中国古代初入相补原理

赵爽（约182---250年，东汉末至三国时代吴国人），为《周髀算经》做注时记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”

他设计的弦图：

如图，2ab+(b-a)²=c²，化简便得a²+b²=c²。其基本思想是图形经过割补后，面积不变。

出入相补原理指一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。例如：

《九章算术》提出的面积体积公式，大部分是依据出入相补原理推导而来。

“出入相补” 这个词出自于刘徽（约225年—约295年，魏晋期间的数学家）在《九章算术注》勾股章：

勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂。开方除之，即弦也。

今译：勾自乘为朱色的正方形，股自乘为青色的正方形，使它们按照自己的类别进行出入相补，而使其余的部分不移动，就合成以弦为边长的正方形之面积。对之作开方除法，就得到弦。

“出”意味着面积（或体积）减少，“入”意味着面积（或体积）增加；出入相补，即面积（体积）间的和差关系不变。“出入相补原理”也称割补原理或等积变换原理。

 刘徽的证明原来应该有制图，可惜现已失传。下图是后人从以上述的文字复原的两种：

显然，两个小正方形的面积和等于大正方形的面积（a²+b²=c²），从而。