【Simulink系列】——动态系统仿真之离散系统线性离散系统

一、离散系统定义

离散系统是指系统的输入与输出仅在离散的时间上取值，而且离散的时间具有相同的时间间隔。满足下列条件：

①系统（的输入输出）每隔固定时间间隔才更新一次。固定时间间隔称为采样时间。

②系统的输出依赖当前的输入、以往的输入和输出。见数学描述

③系统具有离散的状态。状态是指系统前一时刻的输出量。

设系统的输入变量为 $u\left(n T_s\right), n=0,1,2, \cdots,$ 其中n为采样时刻，Ts为系统的采样时间。由于Ts为固定值，因而系统输入 $u\left(n T_s\right)$ 常被记为u(n)。设系统输出为y(nTs)，也可记为y(n)，则离散系统的数学描述为：

$y(n)=f(u(n), u(n-1), \cdots, y(n-1), y(n-2), \cdots)$

注：离散系统初始状态的确定非常重要。

二、离散Simulinlk仿真

有一个人口变化系统。设某一年的人口数目为p(n)，其中n表示年份，它与上一年的人口数目p(n-1)、人口繁殖速率r以及新增资源所能满足的个体数目K之间的动力学模型如下差分方程：

$p(n)=r p(n-1)\left[1-\frac{p(n-1)}{K}\right]$

此差分方程可看出系统为非线性离散系统。设人口初始值p(0)=600000，人口繁殖速率r为1.08，新增资源满足个体数K=200000，建立Simulink模型，分析人口数目的变化趋势。

（1）建立系统模型

Unit Delay为单位延迟模块，主要功能是将输入信号延迟一个采样时间，这里将p(n)作为它的输入以得到p(n-1)。

（2）模块参数设置

人口繁殖速率r：取1.08，
1/K：取1/2000000，
Unit Delay的初始值为初始人口数目：取600000。

（3）仿真参数设置

仿真时间0~50s，求解器设置为discrete离散，即需要使用离散求解器；仿真步长选择Fixed-step定步长。

（4）仿真运行

注：若离散系统中所有模块的采样时间均相同，则此系统为单速率离散系统（选定步长求解器），否则为多速率离散系统（选变步长仿真更好）。

三、线性离散系统定义

在离散系统中，线性离散系统具有重要的地位。当离散系统同时满足齐次性和叠加性时，即：

$T\left\{\alpha u_{1}(n)+\beta u_{2}\left(n\right)\right\}=\alpha T\left\{u_{1}\left(n\right)\right\}+\beta T\left\{u_{2}\left(n\right)\right\}$

此离散系统称为线性离散系统。最一般的数学描述为：

$y(n)=f\bigl(u(n),u(n-1),\cdots;y(n-1),y(n-2),\cdots\bigr)$

也可用差分方程描述（上为状态方程，下为输出方程）：

$\begin{array}{rl}&x(n+1)=f\big(x(n),u(n),n\big)\\&y(n)=g\big(x(n),u(n),n\big)\end{array}$

除了上述两种方式，针对线性离散系统本身的特点，常使用Z变换来描述线性离散系统。Z变换时对离散信号进行分析的一个强有力工具，尤其线性离散系统。

对于一个离散信号u(n)，其Z变换为 $U\bigl(z\bigr)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}u\bigl(k\bigr)z^{-k}$ ，一般离散系统的时间大于0，则Z变换为 $U\bigl(z\bigr)=\sum_{k=0}^{\infty}u\bigl(k\bigr)z^{-k}$ ，简记为 $U(z)=Z\left\{u(n)\right\}$ 。

利用离散信号的Z变换结果得到原离散信号的过程，叫做Z变换的逆变换，简记为 $u\left(z\right)=Z^{-1}\left\{U(n)\right\}$ 。

Z变换有两个重要性质：

①Z变换同时满足齐次性和叠加性。

$Z\left\{\alpha u_{1}\left(n\right)+\beta u_{2}\left(n\right)\right\}=\alpha Z\left\{u_{1}\left(n\right)\right\}+\beta Z\left\{u_{2}\left(n\right)\right\}$