1.31学习总结

1.31
1.线段树
2.Bad Hair Day S(单调栈)
3.01迷宫(BFS连通块问题+剪枝)(连通性问题的并查集解法)
4.健康的荷斯坦奶牛 Healthy Holsteins(DFS)

线段树与树状数组

线段树和树状数组的功能相似,但是线段树的功能要更加强大一些,但是线段树的构造比树状数组更加复杂。

在动态区间和的问题上,朴素暴力的算法复杂度达到了O(n^2)效率很低,在前缀和中,计算出所有的前缀和的复杂度是O(n),而查询只要O(1),所以总复杂度只有O(n),但如果面对的是动态的区间和问题,计算量就会大大增加,如果涉及到区间修改,就会更加棘手,因为修改其中的一个值,会导致后面的前缀和发生改变,所以就需要O(n)的复杂度,那么如果改变m次元素的值,复杂度就达到了O(mn),和暴力的方法是一样的,所以就需要用到树状数组或者是线段树这样的结构,由于这样的结构存储是非线性的,所以在修改元素上的时间是O(logn),同理查询某个元素的复杂度也是O(logn),由于初始化数组的时候,需要逐个读取数值所以初始化的复杂度是O(nlogn)所以总复杂度是O(nlogn),线段树的复杂度和树状数组是相当的,线段树和树状数组的区别就在于树状数组在面对区间查询,区间修改问题时非常棘手,而线段树可以很轻松的解决区间问题

树状数组主要就只有三个函数,lowbit(),更新函数:update(),求和函数:sum()

#define lowbit(x) (x& (-x))
void update(int x,int k)
{
	while(x<=n)
	{
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);//子节点+k,父节点都要+k 
	}
}
int sum(int x)
{
	int res=0;
	while (x>0)
	{
		res+=tree[x];
		x-=lowbit(x);//求的是1---x的区间和 
	}
	return res;
}

这三个函数构成了树状数组的主要部分

初始化数组

for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		cin>>a[i];
		update(i,a[i]);
	}

全部代码(单点修改+区间查询)https://www.luogu.com.cn/problem/P3374

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
const int N=5e5+5;
#define lowbit(x) (x& (-x))
int tree[N],a[N];
int n;
void update(int x,int k)
{
	while(x<=n)
	{
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);//子节点+k,父节点都要+k 
	}
}
int sum(int x)
{
	int res=0;
	while (x>0)
	{
		res+=tree[x];
		x-=lowbit(x);//求的是1---x的区间和 
	}
	return res;
}
signed main()
{
	int q;
	cin>>n>>q;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		cin>>a[i];
		update(i,a[i]);
	}
	for (int i=0;i<q;++i)
	{
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		if (a==1)
		{
			update(b,c);
		}
		else if (a==2)
		{
			int ans=0;
			ans=sum(c)-sum(b-1);
			cout<<ans<<endl;
		}
	}
}

(区间修改+单点查询)需要用到差分数组的性质https://www.luogu.com.cn/problem/P3368

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
const int N=5e5+5;
#define lowbit(x) (x& (-x))
int tree[N],a[N],d[N];
int n,q;
void update(int x,int k)
{
	while (x<=n)
	{
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}
int sum(int x)
{
	int res=0;
	while (x>0)
	{
		res+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
signed main()
{
	cin>>n>>q;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		cin>>a[i];
		d[i]=a[i]-a[i-1];
		update(i,d[i]);//放的是差分数组的值,这样树状数组保存的就是差分数组的前缀和 
	}
	for (int i=0;i<q;++i)
	{
		int op;
		cin>>op;
		if (op==1)
		{
			int a,b,c;
			cin>>a>>b>>c;
			update(a,c);
			update(b+1,-c);
		}
		if (op==2)
		{
			int a;
			cin>>a;
			int res=sum(a);
			cout<<res<<endl;
		}
	}
	
}

运用线段树会麻烦很多

它需要向上更新函数push_up,向下更新函数push_down,建树函数build,更新函数update和查询函数query

同时树上的节点都是以结构体的形式出现,这样方便找到当前节点的区间

struct node{
	int sum;
	int l;
	int r;
	int add;
}tree[4*N];
int a[N];
inline void push_up(int p){
	tree[p].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum;
}
inline void push_down(int p){
	if (tree[p].add){
		tree[lc].sum+=tree[p].add*(tree[lc].r-tree[lc].l+1);
		tree[lc].add+=tree[p].add;
		tree[rc].sum+=tree[p].add*(tree[rc].r-tree[rc].l+1);
		tree[rc].add+=tree[p].add;
		tree[p].add=0;
	}
	return ;
}
inline void build(int p,int l,int r){
	tree[p]={a[l],l,r,0};
	if (l==r) return ;
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	build(lc,l,mid);
	build(rc,mid+1,r);
	push_up(p);
}
inline void update(int p,int l,int r,int k){
	if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
		tree[p].sum+=k*(tree[p].r-tree[p].l+1);
		tree[p].add+=k;
		return ;
	}
	push_down(p);
	int mid=tree[p].r+tree[p].l>>1;
	if (mid>=l) update(lc,l,r,k);
	if (mid<r)	update(rc,l,r,k);
	push_up(p);
}
inline int query(int p,int l,int r){
	if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
		return tree[p].sum;
	}
	push_down(p);
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	int s=0;
	if (mid>=l)	s+=query(lc,l,r);
	if (mid<r)	s+=query(rc,l,r);
	return s; 
}

但是打好框架之后解决问题就很简单。只需要改改数值就好了

单点修改+区间查询:https://www.luogu.com.cn/problem/P3374

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define lc p<<1
#define rc p<<1|1

const int N=1e6+10;
struct node{
	int sum;
	int l;
	int r;
	int add;
}tree[4*N];
int a[N];
inline void push_up(int p){
	tree[p].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum;
}
inline void push_down(int p){
	if (tree[p].add){
		tree[lc].sum+=tree[p].add*(tree[lc].r-tree[lc].l+1);
		tree[lc].add+=tree[p].add;
		tree[rc].sum+=tree[p].add*(tree[rc].r-tree[rc].l+1);
		tree[rc].add+=tree[p].add;
		tree[p].add=0;
	}
	return ;
}
inline void build(int p,int l,int r){
	tree[p]={a[l],l,r,0};
	if (l==r) return ;
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	build(lc,l,mid);
	build(rc,mid+1,r);
	push_up(p);
}
inline void update(int p,int l,int r,int k){
	if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
		tree[p].sum+=k*(tree[p].r-tree[p].l+1);
		tree[p].add+=k;
		return ;
	}
	push_down(p);
	int mid=tree[p].r+tree[p].l>>1;
	if (mid>=l) update(lc,l,r,k);
	if (mid<r)	update(rc,l,r,k);
	push_up(p);
}
inline int query(int p,int l,int r){
	if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
		return tree[p].sum;
	}
	push_down(p);
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	int s=0;
	if (mid>=l)	s+=query(lc,l,r);
	if (mid<r)	s+=query(rc,l,r);
	return s; 
}
signed main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;++i)	cin>>a[i];
	build(1,1,n);
	for (int i=0;i<m;++i){
		int op;
		cin>>op;
		if (op==1){
			int a,b;
			cin>>a>>b;
			update(1,a,a,b);
		}else if (op==2){
			int a,b;
			cin>>a>>b;
			int sum1=query(1,a,b);
			cout<<sum1<<endl;
		}
	}
}

区间修改+单点查询:https://www.luogu.com.cn/problem/P3368

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define lc p<<1
#define rc p<<1|1

const int N=1e6+10;
struct node{
	int sum;
	int l;
	int r;
	int add;
}tree[4*N];
int a[N];
inline void push_up(int p){
	tree[p].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum;
}
inline void push_down(int p){
	if (tree[p].add){
		tree[lc].sum+=tree[p].add*(tree[lc].r-tree[lc].l+1);
		tree[lc].add+=tree[p].add;
		tree[rc].sum+=tree[p].add*(tree[rc].r-tree[rc].l+1);
		tree[rc].add+=tree[p].add;
		tree[p].add=0;
	}
	return ;
}
inline void build(int p,int l,int r){
	tree[p]={a[l],l,r,0};
	if (l==r) return ;
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	build(lc,l,mid);
	build(rc,mid+1,r);
	push_up(p);
}
inline void update(int p,int l,int r,int k){
	if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
		tree[p].sum+=k*(tree[p].r-tree[p].l+1);
		tree[p].add+=k;
		return ;
	}
	push_down(p);
	int mid=tree[p].r+tree[p].l>>1;
	if (mid>=l) update(lc,l,r,k);
	if (mid<r)	update(rc,l,r,k);
	push_up(p);
}
inline int query(int p,int l,int r){
	if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
		return tree[p].sum;
	}
	push_down(p);
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	int s=0;
	if (mid>=l)	s+=query(lc,l,r);
	if (mid<r)	s+=query(rc,l,r);
	return s; 
}
signed main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;++i)	cin>>a[i];
	build(1,1,n);
	for (int i=0;i<m;++i){
		int op;
		cin>>op;
		if (op==1){
			int a,b,c;
			cin>>a>>b>>c;
			update(1,a,b,c);
		}else if (op==2){
			int a;
			cin>>a;
			int sum1=query(1,a,a);
			cout<<sum1<<endl;
		}
	}
}

区间修改,区间查询https://www.luogu.com.cn/problem/P3372

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define lc p<<1
#define rc p<<1|1

const int N=1e6+10;
struct node{
	int sum;
	int l;
	int r;
	int add;
}tree[4*N];
int a[N];
inline void push_up(int p){
	tree[p].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum;
}
inline void push_down(int p){
	if (tree[p].add){
		tree[lc].sum+=tree[p].add*(tree[lc].r-tree[lc].l+1);
		tree[lc].add+=tree[p].add;
		tree[rc].sum+=tree[p].add*(tree[rc].r-tree[rc].l+1);
		tree[rc].add+=tree[p].add;
		tree[p].add=0;
	}
	return ;
}
inline void build(int p,int l,int r){
	tree[p]={a[l],l,r,0};
	if (l==r) return ;
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	build(lc,l,mid);
	build(rc,mid+1,r);
	push_up(p);
}
inline void update(int p,int l,int r,int k){
	if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
		tree[p].sum+=k*(tree[p].r-tree[p].l+1);
		tree[p].add+=k;
		return ;
	}
	push_down(p);
	int mid=tree[p].r+tree[p].l>>1;
	if (mid>=l) update(lc,l,r,k);
	if (mid<r)	update(rc,l,r,k);
	push_up(p);
}
inline int query(int p,int l,int r){
	if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
		return tree[p].sum;
	}
	push_down(p);
	int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
	int s=0;
	if (mid>=l)	s+=query(lc,l,r);
	if (mid<r)	s+=query(rc,l,r);
	return s; 
}
signed main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;++i)	cin>>a[i];
	build(1,1,n);
	for (int i=0;i<m;++i){
		int op;
		cin>>op;
		if (op==1){
			int a,b,c;
			cin>>a>>b>>c;
			update(1,a,b,c);
		}else if (op==2){
			int a,b;
			cin>>a>>b;
			int sum1=query(1,a,b);
			cout<<sum1<<endl;
		}
	}
}

Bad Hair Day Shttps://www.luogu.com.cn/problem/P2866

题目描述

农夫约翰有 �N 头奶牛正在过乱头发节。

每一头牛都站在同一排面朝右,它们被从左到右依次编号为 1,2,⋯ ,�1,2,⋯,N。编号为 �i 的牛身高为 ℎ�hi​。第 �N 头牛在最前面,而第 11 头牛在最后面。

对于第 �i 头牛前面的第 �j 头牛,如果 ℎ�>ℎ�+1,ℎ�>ℎ�+2,⋯ ,ℎ�>ℎ�hi​>hi+1​,hi​>hi+2​,⋯,hi​>hj​,那么认为第 �i 头牛可以看到第 �+1i+1 到第 �j 头牛。

定义 ��Ci​ 为第 �i 头牛所能看到的牛的数量。请帮助农夫约翰求出 �1+�2+⋯+��C1​+C2​+⋯+CN​。

输入格式

输入共 �+1N+1 行。

第一行为一个整数 �N,代表牛的个数。
接下来 �N 行,每行一个整数 ��ai​,分别代表第 1,2,⋯ ,�1,2,⋯,N 头牛的身高。

输出格式

输出共一行一个整数,代表 �1+�2+⋯+��C1​+C2​+⋯+CN​。

输入输出样例

输入 #1复制

6
10
3
7
4
12
2

输出 #1复制

5

说明/提示

数据规模与约定

对于 100%100% 的数据,保证 1≤�≤8×1041≤N≤8×104,1≤ℎ�≤1091≤hi​≤109。

思路:单调栈,单调减的栈,栈空时入栈,遇到比栈顶大的元素时出栈直到栈空或者栈顶栈顶元素更大,10入栈前,栈内没有元素,所以计数器+0,入栈,3比10小,入栈前计数器+1(栈的长度)由于7的长度大于3,所以3出栈,计数器+1,7入栈,4比7小,计数器+2,4入栈......

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x& - (x))
#define int long long 
const int N=8e4+5;
int h[N];
stack<int>st;
signed main(){
	int n;
	cin>>n;
	int sum=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)cin>>h[i];
	for (int i=1;i<=n;++i){
		while (!st.empty() && h[st.top()]<=h[i]){
			st.pop();
		}
		sum+=st.size();
		st.push(i);
	}
	cout<<sum;
}

01迷宫

 

题目描述

有一个仅由数字 00 与 11 组成的 �×�n×n 格迷宫。若你位于一格 00 上,那么你可以移动到相邻 44 格中的某一格 11 上,同样若你位于一格 11 上,那么你可以移动到相邻 44 格中的某一格 00 上。

你的任务是:对于给定的迷宫,询问从某一格开始能移动到多少个格子(包含自身)。

输入格式

第一行为两个正整数 �,�n,m。

下面 �n 行,每行 �n 个字符,字符只可能是 00 或者 11,字符之间没有空格。

接下来 �m 行,每行两个用空格分隔的正整数 �,�i,j,对应了迷宫中第 �i 行第 �j 列的一个格子,询问从这一格开始能移动到多少格。

输出格式

�m 行,对于每个询问输出相应答案。

输入输出样例

输入 #1复制

2 2
01
10
1 1
2 2

输出 #1复制

4
4

说明/提示

对于样例,所有格子互相可达。

  • 对于 20%20% 的数据,�≤10n≤10;
  • 对于 40%40% 的数据,�≤50n≤50;
  • 对于 50%50% 的数据,�≤5m≤5;
  • 对于 60%60% 的数据,�,�≤100n,m≤100;
  • 对于 100%100% 的数据,1≤�≤10001≤n≤1000,1≤�≤1000001≤m≤100000。

思路:连通块问题,用搜索和并查集都可以

用 BFS的时候记得判重,不然会TLE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x& - (x))
#define int long long 
#define check(tx,ty) (tx>=1 && ty >=1 && tx<=n && ty<= n)	
const int N=1005;
int vis[N][N],a[N][N];
struct node{
	int x;
	int y;
}q[1000001];
int dir[4][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};
int step[N][N];
signed main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		for (int j=1;j<=n;++j){
			scanf("%1d",&a[i][j]);
		}
	}
	for (int i=0;i<m;++i){
		int sx,sy,tail=0,head=0;
		int cnt=1;
		cin>>sx>>sy;
		if (step[sx][sy]!=0){
			cout<<step[sx][sy]<<endl;
			continue;
		}
		q[tail].x=sx,q[tail].y=sy;
		step[sx][sy]=1;
		tail++;
		while (head<tail){
			int x=q[head].x,y=q[head].y;
			for (int i=0;i<4;++i){
				int tx=x+dir[i][0],ty=y+dir[i][1];
				if (check(tx,ty) && step[tx][ty]==0 && a[tx][ty]!=a[x][y]){
					q[tail].x=tx,q[tail].y=ty;
					step[tx][ty]=1;
					tail++;
					cnt++;
				}
			}
			head++;
		}
		for (int i=0;i<tail;++i){
			step[q[i].x][q[i].y]=cnt;
		}
		printf("%d\n",cnt);
	}
}

下面是并查集做法

遍历所有的点,如果两个点连通但未合并,那就合并

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x& - (x))
#define int long long 
#define check(tx,ty) (tx>=1 && ty >=1 && tx<=n && ty<= n)	
const int N=1005;
int f[N*N];
int cnt[N*N];
int aa[N][N];
int dir[4][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};
int find(int x){
	if (f[x]==x)return x;
	else{
		f[x]=find(f[x]);
		return f[x];
	}
}
void unionn(int i,int j){
	f[find(i)]=find(j);
}
signed main(){
	int m,n;
	cin>>n>>m;
	//初始化并查集
	for (int i=1;i<=n*n;++i){
		f[i]=i;
		cnt[i]=1;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i){
		for (int j=1;j<=n;++j){
			scanf("%1d",&aa[i][j]);
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;++i){
		for (int j=1;j<=n;++j){
			for (int k=0;k<4;++k){
				int a=i+dir[k][0],b=j+dir[k][1];
				if (a>=1 && a<=n && b>=1 && b<=n){
					if (aa[i][j]!=aa[a][b]){
						int x=find((i-1)*n+j);
						int y=find((a-1)*n+b);
						if (x!=y){
							unionn(x,y);
							cnt[y]+=cnt[x];	
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	while (m--){
		int sx,sy;
		cin>>sx>>sy;
		cout<<cnt[find((sx-1)*n+sy)]<<endl;
	}
}

健康的荷斯坦奶牛 Healthy Holsteinshttps://www.luogu.com.cn/problem/P1460

题目描述

农民 John 以拥有世界上最健康的奶牛为傲。他知道每种饲料中所包含的牛所需的最低的维他命量是多少。请你帮助农夫喂养他的牛,以保持它们的健康,使喂给牛的饲料的种数最少。

给出牛所需的最低的维他命量,输出喂给牛需要哪些种类的饲料,且所需的饲料剂量最少。

维他命量以整数表示,每种饲料最多只能对牛使用一次,数据保证存在解。

输入格式

第一行一个整数 �v,表示需要的维他命的种类数。
第二行 �v 个整数,表示牛每天需要的每种维他命的最小量。

第三行一个整数 �g,表示可用来喂牛的饲料的种数。
下面 �g 行,第 �n 行表示编号为 �n 饲料包含的各种维他命的量的多少。

输出格式

输出文件只有一行,包括牛必需的最小的饲料种数 �p;后面有 �p 个数,表示所选择的饲料编号(按从小到大排列)。

如果有多个解,输出饲料序号最小的(即字典序最小)。

输入输出样例

输入 #1复制

4
100 200 300 400
3
50  50  50  50
200 300 200 300
900 150 389 399

输出 #1复制

2 1 3

说明/提示

【数据范围】
对于 100%100% 的数据,1≤�≤251≤v≤25,1≤�≤151≤g≤15。
输入的所有整数在 [1,1000][1,1000] 范围内。

思路:DFS排列问题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x& - (x))
#define int long long 
const int N=1000;
int v[N],g[N][N],ans[N],c[N];
int m,n,minx=100000000;
bool check(int x){
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int sum=0;
		for (int j=1;j<=x;++j){
			sum+=g[c[j]][i];
		}
		if (sum<v[i])return false;
	}
	return true;
}
void dfs(int t , int s){
	if (s>minx) return ;
	if (t>m){	
		if (check(s)){
			if (s<minx){
				minx=s;
				for (int i=1;i<=minx;++i){
					ans[i]=c[i];
				}
   			}
		}
		return ;
	}
	c[s+1]=t;
	dfs(t+1,s+1);
	c[s+1]=0;
	dfs(t+1,s);
}
signed main(){
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;++i)	cin>>v[i];
	cin>>m;
	for (int i=1;i<=m;++i){
		for (int j=1;j<=n;++j){
			cin>>g[i][j];
		}
	}
	dfs(1,0);
	cout<<minx<<" ";
	for (int i=1;i<=minx;++i){
		cout<<ans[i]<<" ";
	}
}

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