旋
  - 3.4 平衡二叉树旋转的四种情况
  - - 3.4.1 左左
    - 3.4.2 左右
    - 3.4.3 右右
    - 3.4.4 右左
- 4. 红黑树（平衡二叉B树）
- - 4.1 概述
  - 4.2 特点
  - 4.3 规则
  - 4.4 添加节点

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								二叉树
								  |
								  | （由于二叉树存入的数据是无规则的）
								  |
					二叉查找树（二叉排序树、二叉搜索树）  
								  |
								  |	（由于二叉做查找树的两条子树的高度可能相差太大）
								  |
							  平衡二叉树	
							      |
								  |	（由于平衡二叉树添加数据可能需要旋转，浪费时间）
								  |
					     红黑树（平衡二叉B树）

1. 二叉树

1.1 概述

二叉树是一种常见的树状数据结构，由节点组成，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

二叉树中,任意一个节点的度要小于等于2
左子节点的值小于或等于当前节点的值
右子节点的值大于当前节点的值。
二叉树可以为空树，也可以只有一个根节点。

节点内部结构：

在这里插入图片描述

二叉树结构图：

在这里插入图片描述

1.2 特点

二叉树是一种常见的树状数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。

具有以下特点：

根节点：树的顶部节点，没有父节点。
叶子节点：没有子节点的节点。
左子节点和右子节点：一个节点只能有最多两个子节点，其中一个是左子节点，另一个是右子节点。
子树：每个节点都可以作为根节点，形成一颗子树。
深度：树中节点的最大层次数。
高度：树中节点的最大深度。

1.3 二叉树遍历方式

1.3.1 前序遍历(先序遍历)

前序遍历(先序遍历）: 从根节点开始，然后按照当前节点，左子结点，右子节点的顺序遍历

前序遍历是二叉树遍历的一种方式，也被称为先序遍历。

在前序遍历中，先访问根节点，然后按照先左后右的顺序继续遍历左子树和右子树。

前序遍历的步骤：

访问当前节点。
递归地前序遍历左子树。
递归地前序遍历右子树。

举个例子，考虑如下的二叉树：

     A
   /   \
  B     C
 / \   / \
D   E F   G

通过前序遍历，节点的访问顺序将会是：A - B - D - E - C - F - G。具体操作如下：

访问节点 A。
递归前序遍历左子树，访问节点 B。
递归前序遍历左子树，访问节点 D。
左子树为空，返回到节点 B。
递归前序遍历右子树，访问节点 E。
右子树为空，返回到节点 B。
返回到节点 A。
递归前序遍历右子树，访问节点 C。
递归前序遍历左子树，访问节点 F。
左子树为空，返回到节点 C。
递归前序遍历右子树，访问节点 G。
右子树为空，返回到节点 C。

前序遍历的结果是：A - B - D - E - C - F - G。

1.3.2 中序遍历

中序遍历:从最左边的子节点开始，然后按照左子结点，当前节点，右子节点的顺序遍历

中序遍历是二叉树遍历的一种方式。

在中序遍历中，先访问左子树，然后访问根节点，最后访问右子树。

中序遍历的步骤：

递归地中序遍历左子树。
访问当前节点。
递归地中序遍历右子树。

举个例子，考虑如下的二叉树：

     A
   /   \
  B     C
 / \   / \
D   E F   G

通过中序遍历，节点的访问顺序将会是：D - B - E - A - F - C - G。具体操作如下：

递归中序遍历左子树，访问节点 D。
左子树为空，返回到节点 B。
中序遍历访问节点 B。
递归中序遍历左子树，访问节点 E。
左子树为空，返回到节点 B。
返回到节点 A。
递归中序遍历右子树，访问节点 F。
中序遍历访问节点 C。
递归中序遍历左子树，访问节点 G。
左子树为空，返回到节点 C。

中序遍历的结果是：D - B - E - A - F - C - G。

1.3.3 后序遍历

后序遍历:从最左边的子节点开始，然后按照左子结点，右子节点，当前节点的顺序遍历

后序遍历是二叉树遍历的一种方式。

在后序遍历中，先访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点。

后序遍历的步骤：

递归地后序遍历左子树。
递归地后序遍历右子树。
访问当前节点。

举个例子，考虑如下的二叉树：

     A
   /   \
  B     C
 / \   / \
D   E F   G

通过后序遍历，节点的访问顺序将会是：D - E - B - F - G - C - A。具体操作如下：

递归后序遍历左子树，访问节点 D。
左子树为空，返回到节点 B。
递归后序遍历右子树，访问节点 E。
右子树为空，返回到节点 B。
后序遍历访问节点 B。
递归后序遍历左子树，访问节点 F。
左子树为空，返回到节点 C。
递归后序遍历右子树，访问节点 G。
右子树为空，返回到节点 C。
后序遍历访问节点 C。
返回到节点 A。
后序遍历访问节点 A。

后序遍历的结果是：D - E - B - F - G - C - A。

1.3.4 层序遍历

层序遍历:从根节点开始一层一层的遍历。

层序遍历是二叉树遍历的一种方式。

在层序遍历中，按照从上到下、从左到右的顺序逐层访问节点。

层序遍历的步骤：

将根节点入队。
循环执行以下操作直到队列为空：
- 出队一个节点，访问该节点。
- 如果该节点有左子节点，则将左子节点入队。
- 如果该节点有右子节点，则将右子节点入队。

举个例子，考虑如下的二叉树：

     A
   /   \
  B     C
 / \   / \
D   E F   G

通过层序遍历，节点的访问顺序将会是：A - B - C - D - E - F - G。具体操作如下：

将根节点 A 入队。
出队节点 A，并访问节点 A。
将左子节点 B 入队。
将右子节点 C 入队。
出队节点 B，并访问节点 B。
将左子节点 D 入队。
将右子节点 E 入队。
出队节点 C，并访问节点 C。
将左子节点 F 入队。
将右子节点 G 入队。
出队节点 D，并访问节点 D。
出队节点 E，并访问节点 E。
出队节点 F，并访问节点 F。
出队节点 G，并访问节点 G。

层序遍历的结果是：A - B - C - D - E - F - G。

2. 二叉查找树（二叉排序树、二叉搜索树）

2.1 概述

二叉查找树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树结构，在这种树中，每个节点的值都大于其左子树中的任何节点的值，且小于其右子树中的任何节点的值。这使得二叉查找树具有高效的搜索和插入操作。

二叉查找树,又称二叉排序树或者二叉搜索树

2.2 特点

二叉查找树的特点
- 每一个节点上最多有两个子节点
- 左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 没有重复的节点值。
二叉查找树结构图
二叉查找树和二叉树对比结构图
二叉查找树添加节点规则
- 小的存左边
- 大的存右边
- 一样的不存

3. 平衡二叉树

3.1 概述

平衡二叉树（Balanced Binary Tree），也称为 AVL 树（平衡二叉搜索树），是一种特殊的二叉查找树，它的特点是每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。

平衡二叉树的设计目的是为了保持二叉树的平衡性，以提高查找、插入和删除操作的效率。普通的二叉查找树在某些情况下可能会退化为链表，导致操作的时间复杂度从平均情况下的 O(logn) 变成最坏情况下的 O(n)，而平衡二叉树的高度始终保持在 logn 的范围内，保证了操作的高效性。

在平衡二叉树中，每个节点都有一个平衡因子（balance factor），定义为左子树的高度减去右子树的高度。平衡因子可以使平衡二叉树保持平衡。当插入或删除一个节点时，可能会破坏平衡，此时需要通过旋转操作来调整树的结构，使其重新满足平衡性的要求。

3.2 特点

平衡二叉树的特点
- 二叉树左右两个子树的高度差不超过1
- 任意节点的左右两个子树都是一颗平衡二叉树

3.3 旋转

旋转触发时机：当添加一个节点之后,该树不再是一颗平衡二叉树

3.3.1 左旋

就是将根节点的右侧往左拉,原先的右子节点变成新的父节点,并把多余的左子节点出让,给已经降级的根节点当右子节点

3.3.2 右旋

就是将根节点的左侧往右拉,左子节点变成了新的父节点,并把多余的右子节点出让,给已经降级根节点当左子节点

3.4 平衡二叉树旋转的四种情况

3.4.1 左左

左左: 当根节点左子树的左子树有节点插入,导致二叉树不平衡
- 如何旋转: 直接对整体进行右旋即可

3.4.2 左右

左右: 当根节点左子树的右子树有节点插入,导致二叉树不平衡
- 如何旋转: 先在左子树对应的节点位置进行左旋,在对整体进行右旋

3.4.3 右右

右右: 当根节点右子树的右子树有节点插入,导致二叉树不平衡
- 如何旋转: 直接对整体进行左旋即可

3.4.4 右左

右左:当根节点右子树的左子树有节点插入,导致二叉树不平衡
- 如何旋转: 先在右子树对应的节点位置进行右旋,在对整体进行左旋
平衡二叉树和二叉查找树对比结构图

4. 红黑树（平衡二叉B树）

4.1 概述

红黑树（Red-Black Tree）是一种自平衡的二叉查找树，它在进行插入和删除等操作时能够自动调整树的结构，以保持树的平衡性。红黑树的设计目的是在维持平衡的同时提供较高的插入、删除和查找效率。

红黑树的名称来源于每个节点上的一个额外的属性，即节点的颜色，可以是红色或黑色。

红黑树的插入和删除操作都会涉及到节点的颜色变化和旋转操作，通过这些操作来保持树的平衡性。相较于其他平衡二叉树如 AVL 树，红黑树的实现相对简单，并且对于插入和删除操作的限制较少，因此在实际应用中更为常见。

节点内部结构：
在这里插入图片描述

4.2 特点

红黑树的特点
- 平衡二叉B树
- 每一个节点可以是红或者黑
- 红黑树不是高度平衡的,它的平衡是通过"自己的红黑规则"进行实现的

4.3 规则

红黑树的红黑规则：
1. 每一个节点或是红色的,或者是黑色的
2. 根节点必须是黑色
3. 如果一个节点没有子节点或者父节点,则该节点相应的指针属性值为Nil,这些Nil视为叶节点,每个叶节点(Nil)是黑色的
4. 如果某一个节点是红色,那么它的子节点必须是黑色(不能出现两个红色节点相连的情况)
5. 对每一个节点,从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色节点
红黑树添加节点的默认颜色
- 添加节点时,默认为红色,效率高

4.4 添加节点

红黑树添加节点后保持红黑规则方法：
- 根节点位置
  - 直接变为黑色
- 非根节点位置
  - 父节点为黑色
    - 不需要任何操作,默认红色即可
  - 父节点为红色
    - 叔叔节点为红色
      1. 将"父节点"设为黑色,将"叔叔节点"设为黑色
      2. 将"祖父节点"设为红色
      3. 如果"祖父节点"为根节点,则将根节点再次变成黑色
    - 叔叔节点为黑色
      1. 将"父节点"设为黑色
      2. 将"祖父节点"设为红色
      3. 以"祖父节点"为支点进行旋转